1、1江苏省苏北三市 2013 年 1 月第二次调研数学试题徐州、淮安、宿迁一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.已知全集 集合 则 .,3210U,32,0BABACU)(2.已知 是虚数单位，实数 满足 则 .i ba10)(4ibaiba43.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查，则月收入在 （元）内应抽出 人.)30,254.如图是一个算法的流程图，若输入 的值是 10，则输出 的值是 .nS5.若一个长方体的长、宽、高分
2、别为 、 、1，则它的外接球的表面积是 .326.从 0，1，2，3 这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 .7.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是 .nanS62,56382a1a8.已知双曲线 的右焦点为 若以 为圆心的圆)0,(12bbyxF与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .0562yx9.由命题“ ”是假命题，求得实数 的取值范围是 ，则实数,mRm),(a的值是 .a10.已知实数 满足约束条件 （ 为常数） ，若目标函数 的最大值yx,0,12kyx yxz2是 ，则实数 的值是 .31k11.已
3、知函数 ，当 时， ，则实数 的取值范围3,1(,2903)(xxf 1,0t 1,0)(tft是 .12.已知角 的终边经过点 ，点 是函数),P),(),(21yxBA图象上的任意两点，若 时， 的最小值为)0(sin()(xf ff 21x，则 的值是 .3213.若对满足条件 的任意 ， 恒成立，)0,(3yxyyx, 0)()(2ya则实数 的取值范围是 .a（第 3 题图）1000 1500 2000 2500 3000 40003500 月收入（元）频率/组距0.00010.00020.00040.00050.0003开始输入 n0S2（第 4 题图结束nS1输出214.如图，在
4、等腰三角形 中，已知 ， ， 、 分别是边 、ABC1AC20EFAB上的点，且 ， ，其中 若 的中点分别为ACEmFn),(,nmBC,且 则 的最小值是 .,NM,14nN二、解答题（本大题 6 小题，共 90 分）15. (本小题满分 14 分)在 ，已知ABC.sin3)sini(sinsini CBACB（1） 求角 值；（2） 求 的最大值.cosi316.（本小题满分 14 分）如图，在四棱柱 中，已知平面 平面 且1DCBACA1,BD,3CBA.1D（1） 求证： ;1（2） 若 为棱 的中点，求证： 平面E/E.17.（本小题满分 14 分）如图，两座建筑物 的底部都在同
5、一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分CDAB,别是 9 和 15 ，从建筑物 的顶部 看建筑物 的视角 .cmACD45A(1)求 的长度；(2)在线段 上取一点 点 与点 不重合） ，从点 看这两座建筑物的视角分别为(PB,P问点 在何处时， 最小？,APMNC第 14 题图1AECDB1DB1C第 16题图ABDCP第 17 题图318.（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为 2，且过点xOy )0(1:2bayaxE.)26,(（1） 求椭圆 的方程；E（2） 若点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点，直线 经过点 且垂直于 轴，点 是椭ABlBxP圆上异于
6、 ， 的任意一点，直线 交 于点APl.M（）设直线 的斜率为 直线 的斜率为 ，求证： 为定值；OM,1kB2k21k（）设过点 垂直于 的直线为 .m求证：直线 过定点，并求出定点的坐标 .m19. （本小题满分 16 分）已知函数 ).1,0(ln)(2axaxf（1） 求函数 在点 处的切线方程；),f（2） 求函数 单调区间；（3） 若存在 ，使得 是自然对数的底数） ，求实数1,21exff(1)()(21的取值范围.a20. （本小题满分 16 分）已知 且 令 且对任意正整数 ，当 时，,0b,a,1bak0kba当 时，;43121 kkkk ba 0k .43,21411k
7、（1） 求数列 的通项公式；n（2） 若对任意的正整数 ， 恒成立，问是否存在 使得 为等比数列？若naba,n存在，求出 满足的条件；若不存在，说明理由；ba,（3） 若对任意的正整数 且 求数列 的通项公式.,0,b,4312nb徐州市 20122013 学年度高三第一次质量检测数学（附加题）21.【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内ABCD作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修 41 ：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图， 是 的一条切线，切点为 直线ABO, ,ADECGF,都是 的割线，已知
8、 求证：.AFG/ABMPOlxymEGBFOC第 21A 题图4B. 选修 42 ：矩阵与变换（本小题满分 10 分）若圆 在矩阵 对应的变换下变成椭圆 求1:yxC)0,(0baA ,134:2yxE矩阵 的逆矩阵 .AC. 选修 44 ：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 为参数, ,以 为xOyC(sin2coryx)0rO极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 若圆 上的l ,1)4(C点到直线 的最大距离为 ，求 的值.l3rD. 选修 45 ：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知实数 满足 求 的最小值.zyx, ,
9、2zy23zyx【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分 10 分)如图,已知抛物线 的焦点为 过 的直线 与抛物线 交于xyC4:2,FlC两点, 为抛物线的准线与 轴的交点.(,0)(1ByxATx(1)若 求直线 的斜率；Tl(2)求 的最大值. F23.（本小题满分 10 分）TAFBOyx第 22 题图5已知数列 满足 且na ),(121*Nnan .31a（1） 计算 的值，由此猜想数列 的通项公式，并给出证明；432, （2） 求证：当 时，.徐州市 201220
10、13 学年度高三第一次质量检测数学试题参考答案与评分标准一、填空题1 2 3 4 5 6 7,30255928 9 10 11 12 13 145137log,123(,二、解答题15因为 ，(sinsin)(sin)sinABCABC由正弦定理，得 ，2 分abcabc所以 ，所以 ，4 分22bc221oA因为 ，所以 6 分(0,)3 由 ，得 ，所以3ABCsincoBC23sinco()3B，10 分1sin(cosi)2()6+因为 ，所以 ，12 分036当 ，即 时， 的最大值为 14 分6B+3sincoBC116在四边形 中，因为 ， ，所以 ，2 分ACDADBAC又平面
11、 平面 ，且平面 平面 ，11平面 ，所以 平面 ，4 分D又因为 平面 ，所以 7 分111在三角形 中，因为 ，且 为 中点，所以 ，9 分BECE又因为在四边形 中， ， ，AC3BA1所以 ， ，所以 ，所以 ，12 分6030DBADC6因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 14 分DC1AE1DCAE1DC17作 ，垂足为 ，则 ， ，设 ，AE96Bx则 2 分tantatanta()n+，化简得 ，解之得， 或 （舍）961x+21540x18x3答： 的长度为 6 分BC8m设 ，则 ，Pt(8)t8 分2291566(7)tan()13518358ttttt+设 ， ，令 ，
12、因为 ，得27()135ft224()ftt ()0ft18t，当 时， ， 是减函数；当 560,67t(0f(5627,)时， ， 是增函数，()ft()f所以，当 时， 取得最小值，即 取得最小值，12 分2()fttan()+因为 恒成立，所以 ，所以 ， ，21835t+()ft 0(,)2+因为 在 上是增函数，所以当 时， 取得最小值anyx(,)15627答：当 为 时， 取得最小值 14 分BP627m+18由题意得 ，所以 ，又 ，2 分cc23ab消去 可得， ，解得 或 （舍去） ，则 ，a42530b124a所以椭圆 的方程为 4 分E1xy（）设 ， ，则 ， ，1
13、(,)0P0(2,)M012yk12yx因为 三点共线，所以 ， 所以， ，8 分,AB104yx20114()()因为 在椭圆上，所以 ，故 为定值10 分1(,)xy22113()2123ykx（）直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ,P21ykxm1m则直线 的方程为 ，12 分m0()y11112 4() 2x yyxx22111(4)xy= = ，221143()y111()所以直线 过定点 16 分m,019因为函数 ，2ln(0,)xfaa+7所以 ， ，2 分()ln2lxfaa+(0)f又因为 ，所以函数 在点 处的切线方程为 4 分01x,f 1y由， lln21)lnx x
14、f a +因为当 时，总有 在 上是增函数， 8 分,()fR又 ，所以不等式 的解集为 ，()f0(,故函数 的单调增区间为 10 分x,因为存在 ，使得 成立，12,12()e1fxf而当 时， ，12main()()fxx所以只要 即可12 分main()ef又因为 ， ， 的变化情况如下表所示：xfx(,0)(0,)+()fx减函数 极小值 增函数所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当 时， 的最小值()fx1,00,11,xfx， 的最大值 为 和 中的最大值minfmaxf1ff因为 ，()(ln)(ln)2lnfaa+令 ，因为 ，12l0ga()0g 所以 在 上是增函数
15、(),而 ，故当 时， ，即 ；101a(1)f当 时， ，即 14 分0g()f所以，当 时， ，即 ，函数 在 上是()ef lnea lnya(1,)增函数，解得 ；当 时， ，即 ，函数ea 1a()01ff e在 上是减函数，解得 1lny(0,)e综上可知，所求 的取值范围为 16 分(,)+20当 时， 且 ，nab 124nnab134nnb所以 ，2 分13()24又当 时， 且 ，0n1nn1nna，4 分13()2abab 因此，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，n所以， 5 分n1()n8因为 ，所以 ，所以 ，0nabnna431 134nna，8 分1()2n
16、n11()2b假设存在 ， ，使得 能构成等比数列，则 ， ， ，ab1b24ba3516ba故 ，化简得 ，与题中 矛盾，245()()160a0故不存在 ， 使得 为等比数列 10 分n因为 且 ，所以0nab+1243b121224nnnba所以 12432113nnab所以 ，12 分21()()4nb由知， ，所以221nnaab 22113nnabb)()(321312 nn24624nb ，13 分1 14()394n naabb ，14 分21()143nnb所以， 16 分22(),943()1-,4nn nabb为 奇 数 时 ,为 偶 数 时徐州市 20122013 学年
17、度高三第一次质量检测数学试题参考答案与评分标准21A因为 为切线， 为割线，所以 ，BAE2ABDE9又因为 ，所以 4 分ACB2ADEC所以 ，又因为 ，所以 ，DEADC E所以 ，又因为 ，所以 ，GF所以 10 分 GFAB设点 为圆 C： 上任意一点，经过矩阵 A 变换后对应点为 ，(,)Pxy21xy (,)Pxy则 ，所以 2 分0aab,axby因为点 在椭圆 ： 上，所以 ，4 分(,)xyE243+22143by+又圆方程为 ，故 ，即 ，又 ， ，所以 ， 212,3ab2,ab02a3b所以 ，6 分03A所以 10 分1203C因为圆 的参数方程为 （ 为参数， ）
18、 ，消去参数得，2cos,inxry0r，所以圆心 ，半径为 ，3 分220xyr 2,Cr因为直线 的极坐标方程为 ，化为普通方程为 ，6 分lsin()142xy圆心 到直线 的距离为 ，8 分C2xy2d又因为圆 上的点到直线 的最大距离为 3，即 ，所以 10 分l 3r21rD由柯西不等式， ，5 分2221()()()()3zxyz因为 ，所以 ，2xyz+41xy当且仅当 ，即 时，等号成立，31z62,z所以 的最小值为 10 分22xyz24122因为抛物线 焦点为 ， x,0F(1,)T当 轴时， ， ，此时 ，与 矛盾，2 分l(1,)A(,)BAB1TA所以设直线 的方
19、程为 ，代入 ，得 ，lyk24yx222(4)0kxk+10则 ， ， 所以 ，所以 ，4 分214kx+12x21126yx124y因为 ，所以 ，将代入并整理得， ，TAB()+k所以 .6 分因为 ，所以 ，当且仅当 ，即10y112tan4yATFx1y 14y时，取等，所以 ，所以 的最大值为 .10 分12 ATF23 ， ， ，猜想： 2 分4a3546a*2()na+N当 时， ，结论成立；n1假设当 时，结论成立，即 ，*(,)kN k则当 时， ，+2211=()()1=+3()2kk k即 当 时 ， 结 论 也 成 立 ， 由 得 ， 数 列 的 通 项 公 式 为 5分nna*naN原不等式等价于 ()4n证明：显然，当 时，等号成立；2当 时，2n0122(1)C()C()n nn 0123C()()nnn，02C54n综上所述，当 时， 10 分 na
