1、5什么是泰勒公式？怎样求函数的泰勒公式？对于一些较复杂的函数，为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它们的函数值，因此我们经常用多项式近似代替一般函数，那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？如果一个函数能用多项式近似代替，这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢？首先讨论若 p（x ）是一个 n 次多项式.xaa210.xbbxbp的 幂 表 示 ， 即 令按 着将 n0n202010 有 什 么 关 系 ？x与 p、那 么 ，
2、 n ,xnb3b2bxp又 .， 得在 上 式 中 ， 令 1n02001 ,xb1nxb23xp.!p,2n000 与与!p,20020得再 令 .xn!px2!px1!pxp:于 是 n.,0k,即 ： bn!xp n002000k0 由此可知，将 n 次多项式函数 p（x）按着 的幂展开，它的多项式的系数 由多kb项式 p（ x）所确定，即.!kb0对于任意的函数（不必是多项式函数） ，只要函数 f（x）在点 存在直到 n 阶导数，总0能写出一个相应的 n 次多项式.x!nf!2xf!1xfxT n00200000n 多项式 称为 f（x）在 的 n 次泰勒多项式若用 n 次泰勒多项式
3、近似代替 f（x） ，Tn0所产生的误差怎样表示呢？一般地，我们有：若函数 f（x）在含有点 的某开区间（a，b）内有直到 n1 阶导数，则对任意的点0x（a ，b ） ，有 n00n2000 x!fx!fxf 其中 称为拉格朗日余项，记作 ，即,x!1nf1n01n01n! Rn.x!fR01n0nn 与与上面的公式称为泰勒（Taglor）公式，也称为具有高阶导数的中值定理，在这里令n1 ， ,xfxf00即是拉格朗日中值定理在上式中，若用泰勒多项式近似代替 f（x） ，所产生的误差是.|x|!1nf|xR| 01n0n 与与特别地，若 在（a，b）上有界，设 M0,对 ，有 则误差f b,
4、ax,M|xf|1n可表示： .|x|!nM|xRn10从上面可以求出，要求 f（x）的泰勒公式，只要求出泰勒多项式的系数 ，而kb因此只须求 f（ x）在 的直到 n 阶的导数 即可,!kxfb00n,210xfk .1x423f1 与与与 思路启迪 x 1 可以写成 x（1） ，故只需求出 f（x）有1 点的各级导数即可.61f,6xf ;0,23;4f4f,0与.1x4xf .1x!36!2032与 时 ， 公 式 成 为 ：在 泰 勒 公 式 中 ， 当 0.10,x!1nfx!0fx!2f0fx nn 这个公式称为马克劳林（Maclaurin）公式例 2 将 f（x） ln（1x ）
5、展开为 x 的幂式（即马克劳林公式） 思路启迪 首先求出 f（x）在 0 点的各阶导数，然后代入公式即可规范解法 当 x1 时，f（ x）是连续函数，并有连续的各阶导数：.10x1nxR ,xRn32l,0f .,n!2f 1nn1nn 与.10,e1nx!2x1!e故 有 0f,e已 知规 范 解 法 的 马 克 劳 林 公 式求 出 函 数例 3 xxnn 例 4 利用 ln（1x）展开式的前五项计算 ln1.2 之值.ln ,|R ,R.ll,.x.x,|R,Rxln 1823060426702111645132001654325 54265 故取规 范 解 法 6怎样判别曲线的凹凸性及
6、拐点？由导数 的符号，可知函数 f（x ）的单调性，但还不能完全反映它的变化规律，如函xf数 与 （图 317 ）在（0 ，）都是单调增加的，但增加的方式却不同，3y是向上弯曲的，而 是向下弯曲的因此，研究函数图像时，考察它们的弯曲方xxy向是很有必要的由图 318（a） 、图 318（b）我们可以直观地看到，当动点 P 沿着曲线滑动时，曲线上的切线随着点 P 而变化当每一点的切线位于曲线下方时，曲线是向上弯曲的，此时称曲线是向下凹的；当每一点切线位于曲线的上方时，曲线是向下弯曲的，此时称曲线是向上凸的如果一条曲线 yf（x）在区间（a，b）上是向下凹或是向上凸的，我们就说曲线yf （x）在（
7、 a，b）上具有凸凹性，曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法设 f（x）在 的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数，曲线 yf（x ）在点0的切线为0,M.xfxy00因而切线上横坐标为 x 的点的纵坐标为： .fBAy00曲线上横坐标为 x 的点的纵坐标为：,xf21xfCxf 2000 与 x之 间 ， 故 介 于 0.f21AC20AC 表示点 x 处曲线上的点与切线上的点之间的距离(如图 319)(1)当 时，则 在点 的充分小邻域内也大于 0，因此 ACO，于是 C 在0xf )x(f0A 之上，换句话说，在 M 的充分小邻域内，曲线弧落在切线
8、之上，故曲线在 M 点附近是向下凹的(2)当 则 在点 的充分小邻域内也小于 0，因此 AC0，即点 C 在 A 之下，,0xfxf0换句话说，在点 M 的充分小邻域内，曲线弧落在切线之下，故曲线在 M 点附近是向上凸的(3)当 时， 可能是正数也可能是负数f0f若 x 由小于 变为大于 , 不变号，则曲线在点 M 附近仍为向下凹的或向上凸0xf的；若 x 由小于 变为大于 ， 变号，则在点 M 处曲线将从切线的一侧穿过切线进0入另一侧，即曲线在点 M 附近两侧，其中一侧是向下凹的，则另一侧是向上凸的此时，点M 是曲线向下凹与向上凸的分界点，即是拐点从上面(3)中的可以看出，若 是使得 的点，
9、则 可能是拐点0x0f 0xf,根据以上的讨论，我们可以给出判别曲线 yf(x)凸凹性的步骤：(1)求出 yf(x)的定义域 D(2)求出 ，并求出方程 的根 等xf xf,12x(3)用 等点将 D 分成若干个区域，在每个区间上判别 的符号若 ，,12 xf0xf则在此区间上的曲线是向下凹的；若 ，则在此小区间上是向上凸的(此步骤通常列0xf表完成)曲 线 是 向 下 凹 的 .0,6xy0时 ，当 x曲 线 是 向 上 凸 的时 ，当 .得令 6xy,3R，定 义 区 域规 范 解 法 的 凸 凹 性x判 定 曲 线 y例 123 20).3是 曲 线 的 拐 点 (如 图，点时 ，当 的
10、 符 号 ， 列 表 如 下 ：xf近附32x0,判 定 .得f令 32x6436x112R,定 义 域规 范 解 法 的 凸 凹 性 与 拐 点 .4x3讨 论 曲 线 y例 113 x （，0 ） 0 32,032,32f 0 0 f（x ） 向下凹 1 向上凸 271向下凹拐点 （0，1 ） ,3由上表可知，曲线 在（，0）与 是向下凹的，在 是x43y3,232,0向上凸的，拐点是（0，1）和 ，如图 321271,37怎样求曲线的渐近线？我们知道双曲线 的渐近线有两条： 在作双曲线的图象时，如果1byax20byax能先把两条渐近线作出来，再画曲线的图象，就较准确地画出它的图象因此如
11、果一条曲线存在渐近线，先把它的渐近线求出来，对于准确描绘函数 yf（x）的图象是非常必要的一般地，当曲线 yf（x）上的动点 P 沿着曲线 yf（x）无限地运离原点时，若动点 P到某一定直线 的距离无限地趋于 0（如图 322 ） ，则称直线 的曲线 yf （x）的渐近线l l下面我们将分三种情况讨论曲线的渐近线（1 ）垂直渐近线若 或 则直线 是曲线 yf（x）的垂直渐近线（垂直于 x,xflim0,xfli00x轴） .4x31f1与与思路启迪 求曲线的垂直线渐近线，首先找出使分母为零的点 ，然后检查函数在这些0x点两侧附近函数的变化趋势，若当无限接近该点时，函数趋于，则 即为垂直渐近线,
12、4x31lim,4x31lix与,4x31li ,4x故直线 x3 与 x4 都是曲线的垂直渐近线（2 ）水平渐近线 b,xflimb或flimb、flim若 xx 则直线 yb 为曲线 yf （x ）的渐近线，称为水平渐近线 .12与与思路启迪 曲线 yf（x）是否存在水平渐近线，就是看当 x（或 x）时，f（x ）是否有有限极限 b，若有有限极限 b，则 yb 即为该曲线的水平渐近线否则，就不存在水平渐近线 ,01xlim与与所以 y0 是曲线的水平渐近线点评 由以上的几个例题可以看到，对于有理分式函数 R（x）来说，当分子的最高指数不超过分母的最高指数时，曲线 yR （x）有水平渐近线，
13、当分子的最高指数大于分母的最高指数时，曲线 yR （x）不存在水平渐近线 .x1742353求 曲 线例 .45y,45lim23x与与（3 ）斜渐近线如图 322，设曲线 yf （x）的渐近线方程是 ykxb，下面我们来确定常数 k 和 b设曲线 yf （x）上任意点 P（x，f（x） ）到直线 ykx b 的距离是|PM|，则由点到直线的距离公式有： .k1|b|PM| 2直线 ykx b 是曲线 yf （x ）的渐近线，当且仅当 当且仅当 ;0k1|bxf|lim2x当且仅当 ;0bkxflimx bkxflimx若 k 知道，则 b 可由上式求出，怎样求 k？ .xfli0fli,x1
14、lix 与与与于是，直线 ykxb 是曲线 yf （x ）的渐近线当且仅当.klimxflikx与因此，若上面两个极限都存在，则曲线 yf（x）有斜渐近线 ykxb；若上面两个极限至少有一个不存在，则曲线 yf（x）不存在斜渐近线.143f42与与思路启迪 检验一条曲线 yf（x）是否存在斜渐近线，首先应检验 是否为有xflim限数值，若为有限值 k，则再检验 是否为有限值 b，若 b 为有限值，则曲线kxlimxyf （x）存在斜渐近线 ykx b,143li,143li 2x2x 与与所以，x1 是曲线的垂直渐近线 .xy.limxlikxflib,liflikxxx5419413422于
15、 是 直 线又即 x-4y-5=0 是曲线的斜渐近线例 5 求曲线 yarctanx 的渐近线 .2y.2xarctnlim,xarctnlix与与与与与x2f6.x2lim,2lim0x0x 则 x0（即 y 轴）是曲线的垂直渐近线 .1x2li2x2likxflib,liflix2 与所以 y2x 1 是曲线的斜渐近线8怎样作函数的图象？在中学数学中，我们利用描点法描绘了一些简单函数的图象但是，描点法有缺陷，因为描点法中我们所选的点不可能很多，而一些关键性的点，如极值点、拐点等可能漏掉；而曲线的重要性态如单调性，凸凹性也没有掌握因此，描点法所描绘的函数图象往往与真实的图象相差甚远现在，我们
16、已经掌握了借助于导数的符号，可以确定函数图象在哪个区间上升，在哪个区间下降，什么地方是极值点；借助于二阶导数的符号，可以确定函数图象在哪个区间向下凹，在那个区间向上凸，在什么地方是拐点而我们知道了函数图象的升降、凸凹以及极值点和拐点后，由此也可以掌握函数的性态，并由此可以把函数的图象画得比较准确一般地，利用导数描点绘函数的图象可按照下列的步骤来进行？（1 ）确定函数的定义域（2 ）观察函数 yf（x ）是否具有某些特性（如奇偶性、周期性） （3 ）求出函数 yf（x ）的渐近线（如果有的话）（4 ）求出函数 .xfxf与 二 阶 导 数的 一 阶 导 数（5 ）求出方程 及 的全部实根，并用这些根把函数的定义域分成若干个0ff区间（列表） （6 ）判别曲线在第 5 步所分成区间内的单调性、凸凹性，并确定极值点与拐点（列表）（7 ）确定一些特殊点，如与坐标轴的交点及某些易算出的点（x，f（x） ）等（8 ）画出渐近线，并根据以上所讨论的函数的性态描绘出曲线的图象 .2x14y1与与规范解法 （1）定义域：（ ，0 ）（0，） （2 ）渐近线：因 所以 y2 是水平渐近线；又因 ，所以2x4lim 2x14lim0x0 是垂直渐近线
