1、华数知识点点击破 陈拓老师讲义 1 / 4 第 2 讲 分数 的裂项 （ 裂和及裂积 ） 【内容综述】 在分数的混合运算中，除了上节课学习的连加式，多采用裂差的方法以外，还经常看到减 、 加交替出现的算式和连乘的算式，对于这两类试题，各自有不同的方法。 1、裂和法，一般是减 、 加交替的算式， 如 ： 1 1 1 1 1 12 6 1 2 2 0 3 0 4 2 ，51 1 1 1 1 1 1 51 1 12 3 4 6 3 4 6 7 。 口诀： 减加交替要裂和，咔咔算式用得着，撕分母法。 公式： 11baa b a b ， 2 1 1 111nn n n n 。 2、裂积法： 口诀： 连乘
2、必裂积。 公式： 51 2 3 4 1 1234 nnn ， 3 4 6 1 12 5 5234 nnn 。 例 1. 计算： 3 5 7 9 1 9 7 1 9 9+ + +1 2 2 3 3 4 4 5 9 8 9 9 9 9 1 0 0 _； 【分析】本题共 99 个分数做减 、 加运算，可以裂和，分子恰好是分母中两个因数之和，直接 去 撕分母。 【解答】原式 2 1 3 + 2 4 3 5 + 4 9 9 9 8 1 0 0 9 9+ + +1 2 2 3 3 4 4 5 9 8 9 9 9 9 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + +1 2 2 3 3 4
3、 4 5 9 8 9 9 9 9 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + +1 2 2 3 3 4 4 5 9 8 9 9 9 9 1 0 0 111 100 11100 【评注】在裂和的过程中，注意括号前面的符号，如果括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内各项都不变号；如果括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内各项都变号。 a b c a b c ， a b c a b c 去掉括号后又到达了中间项抵消，剩下首尾有限项的咔咔算式。 例 2. 计算： 1 2 3 4 4 9 5 0+ + +1 3 3 5 5 7 7 9 9 7 9 9 9 9 1 0 1 _； 【分
4、析】符号仍然是减加，分母是公差为 2 的两个数之积，与我们需要的裂差要求，分子都是 1 或 2 不相符，且符号也不是连加，那么我们需要把分子想办法变成分母中两个因数的和，分子必须扩大 4 倍。 【解答】原式 1 4 8 1 2 1 6 4 9 5 0+ + +4 1 3 3 5 5 7 7 9 9 7 9 9 9 9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + +4 1 3 3 5 5 7 7 9 9 7 9 9 9 9 1 0 1 华数知识点点击破 陈拓老师讲义 2 / 4 1 1 14 1 10125101 例 3. 计算： 1 1 1 1 1 5 9 1 3 1
5、 9 71 1 0 0 2 9 9 3 9 8 5 0 5 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 8 9 9 _； 【分析】算式有前后两部分组成，每部分都是连加的算式，可是两部分之间是减号“ ”，因此可以采用裂和的方法，前一段的每个分母中两个因数之和都是 101，后一段每个分数的分子都是分母中两个因数的之和形式，考虑也裂和。 【解答】原式 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 5 9 1 3 1 9 71 0 1 1 1 0 0 2 9 9 3 9 8 5 0 5 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 8 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6、 1 1 1 111 0 1 1 0 0 2 9 9 3 9 8 5 0 5 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 8 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 0 1 2 3 4 9 9 1 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 8 9 9 111101 100 1100 【评注】同学们审题的时候，一定先从整体出发，虽然看到每部分都是连加，其实本质上是裂和的试题，前面一段先乘以 1100 ，才恰好使得两端中相同的部分相互抵消。 例 4. 计算： 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3
7、 3 1 0 0 1 0 0 _； 【分析】整体是 198 个括号相乘，想到可以分子与分母化成相同的因数，然后约分，使算式易于计算，记住口诀：连乘必裂积，仍然撕分母，可以考虑分两组进行。 【解答】原式 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 4 1 0 0 2 3 4 1 0 0 3 4 1 0 0 1 0 1 1 2 3 9 8 9 92 3 4 9 9 1 0 0 2 3 4 9 9 1 0 05 3 4 1 0 0 1 0 1 1 2 3 9 8 9 92 3 4 9 9 1 0 0 2 3 4
8、9 9 1 0 05 101 12 100 101200 【评注】如果按照顺序计算，大家也可以约分，从中找到约分的规律。 原式 3 1 4 2 3 1 0 0 9 8 1 0 1 9 9 3 4 1 0 1 1 2 9 92 2 3 3 4 4 9 9 9 9 1 0 0 1 0 0 2 3 4 1 0 0 2 35 4 1 0 053 101 12 100 101200 。 华数知识点点击破 陈拓老师讲义 3 / 4 例 5. 计算： 3 3 3 3 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 4 3 5 4 6 9 7 9 9 9 8 1 0 0 _； 【分析】 连乘必
9、裂积，希望我们能从每个因式找到规律： 311 2 4 2 25 454 ， 3 12 2 61 3 3 35 5 5 ，3 21 3 71 4446 66 ，。 【解答】原式 1 2 9 6 9 7 6 7 1 0 0 1 0 12 3 4 9 7 9 8 4 6 9 9 1 035 5 0 198 4101 101392 【评注】注意在因式结合时，注意真分数与真分数结合在一起，假分数与假分数再一起，相邻的可以约分啦。 例 6. 计算：2 2 2 24 4 4 4(1 ) (1 ) (1 ) (1 )3 4 5 6 0 _； 【分析】连乘必裂积吧，注意相邻分数可以约分。 【解答】原式 2 2
10、2 2 2 2 2 23 2 4 2 5 2 6 0 23 3 4 4 5 5 6 0 6 0 ( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 4 2 ) ( 4 2 ) ( 5 2 ) ( 5 2 ) ( 6 0 2 ) ( 6 0 2 )3 3 4 4 5 5 6 0 6 0 1 2 3 4 5 7 5 83 4 5 6 5 9 6 0 5 6 7 8 6 1 6 23 4 5 6 5 9 6 0 1 2 61 6260 3 459 189110620 【评注】本题最容易出错的地方是每组约分时，剩下的是两个对应的因数，但仍然是剩下首尾有限项，中间过程全都约去。 【练习题】 1. 计算： 3 6 1 1
11、 1 8 8 3 1 0 2+ + +1 2 2 4 4 7 7 1 1 3 7 4 6 4 6 5 6 _； 华数知识点点击破 陈拓老师讲义 4 / 4 2. 计算： 3 5 7 9 1 1 1 3 3 7 3 91 3 6 1 0 1 2 1 1 7 15 190 _； 3. 计算： 1 1 1 1 2 0 0 8 1 1 1 11 2 0 0 8 2 2 0 0 7 2 0 0 7 2 2 0 0 8 1 2 0 0 9 1 2 0 0 7 2 2 0 0 6 2 0 0 6 2 2 0 0 7 1 _； 4. 计算： 3 3 3 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 4 3 5 4 6 9 7 9 9 _； 5. 100 减去它的 12 后，再减去剩下的 13 ，再减去剩下的 14 ， ，最后减去剩下的 150 ，现在剩下的数是 _； 【参考答案】 1、 5556 ； 2、 2.1； 3、 12017036 ；、 4、 2597 ； 5、 2；
