1、直线和平复习（四） 教学目标结合第一章的内容，渗透数学思想方法（数形结合思想；方程的思想；转化的思想；分类讨论的思想）教学重点和难点数学思想的渗透与培养教学设计过程师：今天是复习课的最后一节今天以复习题目中体现的数学思想为主线，研究几种常用数学思想在本章的体现分类讨论的思想是同学们比较熟悉的使用较多的是在代数课上y=ax2+bx+c 的图象，当 a0 时，开口向上；当 a0 时，开口向下几何中，分类讨论思想的应用，主要是依据图形中元素位置关系的不同而展开的请看以下一组题目：例 1 已知：ab，直线 a 平面 ，直线 b 平面 ，直线 c 平面，ca若直线 a 与直线 b 的距离为 6cm，直线
2、 b 与直线 c 的距离 5cm，直线c 与平面 的距离为 4cm求：直线 a 与直线 c 的距离（教师画图）生 A：在直线 c 上任取一点 A，作 AB 于 B，过 B 作 BCa 于 C，反向延长交 b 于 D，因为 ab，所以 BCb分别连结 AC、AD，根据三垂线定理，aAC，bAD据题意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在 RtABD 中，求出 BD=3cm，所以BC=3cm，在 RtABC 中，求出 AC=5cm师：哪位同学对“生 A”的解答有补充？师：生 A 的解答基础是依据我画的图而原题中并没有给图，也没有“如图”这样的说明，因此我们先要研究图应该怎么画！生 B：老
3、师，我对“生 A”的发言有补充这个题目的图形还有以下两种可能：师：好这道题目体现了分类讨论的思想它是根据直线 c 在平面 内射影的不同位置来进行讨论的生 C：老师，我认为还有两种情况：情形 1：直线 c 在平面 内射影与直线 a 重合情形 2：直线 c 在平面 内射影与直线 b 重合师：“生 C”同学的补充很好例 1 应该分为 5 种情况来讨论但是其中会有一些情况无解，请同学们现在实践一下图一的位置其余三种位置关系均无解师：还有一点提醒同学们注意：对于不同的位置关系，解题时都要给予论述，对于无解的情形要讲清无解的原因。有些同学认为无解就不用写了，这种认识是错误的再看例 2例 2 平面 外两点
4、A，B，它们到平面 的距离分别为 a，b，求：点 P 到平面 的距离生 A：我认为有两种情况：一种是点 A、点 B 在平面 同侧；另一种是点A、点 B 在平面 异侧生 B：我有不同看法，已知条件中没有给出 a，b 的大小关系，“生 A”解决图 5 情形时，默认为 ba 是不对的，应该再分两种情形：师：“生 B”的补充很好，例 2 不仅在图形的位置关系上分类讨论，还要根据数据 a，b 的大小关系来分类讨论如果简化题目，已知条件上补一个条件：ba，是否上述解答就全面了呢？生 C：当 A，B 两点在两侧时，在图 6 中，点 P 不一定在 A1B1上方当b2a 时，点 P 位于 A1B1上方；当 b=
5、2a 时，点 P 在 A1B1上；师：经过“生 C”的补充，题目解答就全面了下面谈一下方程的思想在初中阶段，同学们重点研究了列方程解应用题，这就是最基本的方程的思想通过设未知数，寻求已知量与未知量之间的关系，从而获得问题的解决下面请看例 3例 3 如图 7，二面角 -l-，点 Bl，AB ，BC ABD=CBD=45，ABC=60求：二面角 -l- 的大小师：首先我们可以根据二面角的平面角的定义构造二面角的平面角具体作法是：在 l 上选点 D，经过点 D 分别在 ， 平面内作 l 的垂线交 BA，BC于 E，F设 AD=，由ABD=45得 BD=aEDF=90本例特点在于题目中没有给出任何线段
6、的长度，而是通过设未知量，进而知道已知与未知的关系例 4 二面角 -EF- 为 120，点 A，点 B，ACB 为二面角的平面角，且 AC=BC=a在 EF 上取一点 D问：D 点在何处时，ADE=ADB=BDE=？为了确定点 D 的位置，可设与 D 点有关的某一条线段长为 x，依据题设建立等量关系再求出 x 的值，同学们实践一下生 A：在 EF 上取点 D，设 AD=x因为 AC=BC=a，ACB=120，因为 ADE=ADB=BDE=0，所以 ADC=180-ABD 中由余弦定理可得：AB2=x2+x2-2x2cos，生 B：我认为解答不全面，刚才“生 A”的解答中，运用了图 8 中各点之
7、间位置关系应该给予讨论，当点 D 位于 CF 之间时，ADC=180而不是等于 180-师：“生 B”的问题提的好，在“生 A”的解答中，距点 C 的距离例 5 如图 9，ASB=90，CSB=75，ASC=105，由 求：ABC 的周长师：这道题目的难度在于如何建立一座沟通已知与未知的桥梁生：观察图形，我发现图中有三对全等三角形ADSAFS；FSCESC；BESBDS设DSA=，FSC=，ESB=师：上面列举了 3 个题目，从不同的侧面，以不同的形式反映出方程的思想在立体几何解题中的作用下面再谈一下转化的思想，转化的内涵十分丰富有条件的转化；结论的转化；图形的转化；解题策略的转化事实上，许多
8、题目的解答过程都不同程度在使用转化的思想例 6 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1求：异面直线 A1C1与 B1C 的距离生 A：可以证明：B 1CA 1D1，进而可证 B1C面 A1DC1，问题转化为求直线B1C 与平面 A1C1D 的距离生 B：还可以证明 ACA 1C1，不难证明：平面 A1C1D平面 ACD1问题转化为求平面 A1C1D 与平面 ACB1的距离生 C：在 A1C1上取一点 P，作 PNB 1C1于 N，作 NQB 1C 于 Q，连结 PQ可以证明 PQB 1C师：“生 C”的思想是：依据异面直线的概念，特别是公垂线段的长是两条异面直线上各取一点后所连线段的最小值布置作业：（略）
