1、用心 爱心 专心立体几何（五）一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设 、 、 是三个不同的平面， a、b 是两条不同的直线，给出下列 4 个命题：若 a ，b ，则 a b； 若 a ，b ，a b，则 ； 若a ， b ，ab，则 ；若 a、b 在平面 内的射影互相垂直，则 ab. 其中正确命题是A. B C. D. 2、直线 a平面 的一个充分条件是（ ）A存在一条直线 b，b，ab B存在一个平面 ， ,aC存在一个平面 ，a， D存在一条直线 b，b ，a b3、已知直线 m、l, 平面 、，且 m, l ，给出下列命题：若 ，则 m
2、l；若，则 ml；若 ml,则 ；若 ml,则 .其中正确命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.44、设 a，b ，c 是空间三条直线， ， 是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）A.当 c 时，若 c ，则 B.当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc，则 a b C当 时，若 b ，则 D当 ，且 时，若 c ，则 bc5、设 m，n 表示不同的直线， ,表示不同的平面，且 ,mn。则“ ”是“且”的 （ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件用心 爱心 专心SEFABC6、已知直线 m ，n 和平面 ，则 m/n 的必要非充分
3、条件是（ ）A m/且 n/ B m且 n C m/ 且 D m ，n 与 成等角7、在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面 内任意一条直线 m/平面 ，则平面 /平面 ；若平面 与平面的交线为 m，平面 内的直线 n直线 m，则直线 n平面 ；若点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点 P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。其中正确命题的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8、直线 l ,m 与平面 ,，满足 l = , l /, , ,则必有 （ ）A 且 /m B 且 mC /且 l D /且9、如图，在正四面体
4、 SABC 中，E 为 SA 的中点，F 为ABC的中心，则异面直线 EF 与 AB 所成的角是（ ）A30 B45 C 60 D90 10、如图，在棱长为 4 的正方体 ABCDABCD中，E、F 分别是 AD，AD 的中点，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在线段 EF 上运动，另一个端点 N 在底面AB CD 上运动，则线段 MN 的中点 P 的轨迹（曲面）与二面角 AADB所围成的几何体的体积为（ ）A 34B 32C 6D11、四面体 BD的外接球球心在 C上，且 2， 3AB，在外接球面上 AB， 两点间的球面距离是（ ）A 6B 3C 3D 5612、已知两个不同的平面、和
5、两条不重合的直线 m、 n，有下列四个命题若 m/n，m，则 n； 若 m,m，则 /；若 m，m/n ，n ，则 ； 若 m/，=n ，则 m/n.其中正确命题的个数是 （ ）用心 爱心 专心A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个二填空题：本大题共 4 个小题。把答案填在题中横线上。13、下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中真命题的编
6、号是_14、四面体 ABCD 中，共顶点 A 的三条棱两两相互垂直，且其长别分为 1、 、3，若四面体6ABCD 的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。15、设 ABCD、 、 、 是半径为 2的球面上的四个不同点，且满足 0ABC，0， 0，用 123S、 、 分别表示 、 D、 的面积，则 123S的最大值是 .16、正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E 为 A1B1 的中点，则下列五个命题：点 E 到平面 ABC1D1 的距离为 2直线 BC 与平面 ABC1D1 所成的角等于 45；空间四边形 ABCD1 在正方体六个面内形成六个射影，其面积的最小值是 21AE
7、 与 DC1 所成的角为 03arcos；二面角 A-BD1-C 的大小为 65其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三解答题：本大题共 9 个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、 (东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试 )如图，在长方体 1DCBA中，2,11ABD，点 E在棱 AB上移动（1 ）求证： 1；（2 ） E为 中点时，求点 到平面 1CD的距离；（3 ） 等于何值时，二面角 1的大小是 4用心 爱心 专心ABD1A1CBC18、如图所示，等腰ABC 的底边 AB=6 6,高 CD=3，点 E 是线段 BD 上异于点 B、D 的动点.点 F 在 BC 边上，
8、且 EFAB.现沿 EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使 PEAE.记 BEx V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积. （1 ）求 V(x)的表达式；（2 ）当 x 为何值时， V(x)取得最大值？（3 ）当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值。19、如图，正三棱柱 1BAC的所有棱长都为 4，D 为 CC1 中点（）求证： D1平 面；（）求二面角 的大小用心 爱心 专心D CA BB1A1C120、 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是 BC 的中点，AA 1=AB=1.（I）求证：A 1C/平面 AB1D；（II）求二面角 BAB1D 的大
9、小；（III ）求点 C 到平面 AB1D 的距离.21、如图，正三棱柱 1CBA的底面边长是 2，侧棱长是 ，D 是 AC 的中点。 。3(1)求证： /1CB平面 D1；(2)求二面角 的大小；(3)求直线 1A与平面 1所成的角的正弦值。 答案：一、选择题1、 A 2、B 3、B 4、C 5、A 6、D 7、B 8、B9 、C 10、D 11、C 12、D二、填空题13、 14、16 15、8 16、三、解答题17 解：（1）由于 E1面， 1A，根据三垂线定理，得 AD1 （2 ）设 到平面 1C的距离为 h用心 爱心 专心在 1ACD中， 51， 21AD， 231CADS， 而 2
10、ES， hSCE113V-D ，得 （3 ）过 作 H于 ，连接 H、1，则 E1为二面角 1的平面角设 ,x则 ,xB在 中， 4，得 由于 ACE, 即 21)(x， 解得 32因此，当 32x时，二面角 DEC1的大小为 418 解 : (1) 1(96) (036)xVx即 36Vx(06)x(2) 223(3)1x,(0,6)x时, ;V 6,时, 0;V 时 取得最大值.(3)以 E 为空间坐标原点, 直线 EF 为 x轴, 直线 EB 为y轴, 直线 EP 为 z轴建立空间直角坐标系 ,则(06,)(3,6,0)(36,0)ACAC,(,PFP,设异面直线 AC 与 PF 夹角是
11、 1cos73619 解法一：（）取 BC 中点 O，连结 AOABC为正三角形， 1BC平 面AB连结 1，在正方形 1C中， D， 分别为 ，的中点， PzyxDFECBA用心 爱心 专心由正方形性质知 BDO1，AB1又在正方形 1中， 1A ，1平面 D（）设 AB1 与 A1B 交于点 G，在平面 1BD 中，作 GF于 ，连结 F，由（）得 BDA1平 面 AF1为二面角 1的平面角在 1AD 中，由等面积法可求得 58A，又 21BG， 410sinFG所以二面角 DA1的大小为 arci解法二：（）取 BC中点 O，连结 A取 1中点 ，以 为原点，如图建立空间直角坐标系 xy
12、z，则 0,423,02,40,211BADB,34, 11 A0,01B， 1,AD1B平面 1D（）设平面 A的法向量为 zyxn, 0,4,32,1用心 爱心 专心,1AnD04032yzx令 1z得 1,n为平面 AD1的一个法向量由（） 32,4AB为平面 B的法向量6,cos1n 所以二面角 1的大小为 46arcos20 解：解法一（I）证明：连接 A1B，设 A1BAB1 = E，连接 DE. ABCA 1B1C1 是正三棱柱，且 AA1 = AB，四边形 A1ABB1 是正方形，E 是 A1B 的中点，又 D 是 BC 的中点，DEA 1C.DE 平面 AB1D，A 1C平面
13、 AB1D，A 1C平面 AB1D.（II）解：在面 ABC 内作 DFAB 于点 F，在面 A1ABB1 内作 FGAB 1 于点 G，连接 DG.平面 A1ABB1平面 ABC， DF平面 A1ABB1，FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影， FGAB 1， DGAB 1FGD 是二面角 BAB1D 的平面角 设 A1A = AB = 1，在正ABC 中，DF= .43在ABE 中， 8243BEFG，在 RtDFG 中， 36tanFGD，所以，二面角 BAB1D 的大小为 .36arctn （III ）解：平面 B1BCC1 平面 ABC，且 ADBC，AD平面 B1BCC1
14、，又 AD平面 AB1D，平面 B1BCC1平面 AB1D.在平面 B1BCC1 内作 CHB 1D 交 B1D 的延长线于点 H，用心 爱心 专心则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离由CDHB 1DB，得 .51BH即点 C 到平面 AB1D 的距离是 . 解法二：（I）证明：建立空间直角坐标系 Dxyz，如图，连接 A1B，设 A1BAB1 = E，连接 DE.设 A1A = AB = 1，则 ).0,21(),43,(),23,0(),( CD),(),1,(1DECA./,211ABCBDE1平 面平 面 ，./11AC平 面（II）解： )1,02(),3,0(， )
15、1,02(),23,0(1DB，设 ,1rqpn是平面 AB1D 的法向量，则 ,11nAn且 ，故 ),02(,.02,31r得取 ；同理，可求得平面 AB1B 的法向量是 .,32n 设二面角 BAB1D 的大小为 ， 51|cos21n，用心 爱心 专心PMDCA BB1A1C1二面角 BAB1D 的大小为 .51arcos （III ）解由（II）得平面 AB1D 的法向量为 ),02(1n，取其单位法向量 .,),50,2(Cn又点 C 到平面 AB1D 的距离 .5|nd21 解法一：（1 ）设 1AB与 相交于点 P，连接 PD，则 P 为 1AB中点，D 为 AC 中点， PD
16、/ C。又 PD平面 1D， 1/平面 1D （2 ） 正三棱住 BA，1A底面 ABC。又 BD ACD1BD就是二面角 ABD1的平面角。1A= 3， AD= 2AC=1tan = 31D1= , 即二面角 BDA1的大小是 3 （3 ）由（2 ）作 AM，M 为垂足。BD AC，平面 1C平面 ABC，平面 1AC平面 ABC=AC用心 爱心 专心xzyDCA BB1A1C1BD平面 1AC，AM平面 ，BD AMD1BD = DAM平面 B1A，连接 MP，则 APM就是直线 B1与平面 A1D 所成的角。1= 3， AD=1， 在 Rt1D 中， = 3，2sin60M， 27P1。
17、.723APsi直线 1B与平面 1D 所成的角的正弦值为 721解法二：（1 ）同解法一（2 ）如图建立空间直角坐标系，则 D（0 ，0，0） ，A（1，0， 0） ， 1（1，0 ， 3） ，B（ 0， 3，0） ， 1（0 ， 3， ）B1=（-1， 3，- ） ， D=（-1 ，0 ，- ）设平面 的法向量为 n=（x，y ，z ）则 n 03A1n zxD用心 爱心 专心则有 03zxy，得 n=（ 3，0，1 ）由题意，知 1A=（0，0 ， ）是平面 ABD 的一个法向量。设 n 与 所成角为 ，则 2cos1，3二面角 ABD1的大小是 3（3 ）由已知，得 1=（-1 ， ， ） ，n=（ 3，0，1）则 72nABcos1直线 1与平面 1D 所成的角的正弦值为 721
