1、7 简单几何体的再认识,7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积,1.侧面积的概念 把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.,2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积,做一做1 已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面积之比为( ) A.12 B.11 C.14 D.13 解析:以长度为1的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为2,母线长为1,其侧面积S1=221=4; 以长度为2的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1,母线长为2,其侧面积S2=212=4,故S1S2=11. 答案:B,3.直棱柱、正棱锥、
2、正棱台的侧面积,名师点拨1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加即得;对于正棱锥和正棱台,其侧面积也可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形. 2.对于正棱锥和正棱台来说,其斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,它与正棱锥、正棱台的高是不同的. 3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系:,做一做2 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( ),解析:由题意可知该四棱锥为正四棱锥,底面边长为2,高为2,则斜高为 所以S侧=4 =4 5 .故选B.答案:B,4.几何
3、体的表面积 几何体的表面积是指几何体的所有面的面积的和,即该几何体的侧面积与其底面的面积之和,也称为全面积.,做一做3 一个高为2的圆柱,底面周长为2,则该圆柱的表面积为 . 解析:根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为r=1,所以该圆柱的表面积为S圆柱表=2rl+2r2=4+2=6.故填6. 答案:6,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱. ( ) (2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=rl. ( ) (3)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧= ch中c为底面
4、周长,而h为正棱锥的高. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一简单旋转体的侧面积与表面积 【例1】 (1)若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥的表面积是( ),(2)若一个圆台的主视图和左视图都是一个上底长为4,下底长为10,高等于4的等腰梯形,则该圆台的侧面积等于 .,分析(1)由轴截面为等边三角形得到圆锥的底面半径和母线长,求出侧面积和底面积相加即得表面积;(2)由三视图获知该圆台的上、下底面半径和高,求出母线长然后套用公式可求侧面积.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.简单旋转体的侧
5、面积与表面积计算的关键是熟记公式,灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长(弧长)与原几何体有关量的关系. 2.求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积,关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长,其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1 (1)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以BC边所在直线为轴旋转一周,则形成的几何体的侧面积为 . (2)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32,则母线长为 . 解析:(1)该几何体是底面圆的半径为2,母线长为
6、3的圆柱体,故该几何体的侧面积是223=12. (2)设圆台的母线长为l,上、下底面半径分别为r,R,则l= (r+R),又32=(r+R)l=2l2, l2=16,l=4. 答案:(1)12 (2)4,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究二简单多面体的侧面积与表面积 【例2】 (1)如图所示为一个几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,A1B1=2,AA1=4,则该几何体的表面积为 ( ),探究一,探究二,探究三,易错辨析,(2)已知正四棱锥的底面边长为4 cm,高与斜高的夹角为30,则该正四棱锥的侧面积等于 cm2. 分析(1)由三视图知该几何体是正三棱柱,套用表面积公式计算可得;(2)
7、画出图形,由已知条件求出斜高,套用公式计算.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,其底面边长为2,侧棱长为4,因此其侧面积S1=324=24,其两个底面的面积S2=2 22=2 ,于是其表面积S=S1+S2=24+2 ,故选C. (2)如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成RtPOE.,答案:(1)C (2)32,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.对于直棱柱、正棱锥、正棱台,求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量,如底面边长、高、斜高等,然后套用公式计算. 2.对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其
8、每一个侧面的面积分别求出来,然后相加即得侧面积. 3.注意合理运用多面体的特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁,也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2 (1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ),A.180 B.200 C.220 D.240 (2)若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长为3的等腰梯形,则该正三棱台的表面积等于 .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)几何体为直四棱柱,只不过是倒放的,其高为10,底面是上底为2
9、,下底为8,高为4的等腰梯形,易知其腰为5,故两个底面面积的和为2 (2+8)4=40,四个侧面面积的和为(2+8+5+5)10=200,所以直四棱柱的表面积为S=40+200=240.故选D.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究三简单组合体的表面积 【例3】根据几何体的三视图(如下图所示),则该几何体的表面积为 .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:先根据三视图还原该几何体的形状,如右图所示,则该几何体的表面积为圆锥的侧面积S1、圆台的侧面积S2以及底面积S3的和.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟怎样求组合体的表面积 1.求组合体的表面积的基本步骤: (1)弄清楚它是由
10、哪些简单几何体构成的,组成形式是什么; (2)根据组合体的组成形式设计计算思路; (3)根据公式计算求值. 2.求组合体的表面积的解题策略: (1)对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积的影响; (2)对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3,如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为 . 解析:由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积. 故其表面
11、积S=622-0.522+20.52=24-0.5+2=24+1.5. 答案:24+1.5,探究一,探究二,探究三,易错辨析,对几何体认识不清而致误 典例,如图所示,从底面半径为2a,高为 a的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,纠错心得本题中挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积,但同时增加了一个圆锥的侧面的面积,而错解未考虑到增加的部分.几何体的表面积是各个面的面积之和,因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式,而应先分析该几何体由几部分组成,几何体各个面间
12、有无重叠,再结合相应几何体选择公式求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.,1,2,3,4,1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是( ),A.6 cm2 B. cm2 C.42 cm2 D.6 cm2,1,2,3,4,解析:该几何体是底面半径为1 cm,母线长为3 cm的圆柱,则其侧面积为2rl=213=6(cm2). 答案:D,1,2,3,4,2.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为( ) A.6 B.12 C.24 D.48,解析:正四棱锥的斜高h= =4, S侧=4 64=48.答案:D,1,2,3,4,3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 解析:设圆台较小底面的半径为r,则圆台较大底面的半径为3r,圆台的侧面积为(r+3r)3=84,解得r=7. 答案:A,1,2,3,4,4.已知长方体的对角线长为2 ,长、宽、高的比为321,则它的表面积为 .,解析:设长,宽,高分别为3x,2x,x,x=2. 表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88. 答案:88,
