1、1计量经济学讲义 第三章：复回归分析1、K 变量线性回归模型一、K 变量线性回归模型的数学形式1、总体形式： uXYk21总体参数： k, ,问：E（Y|X 2，X k）？2、样本形式： iikii uY21n 个样本点， nknnkn uXY 2121121 矩阵形式： 11knuX二、古典假定1、 0)(iuE2、 )( 2jiji当当3、 ),0(Nui4、X 2，X k 非随机；5、X nk无多重共线性2、OLS 估计1、SRM：样本回归模型 uXY样本回归超平面 残差向量 2、OLS（1）问题的提出 uXYYuni ni ikiiiini )()(11 221212 （2）原理22m
2、in minii1XYXYuuni 3、正规方程组（1）求解形式： （2）残差形式： 0u（3）几何意义： 0,11 uXXkk特别地，由 得，01ui4、样本回归超平面的特性（1） XY（2）（3） 0u几何意义： uY5、 的统计特性（1）线性性：因为， =YX)(1所以， 是 的线性组合；in,1因为， = = =)(uX)(1 uX)(1所以， 是 线性组合。inu,1（2）无偏性： )(E（3）最佳性（最小方差）： 12)()(XVar（4）正态性： ,(12N注： 是 E(Y)的 BLUE，而不是 Y 的 BLUE。Y3、 的估计23一、 的估计量22，其中 k 为变量个数，n 为
3、样本个数。 是可计算的。nu u二、 是 的无偏估计量2即，E( ) ，或 E( )= 。2knu2三、Var( )的估计值Var( )的估计值 ；12)(XVar( )的估计值i i的标准差的估计值为，S( )i ii1)(4、拟合优度检验一、平方和公式1、公式：检验样本回归超平面 对观测点的拟合程度XY= +yu其中， = - ； = - ， 是元素为 1 的 n 维列向量。yYiyi2、方差分析表SS 自由度 MSS回归平方和 解释变差, yk-1 /(k-1)y残差平方和 未解释变差, un-k /(n-k)u总回归平方和 总变差, n-1二、可决系数 2R1、取定样本，则 固定；取定
4、方法（OLS） ，则 （ ）固定。y y=2R为解释变量与变差的百分比。2R2、 范围 10当 1 时， =0, = ，样本回归超平面通过所有观测点；2uY当 0 时， =0, ，为最差的情况。Ry3、 检验4以上程度通过；3.02R一般要求 9三、调整可决系数 2R1、定义：=121/nyku计算公式：=1-(1- )2R2k2、 引入调整可决系数 的目的：2添加解释变量，则 增加。调整可决系数 考虑了自由度，其并不简单地随着解释变量2个数的增加而增大，当变量个数增加到一定程度时，它将开始下降，如图所示。（1）k 增加使得 增加，从而 增加；2R2（2）k 增加，使得 减少。3、 范围： ，
5、当 ， 。2n2R5、单参数显著性检验一、检验的假设H0： 0；H 1： 0。ii当拒绝 H0，接受 H1，这时 显著地异于 0， 在统计上可靠，表明 Xi对 Y 的影响显ii著，X i引入正确。二、检验统计量1、t 变量：由 知，)(,12XN)(,12iii XN因此， N(0，1)ii1)(但 不知，故用其统计量 代替，这时上述统计量服从自由度为 n-k 的 t 分布：2R1K 变量个数2R1K 变量个数5t(n-k)iiiXt1)()(2、检验统计量当 H0： 0 为真，it(n-k)iiiXt1)()(（无偏估计量除以无偏估计量标准差的估计量）三、检验步骤1、设定显著性水平： 0.0
6、5 或 0.01 等；2、取样本，计算检验统计量3、查 t 分布表，得临界值 )(2knt4、判断：如果| | （双尾检验） ，则拒绝；)(it)(2t（当| | ，表明小概率事件发生，即“H 0为真”是小概率，因此拒绝iknH0）如果| | F (q,n-k)，则拒绝 H0。五、特例1、单参数 t 检验：（1）假定H0： =0；H 1： 0。ii令 R(0,0,1,0,0),r=0, （2）检验统计量 ikr 0)10( 1 111 )(0)()( iXXRX )()(/)( 2121 iiiiii tknuF7注：对单参数检验，F 检验与 t 检验等价。（3）总显著性检验：（1）假定H0：
7、 02kH1：至少一个不等。令 R(0,I k-1),r=(0),（2）检验统计量 ),1(1/2knFknRknuyF7 置信区域一、问题的估计值是 的点估计值，现在要问 的区间估计。ii i1、区间 rii|2、置信区间：样本随机，=0.05，由 构造的置信区间（随机）以 95的概率包含 。意思是说，如i i果有 100 个这样的随机置信区间，则有 95 个区间包含 。i3、根据同时讨论的参数个数，置信区域分为以下几种情况：的个数 置信区域的名称一个 区间两个 椭圆三个 椭球N 个（N3） 超椭球二、单参数 的置信区间i中心： （无偏估计量）i半径： ，)()2/kntse其中 ，1iiX
8、knu2三、总体参数的置信区域由于， ),(/)()()(1 knqFuRRF 将 F 改写为， )()(/)()()(1 ZknX8其中， 为正定阵。knuRXRZ/)(1由 得到的置信区域：),(qFPk这是一个以 为中心的超椭球。8 预测一、时间轴的分段1、样本期：已知 X、Y（观测值） ，由 OLS 可以得到 （拟合值）XY2、事后期：预测能力检验；3、事前期：进行预测。二、预测假定F事前期1、Y F 1XF1 2XF2+kXFku F (PRM 在 F 点成立)2、古典假定在 F 处成立。3、SRM： k14、已知 XF1，X F2，X Fk，预测 YF。三、均值预测（E(Y F)）1、点预测： 1FkXY2、区间预测：中心： FY半径： )()(2/1kntF四、个值预测（Y F）1、点预测： X2、区间预测：中心： FY半径： )()(12/1kntXF1952 97 98 99 2000 2002事后期样本期当期事前期(未来)9五、预测能力检验1、t 检验：f事后期 )(kntSYtff fff X11当 ，预测能力差；|ft)(2/kn当 ，预测能力好。|f/2、相对误差：， f事后期ffY当 10%，可以接受。|f
