1、惠来县第一中学 方文湃 1不动点法求数列的通项惠来县第一中学 方文湃自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如 2007 年普通高考广东数学理科卷压轴题第 21 题 、2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第 20 题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。记函数 f(x)的定义域为 D，若存在 D，使 f( )成立，则称（ ， ）为坐标的点为函数 f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列 an中，an+1=f(an) (n N+)，若存在 满足方程 f( )，称 为不动点方程 f( ) 的根。下面介
2、绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。一、递推式为 an+1=aan+b(a 0,a 1,a,b 均为常数)型的数列由递推式 an+1=aan+b 总可变形为an+1 =a（a n ） （）（） 式中的 与系数 a,b 存在怎样的关系呢？由（）得 an+1=aan ab= a 即 a +b （）关于 的方程（）刚好是递推式 an+1=aan+b 中的 an， an+1都换成 得到的不动点方程。令 bn=an 代入（）得 bn+1=abn一般来说，可先求等比数列b n的通项，再求数列a n的通项。例：在
3、数列a n中，已知 a1=1,an+1=1 an (n N+),求 a 。21limn解：令 x=1 x 得 x=213an+1 =1 an = (an )23令 bn=an ，则 bn+1= bn数列b n成首项为 b1=a1 =1 = ，公比为 q 的等比数列，于21惠来县第一中学 方文湃 2是有bn= ( )n 1即 an ( )n13232a n= 1 ( )n a =limn3限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。二、递推式为 an+1= （c 0,a,b,c,d 为常数）型的数列dbnan+1 = =cncadn)( dcabn)(令 可化得db （）ca关于 的方
4、程（）刚好是递推式 an+1= 中的 an，a n+1都换成 后的dcbn不动点方程。当方程（）有两个不同根 ， 时，有 1 an+1 dcan)(11an+1 n)(22 21n21c21na令 bn= 有 bn bn2a21一般来说，可先求等比数列b n的通项，后求数列a n的通项。例：数列a n由 a =2，a n+1= （n1）给出，求 a 。131n limn惠来县第一中学 方文湃 3解：令 x= ,得 x1 =1,x2 =-1，于是有3an+1- 1 = 3)(nnaan+1+1 = )1(43nn = 1n21na设 bn= ,则 bn+1 = bn这样数列b n成首项为 b1
5、= = ,公比为 的等比数列, 于是 bn = a32131,1)2(n由 bn= 得 an= =b11)2(3n a =1limn当方程（）出现重根同为 时， 2 由 an+1 得dcan)( 1n )(nc)(nacd设 cn= 得 cn cnaad即数列c n的递推式总可化为“c n ac n+b （a，b 为常数）型” ，又一次运用不动点法求得数列c n的通项，从而求数列a n的通项。例:在数列a n中，a n=1, a = (n=1,2)。求 a 。12n n解：令 x= ,得 x1=x2=0惠来县第一中学 方文湃 4设 bn= ,则由 a = 可得 b =bn+11n2n12b n
6、成为首项为 1,公差为 的等差数列,于是b =1+ 2a =n1需要指出的是，上述方法同样适用于方程（）两根不同的情形。对例，可设 cn= （或 cn= ） ，我们运用上述方法来求数列a n的通项。a1例另解：令 x= ,得 x1 =1,x2 =-1，于是有3an+1- 1 = )(nna = = +1n)1(23n2n令 bn= ，则 b1= =1，b n+1=2bn+ aa21令 2 + 得 2bn+1+ =2bn+ + =2(bn+ )b n + 成首项为 b1+ = ，公比为的等比数列，于是有 bn+ =213212n-123b n= 2n-1- = (32n-1-1)3代入 bn=
7、得 an=1+ =1+ =1+1b123n1)2(3n a =1limn小结解法：惠来县第一中学 方文湃 5一般地，设 ， 是关于 的方程 12abcdl+=的两个根，对递推式为 （ 为常数）型的数列，可以有1nnabcd+=,以下两种方法来求其通项：解法一 ： 设 cn= （ 或 ）得 cn cn1a12ad，ca即 的递推式为 （ 为常数）型的数列；n1nnb+,a求 的通项，再求 的通项。2 a解法二: 设 ，证数列b n成首项为 b1 = 的等比数列；1nb12 a12求 的通项，再求 的通项。2nbna当方程有重根时，解法二无法进行。以下是 2011 年普通高等学校招生全国统一考试数
8、学广东卷理科第 20 题第（1）小题的不同解法：20.（本小题共 14 分）设 b0,数列 na满足 a1=b， 1(2)nnba.（1）求数列 na的通项公式；解法一 ：（ 1）由1122nnnn abba- - =+设 ，则有nba=111nnn nbbb-当 时， ，2n2na=当 时，有b 1()nbb-惠来县第一中学 方文湃 6数列 为首项为 ，公比为 的12nb-1122()bb-=-2b等比数列1()nnbb-=-即 1121212()()()n nnn bbb-=-=-122()nnnab-=-综上得 12322321nnnn nbbb- -+ *()N解法二: 由112nnn
9、n aa- -=设 ，则有nba11,2nnbab-+令 ，得2x=+120,x=-由 1nnb-得 112()(2)()nnn b- -=+ 得nbb是首项为 ，公比为 的等比数列，于()n2()()b211qb2是解得()()nnbb21()2nnb=-惠来县第一中学 方文湃 7(2)1()2nnnbab-=-即 12322321nnnn nbb- -+*()nN*关于周期数列：1.已知数列 中， ，则 = na*11,2naN10a2.已知数列 中， ，则 = n *11,2,nn2013.已知数列 中， ，则 = na*11,2nnaN15a4.数列 中， ，求这个数列的通项公式， 并
10、计算n13,1(2)nn的值。1220a因为以上数列的递推式其对应的函数 f(x)都是周期函数（ ，为常数）0a：(1) ，则 的周期 T=2a；1()()0fxafxf+=)(xf(2) ，则 的周期 T=2a；()()f ff-)(f(3) ，则 的周期 T=3a；10(fxafxf+=xf(4) ，则 的周期 T=4a；)()(1)- )(故以上数列数列均为周期数列，这几道题目的按周期数列去做更方便。三、递推式为 an+1= (b,d 为常数)型的数列dbn2先看 2007 年普通高考广东数学理科卷压轴题第 21 题：已知函数 f (x)=x2+x1, , 是方程 f(x)的两个根（）,
11、惠来县第一中学 方文湃 8f/（x）是 f (x)的导数，a 1 =1,an+1=an (n=1,2)(naf(1) 求 , 的值;(2) 证明:对任意的正整数 n,都有 an ;(3) 记 b n =ln (n=1,2), 求数列b n的前 n 项和 sn 。na这道题第(3)小题可以按如下来求 b n:an+1= = =12n12na25125)(2nna= = ()51(na)(2n同理 an+1 = = ()12n12)(na()()得: = 于是得 ln =2 ln1n2)(n 1nana设 bn= ln ,则 bn+1=2bn，故数列b n成首项为 b1=ln =4lnna 25，
12、公比为 2 的等比数列,故 b n=2n+1 ln 。251 251当然由 bn=2ln 可求 a n 。)251(na方程 f (x)=x2+x1=0 的两根 , 与递推式 an+1=an = 有)(naf12何关系呢?仔细推敲,方程 x2+x1=0 正好是惠来县第一中学 方文湃 9不动点方程 x= 的变形，, 也是不动点方程 x= 的两根。12x 12x是不是所有递推式形如“a n+1 = ”的数列都可）dcbacan为 常 数,(2用上述换元方法求 an通项呢？下面举一反例给予否定。例如：对 an+1= (n=1,2)，令 x= 解得 x 1=1, x2= -132n 323an+1 1
13、= 1 = 2n 232na显然 a n2 3an+2 ( an 1)2 。当系数 a,b,c,d 怎样时，才可运用上述换元方法求呢？an+1- = dcabdcabnnn )(22令 an2 + (a c) a n + (b d) = ( a n ) 2 = 2na由恒等式得：2cbda-=20(6)cdba+-= 把()式中 改为 x 得: x 2 + d x b =0 ()方程（）正好是当 a=0,c=2 时递推式“a n+1= ”的不动点方程 x= dan2的变形。dxb2所以,对已知初始值 a1(或数列a n的某一项),递推式为 an+1= （b,ddbn2为常数，n 为正整数）的数
14、列a n ，设 , 是不动点方程 x= 的两根,x可按下列方法求数列a n的通项：惠来县第一中学 方文湃 10当 a1= 或 ，数列a n为常数数列，a n= 或 ； 1当 a1 且 a1 ，若 ，设 bn=ln| | , 证 bn为等比数列， 2 na后求 an ；当 a1 = 时，由不动点方程 x= 得 x 2 + d x b =0 3 b2 = d2+4b=0， b = 42d此时 a n+1= = ， a n+1+dbn2212aann)2(1dan先求等比数列b n = an + 的通项，后求 an 。例 4： 设 a2,给定数列x n其中 x1=a，x n+1 = ,求证：当 n 充分)1(2nx大时，x n2 ,可得 0 1, ,limn0)2(1na故当 n 充分大时，x n3 。惠来县第一中学 方文湃 2需要指出的是以上三种类型的数列，当初始值等于不动点方程的根时，数列均为常数数列。
