1、1.2 直线的方程,第1课时 直线方程的点斜式,1.直线的方程 一般地,如果一条直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程.,名师点拨一个方程是直线l的方程的两个条件:直线l上每一点的坐标都满足这个方程;满足这个方程的每一个数对所确定的点都在直线l上.可简言之:方程有一个解,直线上就有一个点;直线上有一个点,方程就有一个解,即方程的解与直线上的点是一一对应的.,2.直线方程的点斜式和斜截式,【做一做1】 若已知直线l过点M(-1,0),且斜率为1,则直线l的方程是( ) A.x+y+1=0 B.x-y+
2、1=0 C.x+y-1=0 D.x-y-1=0 解析:由直线方程的点斜式可得直线l的方程是y-0=1x-(-1),即x-y+1=0. 答案:B,【做一做2】 斜率等于-3,且在y轴上的截距为2的直线的方程为( ) A.3x+y-2=0 B.3x-y-2=0 C.3x+y+2=0 D.3x-y+2=0 解析:依题意知直线的方程为y=-3x+2,即3x+y-2=0. 答案:A,答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,一题多解,求直线的点斜式方程 【例1】 根据下列条件,写出直线的点斜式方程: (1)经过点(3,1),倾斜角为45; (2)斜率为 ,与x轴交点的横坐标为
3、-5; (3)过点B(-1,0),D(4,-5); (4)过点C(-2,3),与x轴垂直. 分析直线的点斜式方程需要定点坐标和斜率两个条件,解题时首先分析所求直线的斜率是否存在,若存在,则求出斜率,然后根据点斜式写出方程.,探究一,探究二,探究三,一题多解,解(1)设直线的倾斜角为, 因为=45,k=tan =tan 45=1,所以所求直线的点斜式方程为y-1=x-3,即x-y-2=0. (2)由直线与x轴交点的横坐标为-5,得直线过点(-5,0).,所以直线的点斜式方程为y-0=-(x+1), 即y+x+1=0. (4)由于直线与x轴垂直,所以斜率不存在,又该直线过点(-2,3),故直线方程
4、为x=-2.,探究一,探究二,探究三,一题多解,反思感悟1.求直线的点斜式方程的步骤如下:(1)确定直线所经过的一个点(x0,y0);(2)求出直线的斜率k;(3)根据点斜式写出直线方程. 2.若直线的斜率为0或不存在,可直接根据条件写出直线方程.,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练1 (1)若直线l的方程为y=-2(x+m)-n,则该直线的斜率为 ; (2)若直线方程为y+4=k(x-2),其中kR,则该直线必经过定点 .,解析:(1)由方程y=-2(x+m)-n可得y+n=-2(x+m),由点斜式方程可知该直线的斜率为-2. (2)直线方程y+4=k(x-2)符合点斜式,易知其经过
5、定点(2,-4).,答案:(1)-2 (2)(2,-4),探究一,探究二,探究三,一题多解,求直线的斜截式方程 【例2】 根据下列条件求直线的斜截式方程: (1)斜率为3,且在y轴上的截距等于-1; (2)在y轴上的截距为-4,且与x轴平行. 分析(1)已知斜率和在y轴上的截距,可直接利用斜截式写方程;(2)所求直线与x轴平行,此时斜率为0,是特殊的直线,可以先确定直线上所有点的纵坐标,再由纵坐标写直线的方程. 解:(1)由斜截式可得,所求直线的方程为y=3x-1; (2)因为直线与x轴平行,所以直线上所有点的纵坐标相等,均为-4,故所求的直线方程为y=-4.,探究一,探究二,探究三,一题多解
6、,反思感悟1.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示. 2.直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定某直线的方程,只需两个独立的条件. 3.利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,那么只需引入参数b;同理,如果已知截距b,那么只需引入参数k.,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练2(1)已知直线方程为y-2=3(x+3),则该直线在y轴上的截距为 ; (2)已知直线的斜率为2,当在y轴上的截距m为 时,该直线经过点(1,1). 解析:(1)由y-2=3(x+3),可得y=3x+11.对照斜
7、截式方程可知该直线在y轴上的截距b=11. (2)由已知可得直线方程为y=2x+m,又直线经过点(1,1),所以1=2+m,故m=-1. 答案:(1)11 (2)-1,探究一,探究二,探究三,一题多解,直线方程的简单应用 【例3】 导学号91134037已知直线l的斜率为2,且与x轴、y轴围成的三角形的面积为36,求此时直线与x轴、y轴围成的三角形的周长. 分析已知斜率,且与坐标轴上的截距有关,因此可设截距式y=2x+b,首先利用直线l和x轴、y轴围成的三角形的面积为36,求出直线l的方程,然后求三角形的周长.,探究一,探究二,探究三,一题多解,解:由于直线l的斜率为2,故可设直线l的方程为y
8、=2x+b. 令x=0,得y=b;,解得|b|=12. 即b=12,所以直线l的方程为y=2x+12或y=2x-12. 当b=12时,直线l与x轴、y轴上的交点分别为(-6,0),(0,12); 当b=-12时,直线l与x轴、y轴上的交点分别为(6,0),(0,-12).,探究一,探究二,探究三,一题多解,反思感悟1.求直线方程时,通常采用待定系数法,即先设出参数,再利用条件求得参数值,即得方程.如果直线的斜率已知,那么通常设直线方程的斜截式,这时方程中含参数b;如果直线所经过的某个点的坐标已知,那么可设点斜式,这时方程中含参数k. 2.截距不是距离,在求解有关周长、面积的问题时,注意两者的区
9、别,必要时应通过绝对值进行转化.,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练3已知直线l过点(-2,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求直线l的方程.,解:由题意知直线l的斜率存在,设为k(k0), 则所求直线方程为y-2=k(x+2).,即x+2y-2=0或2x+y+2=0.,探究一,探究二,探究三,一题多解,关于直线恒过定点问题 【典例】 求证无论k取任何实数,直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0必过定点,并求出此定点. 思路点拨:方法1:将已知直线方程整理成(A1x+B1y+C1)k+(A2x+B2y+C2)=0的形式,解方程组得(x,y)即为定点.方法2:将已知直线方程整理
10、成点斜式,由点斜式确定定点.方法3:先取两个特殊值,再求解.,探究一,探究二,探究三,一题多解,证法1直线方程可整理为(x+y)+k(x-y-2)=0. 则直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0过直线l1:x+y=0与直线l2:x-y-2=0的交点,所以直线恒过定点(1,-1).,此为直线方程的点斜式,该直线一定过点(1,-1), 所以该直线必过定点,定点的坐标为(1,-1).,探究一,探究二,探究三,一题多解,证法3由k的任意性,取k=0,得x+y=0, 取k=1,得x-1=0, 由得直线x+y=0与直线x-1=0的交点坐标为(1,-1),将点(1,-1)代入原直线方程,可知(k+1)1-
11、(k-1)(-1)-2k=0成立,所以直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0必过定点,定点为(1,-1). 名师点评直线过定点问题是直线方程中常见的问题,解决方法主要是根据参数的任意性列方程组求解,常见方法有:特殊值法;点斜式法;先整理成f1(x,y)+f2(x,y)=0的形式,再解方程组求解.,1,2,3,4,5,6,答案:D,1,2,3,4,5,6,答案:C,1,2,3,4,5,6,3.直线ax+by=1(ab0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( ),答案:D,1,2,3,4,5,6,所以=60;令x=0得y轴上的截距是-3. 答案:60 -3,1,2,3,4,5,6,5.经过点(-2,1),且斜率与直线y=-2x-1的斜率相等的直线方程为 .,解析:直线y=-2x-1的斜率为-2.故所求直线的斜率为-2,又经过点(-2,1),故所求直线方程为y-1=-2(x+2),可化为2x+y+3=0.,答案:2x+y+3=0,1,2,3,4,5,6,6.已知直线l的方程为kx-y+2k+2=0. (1)求证:直线l过定点; (2)若直线l在y轴上的截距为4,求k的值.,(1)证明:直线l的方程可化为y-2=k(x+2),这是直线方程的点斜式,它表示经过点(-2,2),斜率为k的直线,故直线过定点(-2,2). (2)解:令x=0,得y=2k+2,依题意有2k+2=4,故k=1.,
