1、第 1 页（共 25 页）2018 年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=1，0，1，2，3，B=x|x|2，则 AB=的值为（ ）A 1，0，1 ，2 B 2，1，0，1，2 C0 ，1，2 D1，22 （5 分）若复数 ，则 z 在复平面内所对应的点位于的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为（ ）A2 B5 C6 D74 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画
2、出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A2 B4 C8 D125 （5 分）执行如图所示的程序语句，则输出的 s 的值为（ ）第 2 页（共 25 页）A B1 C D6 （5 分）已知命题 p：直线 l1：ax +y+1=0 与 l2：x+ay+1=0 平行；命题 q：直线l：x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 相交所得的弦长为 ，则命题 p 是 q（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既充分也不必要条件7 （5 分）数列a n为正项递增等比数列，满足 a2+a4=10，a 32=16，则等于（ ）A 45 B45 C90 D908 （5 分）若 是夹角为 60的
3、两个单位向量，则向量 =的夹角为（ ）A30 B60 C90 D1209 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=16x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）第 3 页（共 25 页）A B C D10 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，当 x0，+）时，f （x ）0若 ， ，则 a，b ，c 的大小关系为（ ）Ab a c Bbca Ccab Dacb11 （5 分）函数 f（x ）=2sin（x+ ）的图象过点 ，相邻两个对称中心的距离是 ，则下列说法不正确的是（ ）Af （x）的最小正周期为Bf （x ）的一条对称轴为C f（ x）的图
4、象向左平移 个单位所得图象关于 y 轴对称Df（x ）在 上是减函数12 （5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f（x）ax=0有两个解，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） 14 （5 分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记球 O 的体积为 V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为 V2，则 的值为 15 （5 分）若 f（x ）=e xlna+exlnb 为奇函数，则 的最小值为 第 4 页（共 25 页）16 （5 分）已知抛物线 C：y 2=4x，过其
5、焦点 F 作一条斜率大于 0 的直线 l，l 与抛物线交于 M，N 两点，且|MF |=3|NF|，则直线 l 的斜率为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）设函数 y=f（ x）的图象由 y=2sin2x+1 的图象向左平移 个单位得到（1）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在ABC 中，a，b，c，6 分别是角 A，B ，C 的对边，且 f（A）=2，b=1，求 a 的值18 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 sn，点（ n，s n）在曲线 ，上数列b n满足 bn+bn+2=2bn+1，b 4=1
6、1，b n的前 5 项和为 45（1）求a n，b n的通项公式；（2）设 ，数列c n的前 n 项和为 Tn，求使不等式恒成立的最大正整数 k 的值19 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形， PA上面 ABCD 且PA=AB=2E 为 PA 的中点（1）求证：PC面 BDE；（2）求直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值20 （12 分）已知椭圆 （ab0） ，其焦距为 2，离心率为第 5 页（共 25 页）（1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为 F，K 为 x 轴上一点，满足 ，过点 K 作斜率不为0 的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，求FPQ
7、面积 s 的最大值21 （12 分）已知函数 f（ x）=1ax +lnx（1）若不等式 f（x）0 恒成立，则实数 a 的取值范围；（2）在（1）中，a 取最小值时，设函数 g（x）=x（1f（x） ）k （x+2）+2若函数 g（x ）在区间 上恰有两个零点，求实数 k 的取值范围；（3）证明不等式： （n N*且 n2） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线 ，直线l：（cossin）=4（1）将
8、曲线 C1 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、 倍后得到曲线 C2，请写出直线 l，和曲线 C2 的直角坐标方程；（2）若直线 l1 经过点 P（1，2）且 l1l，l 1 与曲线 C2 交于点 M，N，求|PM|PN|的值选修 4-5：不等式选讲23已知 a，b 是任意非零实数（1）求 的最小值（2）若不等式|3a+2b|+| 3a2b|a|（|2+x|+|2 x|）恒成立，求实数 x 取值范圈第 6 页（共 25 页）2018 年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中
9、，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=1，0，1，2，3，B=x|x|2，则 AB=的值为（ ）A 1，0，1 ，2 B 2，1，0，1，2 C0 ，1，2 D1，2【解答】解：集合 A=1，0 ，1，2，3，B=x| x|2=x|2x2，AB=1，0，1，2故选：A2 （5 分）若复数 ，则 z 在复平面内所对应的点位于的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解： = ，复数 z 在复平面内所对应的点的坐标为（ ， ） ，位于第四象限故选：D3 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为（ ）A2 B5 C6 D7【解答】解：作出 x，y 满
10、足 对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y=2x+z，第 7 页（共 25 页）平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 A（2，1） ，代入目标函数 z=2x+y 得 z=22+1=5即目标函数 z=2x+y 的最大值为 5故选：B4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A2 B4 C8 D12【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥 SABCD，其中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD平面 ABCD，
11、PD=3，几何体的体积：第 8 页（共 25 页）V=4故选：B5 （5 分）执行如图所示的程序语句，则输出的 s 的值为（ ）A B1 C D【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是第 9 页（共 25 页）S=sin +sin +sin +sin 的值，S=sin +sin +sin +sin=（ sin +sin +sin +sin ）+sin +sin=sin +sin=sin +sin=1+ 故选：C6 （5 分）已知命题 p：直线 l1：ax +y+1=0 与 l2：x+ay+1=0 平行；命题 q：直线l：x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 相交所得的弦长为
12、 ，则命题 p 是 q（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既充分也不必要条件【解答】解：当 a=0 时，两直线方程分别为 y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当 a0 时，若两直线平行，则满足 = ，由 = 得 a2=1，得 a=1，由 ，得 a1，即 a=1，即 p：a=1，圆心到直线的距离 d= ，半径 r=1，直线 l：x+ y+a=0 与圆 x2+y2=1 相交所得的弦长为 ，r 2=d2+（ ） 2，即 1= + ，得 a2=1，得 a=1，则命题 p 是 q 充分不必要条件，故选：A7 （5 分）数列a n为正项递增等比数列，满足 a2+a4=10，a 32=1
13、6，则等于（ ）第 10 页（共 25 页）A 45 B45 C90 D90【解答】解：因为a n为正项递增等比数列，所以 ana n10，公比 q1因为 a2+a4=10 ，且 =16=a3a3=a2a4由解得 a2=2，a 4=8又因为 a4=a2q2，得 q=2 或 q=2（舍） 则得a5=16，a 6=32，因为 + + = =5 =5=59 =452 =90，故选：D8 （5 分）若 是夹角为 60的两个单位向量，则向量 =的夹角为（ ）A30 B60 C90 D120【解答】解：根据题意，设 、 的夹角为 ，又由 是夹角为 60的两个单位向量，且 = ，则 =（ + ） （ +2
14、）= 2+2 2+ = ，又由 =（ + ） ，则| |= = ，=（ +2 ） ，则| |= = ，则有 cos= = ，则 =60；故选：B9 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=16x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）第 11 页（共 25 页）A B C D【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 y= x，由一条渐近线过点 ，可得 = ，双曲线的一个焦点（c，0）在抛物线 y2=16x 的准线 x=4 上，可得 c=4，即有 a2+b2=16，解得 a=2，b=2 ，则双曲线的方程为 =1故选：A10 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函
15、数，当 x0，+）时，f （x ）0若 ， ，则 a，b ，c 的大小关系为（ ）Ab a c Bbca Ccab Dacb【解答】解：当 x0，+）时，f（x）0 ，当 x0，+）时，函数 f（x）单调递减，f（ x）是定义在 R 上的奇函数，函数在（， +）上单调递减，a=f（ln ）=f（ln2）=f（ln2） ，ln（ ）ln =1，又 ln（ ）0，则1 ln（ ）0，e 0.11，0ln21，则1 ln（ ）ln2e 0.1，则 f（ln（ ） ）f（ln2 ）f（e 0.1） ，即 c ab，第 12 页（共 25 页）故选：C11 （5 分）函数 f（x ）=2sin（x+ ）
16、的图象过点 ，相邻两个对称中心的距离是 ，则下列说法不正确的是（ ）Af （x）的最小正周期为Bf （x ）的一条对称轴为C f（ x）的图象向左平移 个单位所得图象关于 y 轴对称Df（x ）在 上是减函数【解答】解：函数 f（x） =2sin（x +）图象相邻两个对称中心的距离是 ， = ， T= = ，解得 =3；又 f（x）的图象过点 ，2sin（ +）=2 ， += +2k，kZ；解得 = +2k，kZ；令 k=0，得 = ，f（ x）=2sin（3x+ ） ；f（ x）的最小正周期为 T= ，A 正确；f（ ）=2sin（3 + ）= 2 为最小值，f（ x）的一条对称轴为 x=
17、，B 正确；f（x）的图象向左平移 个单位，得函数 y=2sin3（x + ）+ =2sin（3x + ）=2cos3x ，其图象关于 y 轴对称，C 正确；x ， 时，3x ， ，第 13 页（共 25 页）3x+ ， 时，f（ x）=2sin（3x+ ）在 上是增函数，D 错误故选：D12 （5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f（x）ax=0有两个解，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D【解答】解：设函数 y=f（x ）和 y=ax，作出函数 f（x）的图象如图：要使方程 f（x）ax=0 有 2 两个解，即函数 y=f（x）和 y=ax 有 2 个不同的交点，f（ 2）=5，
18、f （5）= |5+ 4|= ，当 y=ax 经过点（ 5， ）时，此时 a= ，当过点（2，5）时，此时 a= ，当直线 y=ax 与 y=x2+1 相切时，y=2x，设切点为（x 0，y 0） ， 2x 00， =2x0，解得 x0=1，当 x0=1，此时 a=2，结合图象，综上所述 a 的取值范围为 ， 2）（0， ，故选：A第 14 页（共 25 页）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） 6 【解答】解： （2x1）dx=（x 2x） =93=6， （2x1）dx=6 ，故答案为：614 （5 分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球 O
19、，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记球 O 的体积为 V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为 V2，则 的值为 2 【解答】解：设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的高为 2r，球 O 的半径为 r，球 O 的体积 V1= ，圆柱内除了球之外的几何体体积：V2= = ， = =2故答案为：2第 15 页（共 25 页）15 （5 分）若 f（x ）=e xlna+exlnb 为奇函数，则 的最小值为 2 【解答】解：f（x）=e xlna+exlnb 为奇函数，可得 f（ 0）=0，即有 e0lna+e0lnb=0，即有 ln（ab）=0，可得 ab=1， （a0，b0） ，则 2 =2 ，当且仅
20、当 b=2a= 时，等号成立，则 的最小值为 2 故答案为：2 16 （5 分）已知抛物线 C：y 2=4x，过其焦点 F 作一条斜率大于 0 的直线 l，l 与抛物线交于 M，N 两点，且|MF |=3|NF|，则直线 l 的斜率为 【解答】解：抛物线 C： y2=4x，焦点 F（1，0） ，准线为 x=1，分别过 M 和 N 作准线的垂线，垂足分别为 C 和 D，过 NHCM，垂足为 H，设|NF| =x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知：|NF|=|DH|=x ，|MF|=|CM|=3x ，|HM|=2x，由 |MN|=4x，HMF=60，则直线 MN 的倾斜角为 60，则直线 l
21、的斜率 k=tan60= ，第 16 页（共 25 页）故答案为： 方法二：抛物线 C：y 2=4x，焦点 F（1，0） ，准线为 x=1，设直线 MN 的斜率为 k，则直线 MN 的方程 y=k（ x1） ，设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，整理得：k 2x22（k 2+2）x+k 2=0，则 x1+x2= ，x 1x2=1，由|MF|=3|NF|， =3 ，即（1x 1， y1）=3（x 21，y 2） ，x1+3x2=4，整理得： 3x24x2+1=0，解得：x 2= ，或 x2=1（舍去） ，则 x1=3，解得： k= ，由 k0 ，则 k=故答案为： 方法三：抛物线
22、 C：y 2=4x，焦点 F（1，0） ，准线为 x=1，设直线 MN 的方程 x=mx+1，设 M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，整理得：y 24my4=0，则 y1+y2=4m，y 1y2=4，由|MF|=3|NF|， =3 ，即（1x 1， y1）=3（x 21，y 2） ，y1=3y2，即 y1=3y2，解得：y 2= ，y 1=2 ，4m= ，则 m= ，直线 l 的斜率为 ，故答案为： 第 17 页（共 25 页）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）设函数 y=f（ x）的图象由 y=2sin2x
23、+1 的图象向左平移 个单位得到（1）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在ABC 中，a，b，c，6 分别是角 A，B ，C 的对边，且 f（A）=2，b=1，求 a 的值【解答】解：（1）y=2sin2x+1 的图象向左平移 个单位得到的图象，即 函数最小正周期 T=令 ，则 ，解得 ，所以 y=f（x）的单调增区间是 （2）由题意得： ，则有 第 18 页（共 25 页）因为 0A ，所以 ， 由 及 b=1 得，c=4根据余弦定理， ，所以 18 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 sn，点（ n，s n）在曲线 ，上数列b n满足 bn+bn+2=2bn+1，b 4
24、=11，b n的前 5 项和为 45（1）求a n，b n的通项公式；（2）设 ，数列c n的前 n 项和为 Tn，求使不等式恒成立的最大正整数 k 的值【解答】解：（1）由已知得： ，当 n=1 时， ，当 n2 时， =n+2，当 n=1 时，符合上式所以 an=n+2因为数列b n满足 bn+bn+2=2bn+1，所以b n为等差数列设其公差为 d则 ，解得 ，所以 bn=2n+3（2）由（1）得， =， =，因为 ，所以T n是递增数列所以 ，第 19 页（共 25 页）故 恒成立只要 恒成立所以 k9 ，最大正整数 k 的值为 819 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 AB
25、CD 为正方形， PA上面 ABCD 且PA=AB=2E 为 PA 的中点（1）求证：PC面 BDE；（2）求直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值【解答】 （1）解：连接 CA 交 BD 于 O，连接 OE，因为 ABCD 为正方形且 AC，BD 为对角线，所以 O 为 CA 的中点，又 E 为 PA 的中点，故 OE 为PAC 的中位线，所以 OEPC，而 OE面 BDE，PC面 BDE，故 PC面 BDE（2）以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz则 B（2，0，0） ，D （0，2，0 ） ，C （2，2，0） ，E（0，0，1
26、） ，P（0，0，2） ，所以 ， ， ，设平面 PBC 的法向量 ，则 即 ，令 z=1，则法向量 ，第 20 页（共 25 页）设直线 DE 与平面 PBC 所成角为 ，则 ，故直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 （ab0） ，其焦距为 2，离心率为（1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为 F，K 为 x 轴上一点，满足 ，过点 K 作斜率不为0 的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，求FPQ 面积 s 的最大值【解答】解：（1）因为椭圆焦距为 2，即 2c=2，所以 c=1， ，所以a= ，从而 b2=a2c2=1，所以，椭圆的方程为 +y2=1
27、第 21 页（共 25 页）（2）椭圆右焦点 F（1， 0） ，由 可知 K（2，0） ，直线 l 过点 K（2，0） ，设直线 l 的方程为 y=k（x2 ） ，k0，将直线方程与椭圆方程联立得（1+2k 2）x 28k2x+8k22=0设 P（ x1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，则 ， ，由判别式=（8k 2） 24（ 2k2+1） （8k 22）0 解得 k2 点 F（1，0）到直线 l 的距离为 h，则 ，= ，= |k| ，= ，令 t=1+2k2，则 1t 2 ，则 S= = ，当 时，S 取得最大值此时 ， ，S 取得最大值 21 （12 分）已知函数 f（ x）=1ax
28、 +lnx（1）若不等式 f（x）0 恒成立，则实数 a 的取值范围；（2）在（1）中，a 取最小值时，设函数 g（x）=x（1f（x） ）k （x+2）+2若第 22 页（共 25 页）函数 g（x ）在区间 上恰有两个零点，求实数 k 的取值范围；（3）证明不等式： （n N*且 n2） 【解答】解：（1）由题意知，1ax +lnx0 恒成立变形得： 设 ，则 ah（x） max由 可知，h（x）在（0，1）上单调递增，在（ 1，+）上单调递减，h（x）在 x=1 处取得最大值，且 h（x ） max=h（1）=1所以 ah（x） max=1，实数 a 的取值范围是1，+） （2）由（1）
29、可知，a1，当 a=1 时，f（x）=1 x+lnx，g（ x）=x（xlnx ）k（x+2）+2=x 2xlnxk（x +2）+2，g（ x）在区间 上恰有两个零点，即关于 x 的方程 x2xlnxk（ x+2）+2=0 在区间 上恰有两个实数根整理方程得， ，令 ，令 （x）=x 2+3x2lnx4， ，则 ， ，于是 （x）0， （x ）在 上单调递增因为 （1 ） =0，当 时，（x）0，从而 s（x）0，s（x）单调递减，当 x（1，8时，（x）0，从而 s（x）0，s（x）单调递增，s（1）=1， ，第 23 页（共 25 页）因为 ，所以实数 k 的取值范围是 证明（3）由（1）
30、可知，当 a=1 时，有 x1lnx ，当且仅当 x=1 时取等号令 ，则有 ，其中 kN*，k2整理得： ，当 k=2，3，n 时， ， ，上面 n1 个式子累加得： n N*且 n2，即 命题得证请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线 ，直线l：（cossin）=4（1）将曲线 C1 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、 倍后得到曲线 C2，请写出直线 l，和曲线 C2 的直角坐标方程；
31、（2）若直线 l1 经过点 P（1，2）且 l1l，l 1 与曲线 C2 交于点 M，N，求|PM|PN|的值【解答】解：（1）因为 l：（cos sin）=4 ，转化为直角坐标方程为：x y=4；设曲线 C2 上任一点坐标为（x，y） ，则 ，第 24 页（共 25 页）所以 ，代入 C1 方程得： ，所以 C2 的方程为 （2）直线 l：xy=4 倾斜角为 ，由题意可知，直线 l1 的参数方程为 （t 为参数） ，联立直线 l1 和曲线 C2 的方程得，设方程的两根为 t1，t 2，则 t1t2=2由直线参数 t 的几何意义可知， |PM|PN|=|t1t2|=2选修 4-5：不等式选讲23已知 a，b 是任意非零实数（1）求 的最小值（2）若不等式|3a+2b|+| 3a2b|a|（|2+x|+|2 x|）恒成立，求实数 x 取值范圈【解答】解：（1）因为|3a+2b|+|3a 2b|3a+2b+3a2b|=6|a |，当且仅当（3a+2b） （3a 2b）0 时取等号，所以 的最小值为 6（2）由题意得： 恒成立，结合（）得：|2+x|+|2 x|6第 25 页（共 25 页）当 x2 时，x2+2x6，解得 3x 2；当2 x2 时，x+2+2x 6 成立，所以 2x 2；当 x2 时，x+2+x26，解得 2x3综上，实数 x 的取值范围是 3，3
