1、1 / 15 旋转模型授课日期 时 间主 题教学内容1.巩固并掌握旋转的性质；2.结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质； 知 识 结 构知 识 结 构1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转2、 旋转具有以下特征：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。4、旋转不同类型（一）正三角形类型在正
2、中， 为 内一点，将 绕 点按逆时针方向旋转 ，使得 与ABCPABP60AB重合。经过这样旋转变化，将图（ 1-1-a）中的 、 、 三条线段集中于图（1-1-b）中的C一个 中，此时 也为正三角形。P2 / 15 【例题】 如图：（1-1）：设 是等边 内的一点， PA=3， PB=4，PC=5， 的度数是PABCAPB_. 15096 .3, PBAPB RTPCA为为 正 三 角 形 ， 。 易 证 则 ， 连 结且的 外 侧 ， 作简 解 ： 在 （二）正方形类型在正方形 中，P 为正方形 内一点，将 绕 点按顺时针方向旋转 ，使CDACDABP90得 与 重合。经过旋转变化，将图（
3、2-1-a ）中的 、 、 三条线段集中于图（2-1-b）BA C中的 中，此时 为等腰直角三角形。【例题】 如图（2-1）： 是正方形 内一点，点 到正方形的三个顶点 、 、 的距离分PABCDPABC3 / 15 别为 PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形 ABCD。面. 82913244180990,23,21, SSPFCRTEPARTEPFRTABCDEFADCFDPBAEPBCDFCABPDEAEAD正 方 形 为可 知 由 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ， ，中 ，在 ，在 一 条 直 线 上、点又 同 理 ，为 等 腰 三 角 形 ， 又易 证 。且 有 同 样 方 法
4、， 作 则 连 结使作 简 解 ： （三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形 中， ， 为 内一点，将 绕 点按逆时针90ABAPC方向旋转 ，使得 与 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个 为等腰直角90ACB 三角形。4 / 15 【例题】如图，在 中， ACB =900，BC=AC，P 为 内一点，且 PA=3，PB=1 ，PC=2 。ABCABC求 的度数。BP 1359049023 2, PBCBPPBRTCA PCABBRT ，为知 ， 由 勾 股 定 理 的 逆 定 理 可 ，中 ，在 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，。 易 证则 ， 连 结且的 外 侧 ， 作
5、简 解 ： 在 典型例题利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如一.求线段长.例 1. 如图，已知长方形 ABCD 的周长为 20，AB=4，点 E 在 BC 上，且 AEEF ， AE=EF，求 CF的长。【解析】：将 ABE 以点 E 为旋转中心，顺时针旋转 90，此时点 B 旋转到点 B 处，AE 与 EF 重合，5 / 15 由旋转特征知： BEBC ，四边形 BECF 为长方形，CE=BF =ABCF+CE=B E+CE=BE+EC=BC=6CF=BC-CE=6-4=2二.求角的大小例 2. 如图，在等边 中，点 、 分别为 、 上的两点，且 ， 与 交ABCEDABCBECDAE
6、于点 ，求 的大小。M【解析】：因为 , ,BCA60ACDBE所以以 的中心（等边三角形三条中线的交点） 为旋转O中心，将 顺时针旋转 就得到了 ， 120 AME=180-AMC=180-120=60三.进行几何推理例 3. 如图，点 在正方形 的边 上， 平分 ，请说明 成立的理FABCDAEDFEAFB由 。6 / 15 数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：例 4、如图，正方形 ABCD 内一点 P，PADPDA15，连结 PB、PC，请问：PBC 是等边三角形吗？为什么？【分析】：本
7、题关键是说明PCDPBA30，利用条件可以设想将 APD 绕点 D 逆时针方向旋转90，而使 A 与 C 重合，此时问题得到解决.【解析】：将 APD 绕点 D 逆时针旋转 90，得 DPC，再作 DPC 关于 DC 的轴对称图形DQC，得 CDQ 与 ADP 经过对折后能够重合。PD=QDPDQ=90-15-15=60，PDQ 为等边三角形，PQD=60.DQC=APD=180-15-15=150，PQC=360-60-150=150=DQC,，PQ=QD=CQ ，PCQDCQ15 PCD=30 PCB=60 7 / 15 PC=BC=CD PBC 为等边三角形例 5、已知：如图，E 是正方
8、形 ABCD 的边 BC 上一点， AF 平分EAD 交 CD 于点 F，说明AEBEDF 的理由。【分析】：由于要证的 3 条线段 AB、BE 、DF 分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。【解析】：把ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，则点 D 转到了点 B 的位置，点 F 转到了点 F的位置，根据旋转的性质得：31，FBFD，AFBAFDABCD 为正方形DABF90F、B 、E、C 在一条直线上又12EAB9032EAB90FAE290又AFD190AFB19012FAEAFBAEFEFBBEFDBE例 6、如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将ABP 绕点 B
9、顺时针旋转 90，使 AB 与 CB 重合，BP到达 BP处，AP 到达 CP处，若 AP 的延长线正好经过 P，求APB 的度数。【分析】：此题运用旋转将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90，根据旋转性质求出BPC 的度数即可。8 / 15 而BPC 又是BPP 与CPP 之和，可各个击破，从而得解。【解析】：由旋转的性质及特征可知：PBP 90 ，AP PC，BPBP在BPP中， BP1280945又AP 的延长线正好经过 P点APC90BPCAPCBPP135从而可得APB135例 7、已知：如图，E、F、G 分别是正方形 ABCD 中 BC、AB、CD 上的点，且 AEFG。求证：AEF
10、G【分析】：AE、FG 所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。【证明】：延长 AB 至 F使 BFBE，连结 CF正方形 ABCDABCB，ABC90又CBF90，BEBFABE 绕点 B 顺时针旋转 90可得CBFAECF，AE CFFGAEFGCF又正方形 ABCD，ABCD四边形 GFFC 为平行四边形CFFGAEFG例 8、如图，P 是正方形 ABCD 中 AC 上一点，PE AD 于 E，PFCD 于 F。求证：（1）OEOF（2）OEOF9 / 15 【分析】：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。【证明】：正方形 ABCDADC90，D
11、AC45DEAD，PED90PFCD，PFD 90四边形 EPFD 为矩形PEDF又PED90，DAC45APE45AEP 中，AEPEAEDF正方形 ABCD 为中心对称图形AOD 绕点 O 顺时针旋转 90与DOC 重合A 与 D 为对应点又AEDFE 与 F 为对应点由旋转变换的特征知：OE OF，OEOF例 9. ABC 为等边三角形，点 D、E 、F 分别在边 AC、AB、BC 上，且 AEBFCD，连结AF、BD 、CE，分别交于点 G、H、M。（1）求1 的度数；（2）判断GMH 的形状。【分析】：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是 60，1 是BCH 的外角，可知123。1
12、0 / 15 而2414360，从而得证。【解析】：（1）等边ABC 是旋转对称图形，且 AEBFCD所以，ABC 绕旋转中心旋转 120后，AEC、BFA、CDB 能够重合24由12314360（2）同理可得：GMHMGH60GMH 是等边三角形观察思考：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。一、选择题1在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）2如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） 7 108 1
13、4 2163在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正五角星、圆、正方形和等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ）A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个4. 下列命题中的真命题是 ( )A全等的两个图形是中心对称图形. B关于中心对称的两个图形全等.C中心对称图形都是轴对称图形. D轴对称图形都是中心对称图形.5. 如右图，四边形 ABCD 是正方形，ADE 绕着点 A 旋转 900后到达 ABF 的位置，连接EF，则 AEF 的形状是（ ）AB C D11 / 15 A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形6. 如图是万花筒的一个图案，图中所有小三角
14、形均是全等三角形，其中把菱形 ABCD以 A 为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（ ）A.顺时针旋转 60 B. 顺时针旋转 120 C.逆时针旋转 60 D. 逆时针旋转 120二、填空题7、 如图，一块等腰直角的三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C按顺时针方向旋转到ABC的位置，使 ACB， ， 三点共线，那么旋转角度的大小为 8. 如图，COD 是AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40后所得的图形，点 C 恰好在 AB上，AOD90，则D 的度数是 9. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到矩形 ABC D，如果CD=2DA=2，那么 CC=_（第 9 题）
15、FEDCBABA C B(第 12 题)O DCBA(第 13 题)BD CDC BA(第 14 题) (第 15 题)CAB D(第 10 题)12 / 15 10. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母）则至 少旋转_度后能与原来图形重合三、解答题11. 画出下列图形关于点 O 的对称图形(10 分)12. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上（ 15 分）ABC(1)把 向上平移 个单位后得到对应的 ,画出51CBA1(2)以原点 为对称中心，再画出与 关于原点 对称的O1O2CBA(3)写出点 坐
16、标2CBA探究题：1. 已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A,点 G、E 分别在线段 AD、AB 上.（15 分）(第 13 题)A BCOxy(第 17 题)OBCA(第 16 题)图1G FED CBAD图2G FECBA(第 18 题)13 / 15 若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转, 连接 DG,在旋转的过程中,你能否从线段 AE、BE 和 AB中找到一条线段的长与线段 DG 的长始终相等.并以图 2 为例说明理由.2. 一位同学拿了两块 45三角尺 MNK ， ACB 做了一个探究活动：将 MNK 的直角顶点M放在 ABC 的斜边 的中点处，设
17、4 （15 分）（1）如图（1） ，两三角尺的重叠部分为 ACM ，则重叠部分的面积为 ，周长为 （2）将图（1）中的 NK 绕顶点 逆时针旋转 45，得到图（2） ，此时重叠部分的面积为 ，周长为 （3）如果将 M 绕 旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3） ，请你猜想此时重叠部分的面积为 ABCMNK图（1）ABCMNK图（2）ABCMNK图（3）DG（第 19 题）14 / 15 3、如图，P 是等边 ABC 内一点，PA=2， ，PC=4，求 BC 的长。32PB4如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，D、E 在 BC 上，DAE=45，求证：22DEBC15 / 15 5、如图正方形 ABCD 中， ，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且BAE=30，3ABDAF=15 ，求AEF 的面积
