1、高中数学第八章-圆锥曲线方程8. 圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义： 为 端 点 的 线 段以无 轨 迹方 程 为 椭 圆2121,FaPF椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12bay. ii. 中心在原点，焦点在 y轴上：)0(12baxy. 一般方程： )0,(12BAyx.椭圆的标准参数方程： 12byax的参数方程为sincobyax（一象限 应是属于 2）.顶点： ),0(b或 )0,(,ba.轴：对称轴：x 轴， y轴；长轴长 a2，短轴长 b2.焦点： ,)(c或 ,c.焦距： 221,bacF.准线： cx或ay2.离心率：
2、 )0(ea.焦点半径：i. 设 ),(0xP为椭圆 12byx上的一点， 21,为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设 ),(0y为椭圆 )0(2ab上的一点， 21,F为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知： )0()(),()( 020201 xaecpxecxepF 归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得 )sin,o(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： ),(22abcd和 ),(2共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12bayx的离心率是 )2bace，方程 tbyax(2是大于 0 的
3、参数， )0ba的离心率也是 ac 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.0201,exaPFexa0201,yy若 P 是椭圆： 12byax上的点. 21,F为焦点，若 21PF，则 21F的面积为2tanb（用余弦定理与 aP可得）. 若是双曲线，则面积为 cotb.二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义： 的 一 个 端 点 的 一 条 射 线以无 轨 迹方 程 为 双 曲 线2121,FaPF双曲线 标准方程： )0,(1),0,(2baxybayx. 一般方程：)0(12ACyx.i. 焦点在 x 轴上： 顶点： ),(,a 焦点： )0,(,c 准线方程 cax2 渐近线方程： 0
4、byax或02byaxii. 焦点在 轴上：顶点： ),0(,a. 焦点： ),0(c. 准线方程： cy2. 渐近线方程： 0bxay或 2bxay，参数方程： tansebyx或 sectanybx .轴 ,为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. 离心率 a. 准线距ca2（两准线的距离）；通径 b. 参数关系 cebac,2. 焦点半径公式：对于双曲线方程 12byax（ 2,F分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aexMF021构成满足 aMF21 aex021（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） aeyFM
5、y021021等轴双曲线：双曲线 22ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy，离心率2e. asin,()Nyx的 轨 迹 是 椭 圆 yMF12 yx12共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 2byax与 2byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02.共渐近线的双曲线系方程： )0(2byax的渐近线方程为 02byax如果双曲线的渐近线为 0byax时，它的双曲线方程可设为 )0(2byax.例如：若双曲线一条渐近线为 xy21且过 )1,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为： )0(4，代入 2,得 182yx.直线与
6、双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 ”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.若 P 在双曲线 12byax，则常用结论 1：P 到焦点的
7、距离为 m = n，则 P 到两准线的距离比为 mn. 简证： ePFd21= n.常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.三、抛物线方程.3. 设 0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy2pxy2pyx2pyx2 yxF2453图形 yxO yx yxO yx焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 轴 轴顶点 （0，0）离心率 1e焦点 12xpPF2xpPF12ypPF12ypPF注： cbya2顶点 )4(abc. )0(px则焦点半径 2x; )0(py则焦点半径为 2y.通
8、径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy2（或 py2）的参数方程为 ptyx2（或 2ptyx）（ t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义.4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线 l的距离之比为常数 e的点的轨迹.当 10e时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线；当 e时，轨迹为圆（ ace，当 ba,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆 双曲线 抛物线定义
9、1到两定点 F1,F2 的距离之和为定值1到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 2a(01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形标准方程 12byax( 0) 12byax(a0,b0) y2=2px方程参数方程 为 离 心 角 ）参 数 (sinco为 离 心 角 ）参 数 (tnsecptx(t 为参数)范围 axa，byb |x| a，y R x0中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0) (0,0)对称轴 x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) )0,2(pF焦距 2c （c= ba） 2c （c= ba）离心率 )10(ec)1(ece=1准线x= c2x= c22px渐近线 y= abx焦半径 exar)(er2pxr通径 b2ab22p焦参数 ca2c2P1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2. 等轴双曲线3. 共轭双曲线5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程.6.共渐近线的双曲线系方程.
