1、竞赛中的排列组合问题安庆一中程乐根,一、出题情况 排列组合出题，主要在第一试中出题，大多以客观题形式呈现，但这一内容是抽象数学的基础，渗透性很强，在其它分支里用得很多，特别是在组合数学和数论中应用更为广泛。,二、常见定义公式： 1、排列 从n个不同元素中，任取m个不同元素的排列数是:2、组合 从n个不同元素中，任取m个不同元素的 组合数是：,3、重复排列 从n个不同元素中，取m个元素（可以重复）的排列数是（个位置按顺序依次来占即可得结论）4、圆排列 从n个不同的元素中任取m个不同的元素，仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为n个不同元素m的圆排列。其排列数是 当m=n时，排
2、列数为（n-1）!,5、不全相异元素的全排列 如果n个元素中，有p个元素相同，又有q个元素相同，又有r个元素相(p+q+ + r=n), 这n个元素全取的排列叫做不全相异元素的全排列。它的排列数是6、重复组合 从n个不同元素中任取r个元素允许重复出现的组合称为n个不同元素的r的可重复组合。其组合数是,7、错位排列 若1，2， n 的一个排列为 满足 则称 为 1，2， n的一个错位排列 其所有的错位排列数为： n!（ ）,三、例题讲解 例1、数1447，1005和1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？ 解：符合条件的四位数必
3、有两个1或一个1 。 （1）两个1的情形：从除1之外的其余9个数字中任取两个有 种取法再与其中一个1组成任意排列的三位数有 种，这样构成的首位是1的四位数共有 =216个。,（）只有一个的情形：从其余的个数字中任取两个有种，其中一个数字被重复选出种，这样的三个数字组成的三位数有种（另一个不重复的数字可放在3个位置上），于是构成的首位为的四位数有：个。因此符合题意的共有个。 点评：占位有序，不易混淆,例、从， 中取出六个不同的数字，其中至少有两个是相邻的取法种数是多少？解：设 是取自1，2， ，49个不同中的六的数。不妨设 ，显然 ， 且 互不相同的充要条件是 不含相邻的数。,作六元数组（ ）对
4、应于 （ ），则在取自1至49之间的六个不同且没有相邻的数构成的六元数组集合与所有取自1至44之间的六个不同的数构成的六元数组集合之间建立了一一对应。因此这两个集合中六元数组的个数都等于 ，而1至49之间六个不同的数构成的六元数组的个数为 ，于是，其中有相邻数的六元数组的个数为 。 点评：间接作差，化烦为易,例3、集合A,B的并集AB= ,当AB时，（A,B）和（B,A）视为不同的对，则这样的（A,B）对的个数有多少？解：若A= 时,则满足题意的B有 个，即A的任何子集都可以为B,此时的配对个数是8. 若A= 时,则满足题意的B可以由 的子集再加上元素 构成，此时 的配对个数是 =4；同理，当
5、A= 或 时，则相应的配对个数也为4个。故当A中有两个 元素时配对个数是34=12.,若A中有一个元素时，另两个元素必须在B中，故B只有2种可能（A中元素属于B或不属于B ），共32=6个。 若A为空集时，则B= ,只有1个。 综上所述，全部配对个数为 8+12+6+1=27个 点评：准确分类，化解抽象,解：由题设知，在xy平面上有16个整点，共 个三点组，要从中减去那些三点共线的。平面上有4条垂直线和4条水平线，每条上有4个点，这8条线上含有 个三点共线的三点组。 类似地，在斜率为1的线上共线的三点组有 =8+4=12（个）。 此外，没有其他的三点共线的三点组，组成的三角形的个数是560-3
6、2-12=516（个）,例4、在XY平面上，顶点的坐标（x,y）满足1x4,1y4,且x,y是整数的三角形有多少？,点评：图形问题图形解,例5、在平面上给出5点，连接这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合，过一点向其余四点的连线作垂线，求这些垂线的交点最多能有多少个？其中不计已知的5点。解：设 为所给的点，两两连成的直线有 条，每三点构成一个三角形，共有 个，其中四个点能连成的直线有 条，自另一点可作6条垂线，共可作65=30条，这些垂线至多有 个交点。,因为10条连线上，每一条连线有三条垂线互相平行，没有交点， 故应减去 =30，又10个三角形每三条高相交于一点，故应减去10 =20，而每
7、个点都有6条垂线通过，同时这5点又不计，所以还应减去 最后，得到垂线的交点个数最多为435-30-20-75=310个。,点评：几何问题大多用差值法解,例6、设S=1,2,n,A为至少含有两项的、公差为正数的等差数列，其项部都在S中，且添加S的其他元素等于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看做等差数列）。解：构造具有如下要求的集合A：把A中的元素按从小到大的次序排好后，在其最大元素后面添上S的任何元素均不能构成具有原公差的等差数列，这时，当A的首项与公差一旦确定，其整个集合A也即确定，不妨设A的首项为a,公差为d,则,a=1,d=1,2,n-1时的集A
8、有n-1个； a=2,d=1,2,n-2时的集A有n-2个； a=n-1, d=1时 的集A有1个。 因此，所求A的总个数为1+2+（n-1）= 点评：合理构造，化繁为易,例7、在1与 之间有多少个整数的各位数字之和等于9？ 解：将1至99999之间的数字左边都添加上0，写成六个数字的形式 如1写成000001，由于 的各位数之和不等于9，因而只需要计算方程 的非负整数解的个数，作变换 有 即 是方程,的一个正整数解。 即为 个。 点评：统一形式，挖出实质 例8、从数1，2， ，14中，按照由小到大的顺序取出 ，且 则符合条件的不同取法有多少?解：显然 其中 将上变形为这个方程的正整数解的个数
9、是 =120种 点评：奇特方法，贵在发现,例9、在扔硬币时，如果用Z表示正面朝上，F表示反面朝上，那么扔硬币的序列就表示为用Z和F组成的串，我们可以统计在这种序列中正面紧跟着反面（ZF）的出现次数，正面紧跟着正面（ZZ）的出现次数，例如序列 ZZFFZZZZFZZFFFF 是15次扔币的结果，其中有5个ZZ，3个ZF,2个FZ,4个FF. 问：有多少个15次扔硬币的序列，恰好有2个ZZ, 3个ZF, 4个FZ, 5个FF？,解：符合题意的序列具有如下两种可能形式： (1)F带头的：FFZ ZF ; (2)Z带头的：ZZF FZ ZF F. 由于题设要求的序列恰有3个ZF，则序列如果属于第（2）
10、类的，应具有如下形式 Z ZF FZ ZF FZ ZF F. 其中只有2个FZ,剩下的3个F或Z,在保证5个FF的情况下，无论放在什么位置都不能达到4个FZ，故不可能。所以 符合题设的序列只能是第（1）种形式。,由于序列恰有4个FZ，则在考虑序列中恰有两个ZZ的情况下可分为如下两类： ZZZ Z Z Z， ZZ ZZ Z Z. 以及Z的不同位置，其中的空格之处应填F。 设每个空格处填F的个数依次为 则 这相当于求其正整数解的个数，显然有 。另一方面对于ZZZ的位置有4种，对ZZ,ZZ,Z,Z的排列方法有6种，所以Z的排列方法有10种。 所以 符合题意的序列有10x56=560(个) 点评：锁定
11、特征位置，演绎逻辑推理,例10、6本不同的书： （1）若按1本，2本，3本分成三堆，有多少种分法？ （2）若按1本，2本，3本分给三个人，有多少种分法？ （3）若平均分成三堆有多少种分法？ （4）若平均分给三个人，有多少种分法？ （5）若分给三个人，每人至少一本，有多少种分 法？,解:(1)先选1本的一组，有 种方法；再选2本的一组，有 种方法；最后将剩余3本作为一组，一种方法，故共有 =60种分法。 (2)按1，2，3本分给3人，可先将书分组，再与3人相对应，故分法数为60 =360. (3)若平均分成三组，分法为 .,(4)若平均分给3人，记三人为A,B,C,分三步骤完成：先给A两本，再给
12、B两本，最后给C两本，所以分法数为： (5)若按每人至少1本分给3人，则有3类办法： 按1，1，4数目分，有 种方法； 按1，2，3数目分发，有360种方法； 按平均分给3人，有90种方法。 故共有540种分法。 点评：同是分书，分法不同,例11、同室四人每人各写一张贺年片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺年片，则4张贺年片不同的拿法有多少种？解：这是一个错位排列问题。 先看2人情况，这样的拿法只有1种；再看3人情况，可用差值法，即3人随便拿的种数减去3人中有一人拿的是自己写的以及2人拿的是自己写的种数为3！-3x1-1=2，因此对4人而言满足条件的种数为4！-4x2-6X1-1=9.
13、 此题也可用公式 点评：小数可推理，大数用公式,例12、（1）将 展开，再合并同类项后，共得到多少个不同的项（称为标准项）？ （2）求 展开式里含 的项的系数。解（1）每一个合并后的项可表达为 其中 i+j+k=4（i,j,k为非负数）这对应着从3个元素a,b,c中允许重复取4个元素的组合。故得项数为： （项）,（2）由于 为7个（a+b+c）相乘，对于3个a,2个b,2个c这些元素的全排列，如：aabcbca,可以看成是第1个（a+b+c）中取a，第二个因式里取a,第三个因式里取b,第四个因式里取c,第五个因式里取b,第六、七个因式分别取c和a相乘而得，所以这7个不尽相异元素的所有全排列的种
14、数就是展开式中等于 的个数。也就是 的系数，因此，展开式里含 的项的系数是 点评：同是展开，算法不同,例13、8个女孩和25个围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法。（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）解：以1个女孩和2个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的9个男孩和这8个组被看成是17个元素，显然这17个元素任意的圆排列被认为是满足题意的。,首先，从这25个男孩中选出9个男孩共有 种可能，其次，上述17个元素的圆排列数为 （17-1）！= 种。再次，分在8个组内的16男孩在16个位置上的排列是 ，所以总的排列方法数为： 点评：宏观搞清圆排列，
15、微观把握捆绑法,竞赛中的解析几何 程乐根,一、出题情况 解析几何在竞赛中的出题，基本上是在第一试出题，题型有两种，一是客观题，二是解答题。其难度不高于高考的最高难度，但和高考题的出题风格还是有差异的，这种差异主要体现在：运算量比高考要小些，而思维量要大于高考；对解题方法技巧的追求要高一些。,二、补充内容1、对于椭圆 上一点P(x,y),焦半径 2、已知双曲线 对于左支上一点P （x,y）,焦半径 右支上一点Q(x,y),焦半径,3、椭圆、双曲线 、抛物线的统一定义： 平面内到定点F的距离和它到定直线L的距离之比为常数e的点的轨迹。4、定理：若两个二次曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0交于不
16、共线四点，则曲线系F(x,y)+G(x,y)=0包含所有过四交点的二次曲线的方程。,二、例题讲解例1、(1)已知点A为双曲线 的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是_; (2)已知点A（1，2），过点（5，-2）的直线与抛物线 交于另外两点B、C。那么，ABC是_;,解：设点B在x轴上方，由ABC是等边三角 形得直线AB的斜率 。又直线过 A(-1,0)点，故方程为 代入双曲线方程 得B点坐标为 同理可得 ，点C的坐标为 所以ABC 的面积为 ：,设B 则直线BC的方程为 化简后为： 2x-(s+t)y+2st=0. 由于直线BC过点（5，-2），故 25
17、-(s+t)(-2)+2st=0. 即(s+1)(t+1)=-4. 因此 所以BAC= 。从而ABC是直角三角形。,例2、已知A（1，0），B（3，0），P（x,y）为直线L:x+y-5=0上一动点，试求点P,使得P对A、B的视角APB最大。解：经过AB作圆与直线L:x+y-5=0 相切于 点， APBb0）,求与这个椭 圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大。并求出双曲线的方程。解：设所求双曲线得到方程为 由对称性可知，四个交点构成的四边形为矩形，设第一象限的点的坐标为 则矩形的面积为 当且仅当 时取到等号，此时点P的坐标为,将其代入双曲线方程， 得 显然 故 因此所求
18、双曲线方程为：,例6、已知A（ ）和曲线 上的点 成等差数列，并且公差d 求n的最大值。解：已知曲线 为双曲线一 部分， 是它的右焦点，则右准线 的方程为 由题意，等差数列的第一项 为 第n项,则 所以n的最大值是14。,例7、已知椭圆 （ab0）与y轴正向的交点为点B，求以点B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形的个数。解：记内接等腰直角三角形为ABC,设BC的方程为： （t为参数） （ 为倾斜角 ） 代入椭圆方程得： t=0 即为B点，舍去！所以,设AB的方程为 代入椭圆方程得：,整理得： 由 知ABC为关于y轴对称的的等腰三角形。 由 知 当0时，即 符合条件的三角形有两个， 当=0时，即
19、 此时 即一个， 当0时。即 不存在， 综上，当 有两个， 当 有一个。,例8、经过点M(2，-1)作抛物线 的四条弦 且 四点的纵 坐标成等差数列。 求证： 证明：设 由定比分得公式，得 消去 得 故,成等差数列，设公差 d(d0).,例9、直线y=kx+m与双曲线 及其渐近线交于A、B、C、D四点，求证：|AC|=|BD|.证明：因为双曲线的渐近线方程为 故可设 由 消去y,得,该方程显然有实数解。 由韦达定理，知 即 亦即直线 与曲线 的两交点的中点的 横坐标相同（与 无关）。 故线段AB与CD的中点重合，即|AC|=|BD|.,例10、设 为一族抛物线，分别过每条抛物线的焦点作倾斜角为
20、 的直线。并截该抛物线得弦 （n=1,2, 2000）,将各弦绕其对应准线旋转 得到2000个旋转面。试求所有这些旋转面面积之和。解：第n条抛物线的方程为 故其 焦点坐标为 过此焦点，倾斜为 的直线方程为 ，通过方程组 ,可求弦长。将代入并整理得 故弦长,如图，由抛物线定义得 所以 所以 各旋转面积之和为,例11、椭圆 上不同的3点 与焦点F（4，0）的距 离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与X轴的交点为T，求直线BT的斜率k.解：由题设知 如图，因F是右焦点，故有 因为2|BF|=|AF|+|CF|,所以,得 线段AC的中点为 其垂直平分线方 程为 因A,C在椭圆上，故有 两式相减，得 ,
21、将式代入式化简得 将代入，并令y=0,得 ，其中x 为T点的横坐标，所以,例12、已知双曲线 与两直线x+y-1=0, 2x+y+1=0有四个交点，求过此四个交点且过点（-1，0）的二次曲线方程。解：设所求的二次曲线方程是 因所求曲线过点（-1，0） 故将x=-1,y=0代入上式，得 将 代入所设方程，整理得 为所求二次曲线方程。,例13、求与抛物线 相切于点P（0、3）， Q（-1，-2）两点，且过点A（-2，1）圆锥曲线 方程。解：过P（0，3）和Q（-1，-2）两切点的直线方程是5x-y+3=0,设所求的曲线方程是： 因曲线过点A(-2,1),代入上式得 ，再代入所设的曲线方程，化简整理得所求的圆锥曲线方程是,
