1、6-6 系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。一、系统稳定性的意义若系统对有界激励 f(t)产生的零状态响应 也是有界的，即当 时，若有 (式中 和 均为有界的正实常数)，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应 h(t)绝对可积，即 （6-36)证明 设激励 f(t)为有界，即式中， 为有界的正实常数。又因有故
2、有(6-37)由此式看出，若满足则一定有 证毕即 也一定有界。式中 为有界的正实常数。由式(6-36)还可看出，系统具有稳定性的必要条件是(6-38)式(6-36)和式(6-38)都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。若系统为因果系统，则式(6-36)和式(6-38)可写为 (6-39)(6-40)二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在 s 域中进行。在时域中就是按式(6-36)和式(6-38)判断，已如上所述。下面研究如何从 s 域中判断。1. 从 H(s)的极点即 D(s)=0 的根分布来判定若系统函
3、数 H(s)的所有极点均位于 s 平面的左半开平面，则系统是稳定的。若 H(s)在 j 轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于 s 平面的左半开平面，则系统是临界稳定的。若 H(s)的极点中至少有一个极点位于 s 平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若在 j 轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。2. 用罗斯准则判定用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出 H(s)的极点值。但当 H(s)分母多项式 D(s)的幂次较高时，此时要具体求得 H(s)的极点就困难了。所以必须寻求另外的方法。其实，在判定系统的稳定性时，并不要求知道 H(s)极点的具体数值，而是只需要知道 H(s)极点的分布区域
4、就可以了。利用罗斯准则即可解决此问题。罗斯判定准则的内容如下：多项式 D(s)的各项系数均为大于零的实常数；多项式中无缺项(即 s 的幂从 n 到 0，一项也不缺)。这是系统为稳定的必要条件。若多项式 D(s)各项的系数均为正实常数，则对于二阶系统肯定是稳定的；但若系统的阶数 n2 时，系统是否稳定，还须排出如下的罗斯阵列。设 则罗斯阵列的排列规则如下(共有 n+1 行)：阵列中第 1、第 2 行各元素的意义不言而喻，第 3 行及以后各行的元素按以下各式计算：如法炮制地依次排列下去，共有(n+1)行，最后一行中将只留有一个不等于零的数字。若所排出的数字阵列中第一列的(n+1)个数字全部是正号，
5、则 H(s)的极点即全部位于s 平面的左半开平面，系统就是稳定的；若第一列(n+1)个数字的符号不完全相同，则符号改变的次数即等于在 s 平面右半开平面上出现的 H(s)极点的个数，因而系统就是不稳定的。在排列罗斯阵列时，有时会出现如下的两种特殊情况：(1) 阵列的第一列中出现数字为零的元素。此时可用一个无穷小量 (认为 是正或负均可)来代替该零元素，这不影响所得结论的正确性。(2) 阵列的某一行元素全部为零。当 D(s)=0 的根中出现有共轭虚根 时，就会出现此种情况。此时可利用前一行的数字构成一个辅助的 s 多项式 P(s)，然后将 P(s)对 s求导一次，再用该导数的系数组成新的一行，来
6、代替全为零元素的行即可；而辅助多项式P(s)=0 的根就是 H(s)极点的一部分。例 6-22 已知 H(s)的分母 D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1。试判断系统的稳定性。解：因 D(s)中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：可见阵列中的第一列数字符号无变化，故该 H(s)所描述的系统是稳定的，即 H(s)的极点全部位于 s 平面的左半开平面上。例 6-23 已知 。试判断系统的稳定性。解： 因 中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：可见阵列中的第一列数字符号有两次变化，即从+2 变
7、为-2，又从-2 变为+21。故 H(s)的极点中有两个极点位于 s 平面的右半开平面上，故该系统是不稳定的。例 6-24 已知 。试判断系统是否稳定。解： 因 D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10 中的系数均为大于零的实常数且无缺项，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：由于第 3 行的第一个元素为 0，从而使第 4 行的第一个元素 成为(-)，使阵列无法继续排列下去。对于此种情况，可用一个任意小的正数 来代替第 3 行的第一个元素0，然后照上述方法继续排列下去。在计算过程中可忽略含有 , 的项。最后将发现，阵列第一列数字符号改变的次数将与 无关。按此种处理方法
8、，继续完成上面的阵列：可见阵列中第一列数字的符号有两次变化，即从 变为 ,又从 变为 6。故H(s)的极点中有两个极点位于 s 平面的右半开平面上，故系统是不稳定的。例 6-25 已知 。试判断系统的稳定性。解： 因 中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：可见第 4 行全为零元素。处理此种情况的方法之一是：以前一行的元素值构建一个 s 的多项式 P(s)，即将式(6-41)对 s 求一阶导数，即现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行( 行)的元素，然后再按原方法继续排列下去。即可见阵列中的第一列数字符号没有变化，故 H(s)在 s 平面的右半
9、开平面上无极点，因而系统肯定不是不稳定的。但到底是稳定的还是临界稳定的，则还须进行下面的分析工作。令 解之得两个纯虚数的极点： 。这说明系统是临界稳定的。实际上，若将 D(s)分解因式，即为可见 H(s)共有 4 个极点： ,位于 轴上； ，位于 s平面的左半开平面。故该系统是临界稳定的。例 6-26 图 6-38 所示系统。试分析反馈系数 K 对系统稳定性的影响。图 6-38解：解之得欲使此系统稳定的必要条件是 中的各项系数均为大于零的实常数，故应有 K-1。但此条件并不是充分条件，还应进一步排出罗斯阵列如下：可见，欲使该系统稳定，则必须有 10K0,即 K0。若取 K=0，则阵列中第三行的元素即全为 0，此时系统即变为临界稳定(等幅振荡)，其振荡频率可由辅助方程求得为 ,即振荡角频率为 = rads。
