1、华数知识点点击破 陈拓老师讲义 第 1 讲 分数 的裂项 （裂差） 【内容综述】 在 分数裂项中可能用到整数的裂项公式 ， 如 ： 1） 123 n 12nn ； 2） 1223 nn1 123n n n； 3） 123234 nn1n2 1 2 34n n n n ； 4） 1n2n13n2 n12n1 126n n n； 5） 22 2 2 2 2 + 1 2 +22 4 6 2 6n n nn ；（ n 为偶数） 6） 22 2 2 2 1 2 2 + 11 3 5 2 1 6n n nn ；（ n 为奇数） 7） 2 2 2 21 2 3 n 1 2 16n n； 8） 3 3 3 3
2、1 2 3 n 21 2 3 n = 22 14nn ； 这节课我们学习分数的裂项 裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”： （中间项可以抵消，剩下首尾有限项的算式 命名为“咔咔算式” ） 1 1 1 1 1 1 1 1 1112 2 3 3 4 1 nn n n n 裂差口诀： 连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法 。 11baa b a b ， 1 1 111n n n n， 1 1 1 1n n p p n n p。 例 1. 计算 ： 1 1 1 11 2 2 3 3 4 9 9 1 0 0 _； 【分析】整体共 99 个分数相加，不可能去通
3、分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。 【解答】原式 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 9 9 1 0 0 111 100 99100 【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！ 例 2. 计算： 1 2 3 1 01 2 2 4 4 7 4 6 5 6 _； 【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题。 【解答】原式 2 1 4 2 7 4 5 6 4 61 2 2 4 4 7 4 6 5 6 华数知识点点击破 陈拓老师讲义 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 4 4 7 4 6 5 6 11
4、1 56 5556 【评注】 在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个 分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果。 例 3. 计算： 1 1 1 12 5 5 8 8 1 1 9 8 1 0 1 _； 【分析】整体共 49 个分数连加，分母中两个因数之差都是 3，可以提取 13 ，然后裂差 吧 。 【解答】原式 1 3 3 3 33 2 5 5 8 8 1 1 9 8 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 5 5 8 8 1 1 9 8 1 0 1 1 1 13 2 10133202 【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，
5、然后才可以去裂项。 例 4. 计算： 1 1 1 11 3 5 3 5 7 5 7 9 9 7 9 9 1 0 1 _； 【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为 4，才可以撕分母，想想为什么？ 【解答】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 14 1 3 3 5 3 5 5 7 5 7 7 9 9 7 9 9 9 9 1 0 1 1 1 14 1 3 99 101 8339999 【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差： 1 1 ( 2 ) 1
6、 1 1( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )nnn n n n n n n n n n ； 1 1 ( ) ( ) 1 1 1( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )n p n pn p n n p p n p n n p p n p n n n p 。 华数知识点点击破 陈拓老师讲义 例 5. 计算： 1 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 0 0 _； 【分析】分母先使用公式： 123 n 12nn ，尽量不要约去分母中的 2，分母就是分数裂项的敏感数列： 12， 23， 34， 46，可以直接裂项了。 【解
7、答】原式 1 1 1 1 1251 2 2 3 103 4 4 1 0 0 1 101121200101 【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律。 例 6. 计算： 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 4 2 0 1 2 0 1 61 2 2 3 3 4 2 0 1 2 0 15 5 6 =_； 【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算。 【解答】原式 1 1 1 12 2 2 21 2 2 3 3 4 2 0 1 2 0 1
8、65 （共 2015 项） 1 1 1 12 2 0 11 2 2 3 3 4 2 0 15 5 2016 14030 12016 201540302016 【评注】一般地， 2 2 2 2 222( 1 ) 2 1 2 ( ) 1 1 1 122( 1 ) ( 1 ) 1n n n n n n nn n n n n n n n n n ，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦。 【练习题】 1. 计算： 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 9 5 0 _； 2. 计算： 1 1 1 11 4 4 7 7 1 0 9 7 1 0 0 _； 华数知识点点击破 陈拓老师讲义 3. 计算： 2 3 1 0 01 1 2 1 2 1 2 3 1 2 9 9 1 2 1 0 0 =_； 4. 计算： 2 3 4 1 0 11 2 1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 1 0 0 1 0 1 _； 5. 计算： 2 2 2 21 2 2 3 3 4 9 9 1 0 01 2 2 3 3 4 9 9 1 0 0 _； 【参考答案】 1、 4950 ； 2、 33100 ； 3、 50495050 ；、 4、 27573434 ； 5、 99396100 ；
