1、两条异面直线所成的角练习课 教学目标1记忆并理解余弦定理；2应用余弦定理来求异面直线所成的角教学重点和难点这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦这节课的难点是使学生初步理解当 cos0 时，090，当 cos=0 时，=90，当cos0 时，90180教学设计过程一、余弦定理师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？生：余弦定理有两种表述的形式，即：a2=b2c 2-2bccos Ab2=c2+a2-2cacos Bc2=a2b 2-2abcos C第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角师
2、：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角在余弦定理的第二个形式中，我们知道 b2c 2可以等于 a2；也可以小于a2；也可以大于 a2那么，我们想当 b2+c2=a2时，A 等于多少度？为什么？生：当 b2c 2=a2时，由勾股定理的逆定理可知A=90师：当 b2c 2a 2时，A 应该是什么样的角呢？生：因为 cosA0，所以A 应该是锐角师：当 b2c 2a 2时，A 应该是什么样的角呢？生：因为这时 cosA0，所以A 应该是钝角师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可初步理解后应该记住、会用现在明确提出当 cos=0 时，=90， 是直角；当
3、cos0 时，090， 是锐角当 cos0 时，90180， 是钝角下面请同学们回答下列问题：生： 等于 60， 等于 120师：这时 和 是什么关系？生： 和 是互为补角师：再回答下列问题：生： 1等于 45， 1等于 135， 1+ 1=180； 2等于 30， 2=150， 2+ 2=180师：一般说来，当 cos=-cos 时，角 与角 是什么关系？生：角 与角 是互补的两个角即一个为锐角，一个为钝角，且 =180（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）二、余弦定理的应用例 1 在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB=BC=3，AA 1=
4、4求异面直线 A1B 和 AD1所成的角的余弦（如图 1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A 1B 和 AD1所成的角是哪一个角？生：因为 CD1A 1B，所以AD 1C 即为 A1B 与 AD1所成的角师：AD 1C 在AD 1C 中，求出AD 1C 的三边，然后再用余弦定理求出AD 1C 的余弦师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形现在我们再来看例 2例 2 在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，C 1BC=45，B 1AB=60求 AB1与BC1所成角的余弦（如图 2）师：在这例中，我们除
5、了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理生：因为 BC1AD 1，所以 AB1与 BC1所成的角即为D 1AB1根师：现在我们来看例 3例 3 已知正方体的棱长为 a，M 为 AB 的中点，N 为 B1B 的中点求 A1M 与C1N 所成的角的余弦（如图 3）（1992 年高考题）师：我们要求 A1M 与 C1N 所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法在直观图中，根据条件我们如何把A1M 用两次平移的方法作出与 C1N 所成的角？生：取 A1B1的中点 E，连 BE，由平面
6、几何可知 BEA 1M1，再取 EB1的中点F，连 FN 由平面几何可知 FNBE，所以 NFA 1M所以C 1NF 即为 A1M 与 C1N 所成的角师：还可以用什么方法作出 A1M 与 C1N 所成的角？生：当 BEA 1M 后，可取 C1C 中点 G，连 BG，则 BGC 1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例 4例 4 在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AA 1=c，AB=a，AD=b，且 ab求 AC1与 BD 所成的角的余弦（如图 4）师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与 BD 所成的角。生：连 AC，设
7、ACBD=0，则 O 为 AC 中点，取 C1C 的中点 F，定理，得师：想一想第二个解法生：取 AC1中点 O1，B 1B 中点 G在C 1O1G 中，C 1O1G 即一可知：师：想一想第三个解法当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线生：延长 CD 到 E，使 ED=DC则 ABDE 为平行四边形AEBD，所以EAC 1即为 AC1与 BD 所成的角（如图 5）连 EC1，在由余弦定理，得所以EAC 1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC 1与 BD 所成的角的余弦为师：根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概念，作出所成
8、的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）今天就讲这四个例题，这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角作业补充题3在棱长为 a 的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，O 是正方形 ABCD 的中心，E，F分别是 AB，BC 中点求：（1）异面直线 A1D1和 CD 的距离；（2）异面直线C1O 和 EF 的距离4在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，BAB 1=B 1A1C1=30求：（1）AB 与A1C1所成的角的度数；（2）A 1A 与 CB1所成的角的度数；（3）AB 1与 A1C1所成的角的余弦
