1、集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合 B 包含集合 A；子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集(subset).记作： ，当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 A B，用 Venn 图表()或示
2、两个集合间的“包含”关系： 或要点诠释：（1） “ 是 的子集”的含义是： 的任何一个元素都是 的元素，即由任意的 ，能推出ABABxAx（2）当 不是 的子集时，我们记作“ (或 )”，读作：“ 不包含于 ”（或“ 不包AB含 ”） 真子集：若集合 ，存在元素 x B 且 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset).记作：A B(或 B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则 A 与 B 中的元素是一样的，因此 A=B且要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作 A要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合
3、A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作：AB读作：“A 并 B”，即：AB=x|x A，或 x BVenn 图表示：要点诠释：（1） “x A，或 x B”包含三种情况： “ ”；“ ”；,xAB但 ,xA但“ ”,xB且（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集；记作：AB，读作：“A 交 B”，即 AB=x|x A，且 x B；交集的 Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元
4、素，当集合 A 与 B 没有公共元素时，不能说 A 与 B 没有交集，而是 AB（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB 中的任意元素都是 A 与 B 的公共元素” ，同时“A与 B 的公共元素都属于 AB” （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U.补集：对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set)，简称为集合 A 的补
5、集，记作：补集的 Venn 图表示：A=x|； 即 且 ；要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集 是对给定的集合 和 相对而言的一个概念，一个UAA()U确定的集合 ，对于不同的集合 U，补集不同A（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则 为全集；而当问题扩Z展到实数集时，则 为全集，这时 就不是全集RZ（3） 表示 U 为全集时 的补集，如果全集换成其他集合（如 ）时，则记号中“U”也必须换 R成相应的集合（即 ） R4.集合基本运算的一些结论ABBA=AB=， ， ， ， ， ， ，UU()=()，若 AB=A，则 ，反之也成立若 AB=B，则 ，反之也成立
6、AB若 x (AB) ，则 x A 且 x B若 x (AB) ，则 x A，或 x B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例 1. 集合 ，集合 ，那么 间的|2,AakN21|()1),8nBbN,AB关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 BA举一反三：【变式 1】若集合 ，则（ ）.|21,|41,xkzBxlzA. B. C. = D. A
7、BAAZ例 2. 写出集合a，b，c的所有不同的子集.举一反三：【变式 1】已知 ，则这样的集合 有 个.,aA,bcdeA【变式 2】同时满足： ； ，则 的非空集合 有（ ）1,2345MaM6aMA. 16 个 B. 15 个 C. 7 个 D. 6 个例 3集合 A=x|y=x2+1，B=y|y=x 2+1，C=(x,y)|y=x 2+1，D=y=x 2+1是否表示同一集合？举一反三：【变式 1】 设集合 ， ，则 （ ）(,)|34Mxy(,)|32NxyxMNA. B. C. D. ,11(1,)【变式 2】 设集合 ， ，则 与 的关系是（ |2,xyxZ| yxZ）A. B.
8、C. D. NMNMN【变式 3】 设 M=x|x=a2+1，a N+，N=x|x=b 2-4b+5，b N+，则 M 与 N 满足( )A. M=N B. M N C. N M D. MN= 例 4已知 若 M=N，则 = ,0,yxyx 2()(xy)()10yxA200 B200 C100 D0举一反三：【变式 1】设 a，b R，集合 ，则 b-a=( )b1,a+=0,类型二、集合的运算例 5. 设集合 ， ，|3,|31,AxkZBykZ|32,CzkZ，求 .|61,DwkZCD举一反三：【变式 1】已知集合 M=y|y=x2-4x+3，x R，N=y|y=-x 2-2x+8，x
9、 R，则 MN 等于( )A. B. R C. -1，9 D. -1，9例 6. 设集合 M=3，a，N=x|x 2-2xa.（1）若 AB ，求实数 a 的取值范围；（2）若 ABA，求实数 a 的取值范围；（3）若 AB 且 ABA，求实数 a 的取值范围举一反三：【变式 1】已知集合 P=xx 21,M=a.若 PM=P,则 a 的取值范围是（ ）A(-, -1 B1, +） C-1，1 D （-，-1 1 ，+）例 9. 设集合 .222|40,|(1)0,xxaxaR（1）若 ，求 的值；ABa（2）若 ，求 的值.举一反三：【变式 1】已知集合 ，若 ,求实数 的取值范围.22,|
10、10ABxaABa【变式 2】设全集 ，集合 ，若 CuA，求实数 的UR|12,|40AxBxpBp取值范围.【巩固练习】1设 ， ， ，则 （ ） UR|0Ax|1BxUABA B |01x|C D|2已知全集 ，则正确表示集合 和 关系的韦恩（Venn）图是 R1,0M2|0Nx（ ）3若集合 ， ，且 ，则 的值为( )1,A1|mxBABmA1 B-1 C1 或-1 D1 或-1 或 04已知集合 满足 ,那么下列各式中一定成立的是（ ）,AA A B B B A C D BAB5若全集 ，则集合 的真子集共有( )0,1232UCA且 AA3 个 B5 个 C7 个 D8 个6设集
11、合 ， ，则( ),4|ZkxM,214|ZkxNA B C DNMN7用适当的符号填空：（1） ；（2） ；（3） .m,nm,n,mn8. 若集合 ， ， ，则 的非空子集的个数为 .|6xN|Bx是 非 质 数 CAB9若集合 ， ，则 _|37A|21010设集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是 .xxkk11已知 ，则 _.21,yByAB12已知集合 ，若 ，请写出满足上述条件得集合 .,345AMM13已知 ， ， ，求 的取值范围.25Ax12BxmBAm14已知集合 ，且 ,求实数 的2 2|0,|0AxpBxq201AB,pq值15设全集 ， ，UR2|10Mmx方 程
12、有 实 数 根.2| 0,Nnxn方 程 有 实 数 根 UCMN求【巩固练习】11. 设 A=(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0，B=-1, 2，则必有（ ）A、 B、 C、A=B D、AB=A2. 集合 M=y| y=x2-1, xR， N=x| y= ，则 MN 等于（ ）23xA、(- , 1), ( , 1) B、 |03C、 D、|13x3已知全集 ，则正确表示集合 和 关系的韦恩（Venn）图是 UR1,M2|0Nx（ ）4已知集合 满足 ,那么下列各式中一定成立的是（ ）,ABAA A B B B A C D BAB5若集合 ， ，且 ，则 的值为( )1,1|mxm
13、A1 B-1 C1 或-1 D1 或-1 或 06设集合 ， ，则( ),42|ZkxM,214|ZkNA B C DNMN7设 ，则 .3|,|, xAbxaRUU或 _,_ba8某班有学生 55 人，其中体育爱好者 43 人，音乐爱好者 34 人，还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9若 且 ，则 .21,4,AxBABx10若 ，则 = .|IZNCI11设全集 ，集合 ， ，那么(,)UxyR2(,)1yMx(,)4Nxy等于_.()()UCMN12设集合 ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的1,2345,612,kS， （ ） ，都有 （,iiSab,jjSab,3,ijmin,in,ji abab表示两个数 中的较小者）则 的最大值是 .min,xy,xyk13设 ，其中 ，如果 ，222|40,|(1)0ABxaxxRAB求实数 的取值范围.a14设 ，集合 ， ；若 ，UR2|30Ax2|(1)0Bxmx()UCAB求 的值.m15设 ，集合 .满足以下两个条件：1234,aN221234134,AaBa（1） 14,0;ABa（2）集合 中的所有元素的和为 124，其中 .1234求 的值.134,a
