1、1,请倒背求导公式,2,第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,3,二、 基本积分公式,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章,4,说,是,的导数.,已知,求其导数为,现在反过来说，,是,的原函数.,求其原函数,已知,5,1.原函数的定义：,如果在开区间I内，,即,都有，,或,那么函数,称为f(x)在区间I上的原函数.,例如,导数为,的原函数.,是,在区间,上的原函数.,一、 原函数与不定积分的概念,则说,是,在区间,上的原函数.,则说,6,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若函数的原函数存在, 它如何表示 ?
2、,定理1.,存在原函数 .,(下章证明),简言之：,连续函数一定有原函数.,2.原函数存在定理,即在I内一定存在可导函数,结论:初等函数在定义区间上有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一呢？,(2) 若不唯一，,它们之间有什么联系？,如：,又如：,7,3.原函数结构定理：,证:,(1),(2),由原函数的结构定理可知： 如有原函数就有无数个.,所以,知其一个原函数就知全部.,8,定义 2.,在区间 I 上的全体原函数称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,有定义知：若,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数,不可丢 !,例如：,记作,4.不定积分
3、的概念,9,例1.,解:,解:,例2.,注意:,若在提出问题时不指明区间，,则在解题时通常也,不指明求出的原函数所适用的区间，,只要确有区,间，,就有,使得,10,例3.,解:,例4. 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点处的切线斜率,等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 (1, 2) ,故有,因此所求曲线为,显然，,求不定积分得到一积分曲线族.,11,的原函数的图形称为,的图形：,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,5.不定积分的几何意义,特点:任何一条积分曲线都可以,由某一条沿y轴方向平移得到，,并且积分曲线族上对应于同一,坐标x的各点处有相同的斜
4、率,12,由不定积分定义可知:,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,6.微分法与积分法的关系,如：,或,或,先积后微,函数不变.,先微后积,函数加C.,13,二、 基本积分公式 (P188),利用逆向思维,( k 为常数),14,请大家熟记以上公式,基本积分公式表(1),注意：以上公式在被积函数的连续区间内成立,本章常把这个区间省去不写,第五章自然要考虑这个区间.,15,例1. 求积分,解:,根据积分公式,例2. 求,解: 原式 =,例3. 求,解: 原式=,16,三、不定积分的性质,证明,(此性质可推广到有限多个函数之和的情况),推论(线性性) :,17,解:,注意1：,注意2：,
5、分项积分后,只需写出一个常数.,检验积分结果是否正确,例4. 求积分,看它的导数是否等于被积函数.,原式=,只需对结果求导,解:,例5.,18,解:,例6.,直接积分法：,通过恒等变形,利用线性性把所给积分变成,公式中有的形式，,求出积分的方法.,解:,例7.,19,解:,原式=,例8.,原式=,解:,例9.,20,原式=,解:,例10.,例11.,解:,原式,21,解:,原式=,例12.,例13. 求,解: 原式 =,22,解:,例14. 求,原式 =,例15.,23,例16.,解:,例17.,解:,24,内容小结,1. 不定积分的概念:, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质-线性性,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 ,代数公式,积分性质,作业:P192 2(14)(15)(18)(20)(22)(23)(24)(26);5 ;7.,预习:P193-P200,背积分公式,25,基本积分公式(见P188) (13个),幂2个,指2个,三角6个,有理式2个,无理式1个,注意：以上公式在被积函数的连续区间内成立,本章常把这个区间省去不写,第五章自然要考虑这个区间.,P193T7,
