1、高中数学第十五章 复数15. 复复 数数 知识要点知识要点1. 复数的单位为 i，它的平方等于 1，即 i2.复数及其相关概念： 复数形如 a + bi 的数（其中 Rba， ）； 实数当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a； 虚数当 时的复数 a + bi； 纯虚数当 a = 0 且 时的复数 a + bi，即 bi. 复数 a + bi 的实部与虚部 a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数） 复数集 C全体复数的集合，一般用字母 C 表示.两个复数相等的定义： 0 iRdcdcdici ） 特 别 地，（ 其 中 ，且.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注
2、：若 21,z为复数，则 1若 02z，则 21z.（） 21,z为复数，而不是实数2若 ，则 02.（）若 Ccba,，则 0)()()( 22acba是 cb的必要不充分条件.（当2)(i， 0)(,1acb时，上式成立）2. 复平面内的两点间距离公式： 21zd.其中 21z， 是复平面内的两点 1z和 所对应的复数， 21zd和表 示 间的距离.由上可得：复平面内以 0为圆心， r为半径的圆的复数方程： ）（ 00r.曲线方程的复数形式： 00zrz表 示 以为圆心，r 为半径的圆的方程. 21表示线段 21z的垂直平分线的方程. 210Zazz ，） 表 示 以且（ 为焦点，长半轴长
3、为 a 的椭圆的方程（若 21a，此方程表示线段 21Z， ）. ） ，（ 20zazz表示以 21Z， 为焦点，实半轴长为 a 的双曲线方程（若 21a，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设 21z， 是不等于零的复数，则 2121zz.左边取等号的条件是 ）， 且（ 0R，右边取等号的条件是），（ 012Rz. 21212zz.左边取等号的条件是 ），（ 0R，右边取等号的条件是 ），（ 012Rz.注： nnAAA14321 .3. 共轭复数的性质： z2121zza2， i2bz（ za + bi） |11z21zz2z（ 0） n)(注：两个共轭复数之差是纯虚数. （）之差可能为零
4、，此时两个复数是相等的4 复数的乘方： )(.Nnzzn对任何 z， 21,C及 m,有 nnnnmzzz2121)(,)(, 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如 1,42i若由 1)(242i就会得到 1的错误结论.在实数集成立的 2|x. 当 为虚数时， 2|x，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.常用的结论： 1,1,1 4342442 nnnn iiiii)(,03Ziiin iiii 1,2)1(若 是 1 的立方虚数根，即 i23，则 .5. 复数 z是实数及纯虚数的充要条件： R.若 0， 是纯虚数 0z.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里
5、，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注： |z. 6. 复数的三角形式： )sin(corz.辐角主值： 适合于 0 2的值，记作 zarg.注： z为零时， zarg可取 ),0内任意值.辐角是多值的，都相差 2 的整数倍.设 ,Ra则 23)arg(,2r,)r(,r ii.复数的代数形式与三角形式的互化： )sin(corbi， 2bar， rbrsin,co.几类三角式的标准形式： )sin()co()si( rr iinco)sin()cos()si( rr 2i2cosin7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于 x的一元二次方程 )0(acbxa时，应注意下述问题：当 Rcba,时，若 0，则有二不等实数根 b2,1；若 =0，则有二相等实数根 x2,1；若 0，则有二相等复数根 aix|2,（ 2,1x为共轭复数）.当 cba,不全为实数时，不能用 方程根的情况.不论 ,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：)(0, 1223 Znn)sin()cos()sin(co)sin(co 2121212221 rrr )i()()si(c 212122 rr棣莫弗定理： )sin(co)sin(co rn
