1、2 0 1 5年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共3 2分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1 )设是数列,下列命题中不正确的是 ( )(A) 若,则(B) 若, 则(C)若,则(D) 若,则 【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列对任意的子列均有,所以A、B、C正确； D错(D选项缺少的敛散性),故选D(2 ) 设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为 ( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要
2、条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3 ) 设 ,函数在上连续,则 ( )(A) (B) (C)(D)【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，故选B.(4 ) 下列级数中发散的是( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】A为正项级数，因为Imag e，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；C，根据莱布尼茨判别法知收敛， 发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D为正
3、项级数，因为Imag e，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C.(5 )设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) (B) (C) (D)【答案】(D)【解析】，由，故或，同时或.故选（D）(6 ) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为( )(A) (B) (C) (D)【答案】(A)【解析】由，故.且.又因为故有所以.选（A）(7 ) 若为任意两个随机事件,则: ( ) (A) (B) (C) (D)【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8 ) 设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,
4、则 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】(B)【解析】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).二、填空题：9 1 4小题,每小题4分,共2 4分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9 )【答案】【解析】原极限(1 0 )设函数连续，若则【答案】【解析】因为连续，所以可导，所以；因为，所以又因为，所以故(1 1 )若函数由方程确定，则【答案】【解析】当，时带入，得.对求微分，得把，代入上式，得所以(1 2 )设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则【答案】【解析】的特征方程为，特征根为，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，所以，故(1 3 )设3阶矩阵的特征值为，其中E
5、为3阶单位矩阵，则行列式【答案】【解析】的所有特征值为的所有特征值为所以.(1 4 )设二维随机变量服从正态分布，则【答案】【解析】由题设知，而且相互独立，从而.三、解答题：1 52 3小题,共9 4分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1 5 )(本题满分1 0 分)设函数.若与在时是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】法一：因为，则有，Imag e，可得：Imag e，所以，Imag e法二：由已知可得得Imag e由分母，得分子，求得c；于是Imag e由分母，得分子，求得；进一步，b值代入原式Imag eImag e，求得(1 6 )(本题满分1
6、0 分)计算二重积分，其中【答案】【解析】(1 7 )(本题满分1 0分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，M C为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以,故当Imag e时，利润最大.(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得Imag e ,从而解得.(1 8 )(本题满分1 0 分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及
7、轴所围成区域的面积恒为4，且，求表达式.【答案】【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为故面积为：.故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,解得，又由于，带入可得，从而(1 9 )(本题满分 1 0分)（I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，写出的求导公式.【答案】【解析】（I）（II）由题意得(2 0 ) (本题满分 1 1分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.【答案】【解析】(I)(II)由题意知，(2 1 ) (本题满分1 1 分)设矩阵相似于矩阵.(I) 求的值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.【答案】【解析】(1 )的特征值时
8、的基础解系为时的基础解系为A的特征值令，(2 2 ) (本题满分1 1 分)设随机变量的概率密度为,对进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数(I)求的概率分布；(II)求. 【答案】(I)， ；(II).【解析】(I) 记为观测值大于3的概率，则，从而，为的概率分布；(II) 法一:分解法:将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第试验观测值大于首次发生.则，(注：Ge表示几何分布)所以.法二:直接计算记，则，所以，从而.(2 3 ) (本题满分1 1 分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量；(II)求的最大似然估计量.【答案】(I) ；(II).【解析】(I)，令，即，解得为的矩估计量 ；(II)似然函数，当时，则.从而，关于单调增加，所以为的最大似然估计量.
