1、1.2.1排列（第一课时） 复习回顾： 分类加法计数原理 nmmmN 21完成一件事， 有 n类办法，在第 1类办法中有 m1种不同的方法，在第 2类办法中有m2种不同的方法， ，在第 n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法 复习回顾： 分步乘法计数原理 nmmmN 21完成一件事，需要 分成 n个步骤，做第 1步有 m1种不同的方法，做第 2步有 m2种不同的方法， ，做第 n步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法 自学书本 14页 17页， 完成自学提纲表格中的所有问题： 问题 1和问题 2中要完成的“一件事”是什么？如何完成？请将具体问题抽象
2、成一般问题 . (舍弃具体背景 ,如何叙述问题 1和问题 2？ ) 找出问题 1和问题 2的共同特点 (问题类比，探究共性 )，领会 排列的概念 ；归纳排列的特征；理解 排列数的概念 . 完成 排列数公式 的推导 . 检验自学成果 问题 1：从甲、乙、丙 3名同学中选出 2名参加一项活动，其中 1名同学参加上午的活动，另 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题 1中要完成的 “ 一件事 ” 是指 “ 从 3人中选出 2人，分上下午参加一项活动 ” . 问题 1分两个步骤完成，第 1步，确定上午参加活动的同学，从 3人中任选 1人，有 3种方法；第 2步，确定下午参加活动的同学，从剩
3、下的 2人中任选 1人，有 2种方法 .根据分步乘法计数原理，按照参加上午活动的同学在前，下午活动的在后的顺序排列的不同方法共有 种 . 3 2 6上午 下午 相应的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 问题 1转化 问题 1抽象为：从 3个不同的元素 a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 检验自学成果 问题 2：从 1， 2， 3， 4这 4个数字中，每次取出 3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 问题 2中要完成的 “ 一件事 ” 是 “ 从 4个数字中选 3个排成一个三位数 ” . 问题 2分三个
4、步骤完成，第 1步，确定百位上的数字，有 4种方法；第 2步，确定十位上的数字，有 3种方法；第 3步，确定个位上的数字，有 2种方法，于是，每次取出的 3个数字，按 “ 百 ”“ 十 ”“ 个 ” 位的顺序排成一列，共有 种 . 4 3 2 24 问题 2提炼 问题 2抽象为：从 4个不同的元素 a,b,c,d中任取 3个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ (不管是同学还是数字，我们所考虑的对象都叫元素 ) 问题 2验证 由树形图，列出所有排列方法： a b c d c d b d b c 百位 十位 个位 b a c d c d a d a c c a b d b
5、d a d a b d b c a c a b a b c 列举法： abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc, cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 特征总结，概念引入 一般地，从 n个 不同 的元素中取出 m(mn) 个元素 ,按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个 排列 . “排列 ” 是一类特殊的计数问题，从 n个 不同的元素中 取 ；按照一定的 顺序 . 两个排列 相同 ，当且仅当两个排列的 元素 完全 相同 ，且元素的排列 顺序 也 相
6、同 . 再次强调，排列与 顺序 有关 . 从 n个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号 表示 . 问题 1求选法种数就是求从 3个不同元素中取出 2个元素的排列数，记为 . 问题 2求三位数个数就是求从 4个不同元素中取出 3个元素的排列数，记为 . 能否把问题 1和问题 2求方法种数的问题转化为求排列数的问题？这是关键 . 排列数概念 23A34AmnA请说说排列与 排列数的区别 例 1.下列问题中，哪些属于排列问题？ (1)从、这四个数中，任取出个不同的数相乘 ,有多少个不同的积？ (2)从、这四个数中，任取出个不同的数
7、相除 ,有多少个不同的商？ (3)从名学生中选出 2人去打扫卫生，有多少种不同选法？ (4)从名学生中选出 2人去打扫卫生，其中一人扫地一人擦窗，有多少种不同选法？ (5)用、中的数字组成多少个不同的两位数？ (6)从、这四个数字中选出不同的个数字，可以组成多少个不同的两位数？ (7)有 10种不同的生活用品各 n件（ n3 ），从中取出 3件发给 3个学生，每人一件，有多少种不同的发放方式？ (8)有 10件不同的生活用品，从中取出 3件发给 3个学生，每人一件，有多少种不同的发放方式？ 例 1.下列问题中，哪些属于排列问题？ 例 1小结 鉴别是否为排列问题的标准主要有： (1)所给的 n个
8、元素是不是互不相同 (即没有重复元素 )， 也包括取出的 m个元素互不相同 (即没有重复抽取的元素 ). (2)取出的 m个元素是不是和顺序有关 . 一旦确定是排列问题 ， 那么求方法种数的问题就可以转化为求排列数的问题 . (5)用、中的数字组成多少个不同的两位数？ (6)从、这四个数字中选出不同的个数字，可以组成多少个不同的两位数？ (7)有 10种不同的生活用品各 n件（ n3 ），从中取出 3件发给 3个学生，每人一件，有多少种不同的发放方式？ (8)有 10件不同的生活用品，从中取出 3件发给 3个学生，每人一件，有多少种不同的发放方式？ 例 1.下列问题中，哪些属于排列问题？ 24
9、A310A排列数公式的推导 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )mnA n n n n m 求排列数 ，可以按依次填 m个空位来考虑，从第 1个空位到第 m个空位依次有 n，n-1， n-2， ， n-m+1种选法，这样我们就得到了排列数的公式 . mnA第 1位 第 2位 第 m位 n n-1 n-m+1 2 3 2 334 3 2 4 3 2 nnA A A A ； ； ；公式特征 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )mnA n n n n m *,n m N m n连乘式 m项 全排列 ( 1 ) ( 2 ) 2 1nnA n n n 特别地，当 m=n，也就是 n个不同元素全部取出的一个排
10、列，叫做 n个元素的一个全排列 .有 其中正整数 1到 n的连乘积，叫做 n的阶乘，用 表示，规定 . !n 0 ! 1( 1 ) ( 2 ) 2 1 !nnA n n n n 排列数公式的阶乘形式 ( 1 ) ( 1 )mnA n n n m !( ) !nnm( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 1( ) 2 1n n n m n mnm 例 2.利用排列数公式计算： 38A ( 1 ) = 8 7 6 = 3 3 6 ；3585 .AA(1) ； (2)解： 55 5 4 3 2 1 12 0.A (2)例 3.求解下列问题： (1) 用排列数表示 9 8 7 6 ； (2) 用排列数表示
11、 (55 n )( 56 n )(69 n ) ( n N*且 n 55) . ( 2 ) A 1569 n . ( 1 ) 49A； (1)10个人走进只有 6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一个人，则共有多少种不同的坐法？ (2)6个人走进有 10把不同椅子的屋子 ， 每个人必须且只能坐一把椅子 ， 则共有多少种不同的坐法 ？ 例 4. 610( 1 ) 1 0 9 8 7 6 5 1 5 1 2 0 0A 解 ：610( 2 ) 1 0 9 8 7 6 5 1 5 1 2 0 0A 解 ：本题说明了 “ 元素 ”和 “ 位置 ” 的相对性 例 5. 某年全国足球甲级 (A组 )联
12、赛共有 14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 解： 14个队中任意两队进行 1次主场比赛与 1次客场比赛，对应于从 14个元素中任取 2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是： 1 8 21314214 A课堂小结 !( 1 ) ( 1 )( ) !mnnA n n n mnm mnA 一般地，从 n个 不同 的元素中取出 m(mn)个元素 ,按照一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个 排列 . 从 n个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的 排列数 ，用符号 表示 . 排列数公式
13、 ： *,n m N m n1.2.1排列（第二课时） 复习巩固 从 n个不同元素中，任取 m( )个元素（ m个元素不可重复取） 按照一定的顺序排成一列 ，叫做 从 n个不同元素中取出 m个 元素的一个排列 . nm 1 .排列的定义： 2.排列数的定义： 从 n个不同元素中，任取 m( )个元素的 所有排列的个数 叫做从 n个元素中取出 m个元 素的排列数 nm mnA3.全排列的定义： n个不同元素 全部取出 的一个排列， 叫做 n个不同元素的一个全排列 . (3)全排列数公式： n ( n 1 ) 3 2 1!nA nn 4.有关公式： . 阶乘：n !1（ 2）排列数公式 : n)mN * ,( m 、nm ) ！(nn！1)m(n1)(nnA mn计算 :求 的值 . 1432 nnn AA例 .求证： 11 mnmnmn mAAA例 .解不等式： 2x9x9 A6A 3 , 4 , 5 , 6 , 7 x !33!22!1 nn 化简： 解： !)!1( !1)1(!nnnnnn1)!1(!)!1(!3!4!2!3!1!2!33!22!1nnnnn例 2： (1)有 5本不同的书 ,从中选3本送给 3名同学 ,每人各 1本 ,共有多少种不同送法？ (2)有 5种不同的书，要送 3本给 3名同学，每人各 1本，共有多少种不同的送法？
