1、吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）1七年级上 第二章 有理数有 理 数 的 运 算 分 配 律除 法乘 方乘 法交 换 律结 合 律减 法 加 法比 较 大 小数 轴点 与 数 的 对 应有 理 数分 数整 数正 分 数负 分 数 正 整 数0负 整 数1相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。2正数和负数 像+ ， +12， 1.3，258 等大于 0 的数（“+ ”通常不写）叫正数。像-5，-2.8，- 等在正数前面加“” （读负）的数叫负数。43【注】0 既不是正数也不是负数。3有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。分数：正分数和负分数
2、统称为分数。有理数：整数和分数统称为有理数。（2）有理数分类1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类正整数 正整数整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数正分数 0 负整数分数 负有理数 负分数 负分数【注】有限循环小数叫做分数。（3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）2数和零组成的数集叫做非负数集。4数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【注】1）数轴的三要素：原点、正方向
3、、单位长度缺一不可。2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。 5相反数（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如5 与 5 互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。 （几何意义） （3）0 的相反数是 0。也只有 0 的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数 a 的相反数是a
4、 。（6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“”号的个数决定的。如果“ ” 号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正” 。 6绝对值（1）在数轴上表示数 a 的点离开原点的距离，叫做数 a 的绝对值。（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 0,a（3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即 a0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零 (4)两个相反数的绝对值相等 (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值
5、的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断 7有理数的加法(1)有理数加法法则1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）33）互为相反数的两个数相加得零。4）一个数与 0 相加，仍得这个数。（2）有理数加法的运算律加法交换律：abba加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)8. 有理数的减法减去一个数等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)9有理数的加减混合运算（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加
6、号省略不写。例如：把-8+（+10）+ （-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4 。读作“负 8，正 10，负 6，负 4 的和”也可读作“负 8 加 10 减 6 减 4。（2）适当的应用加法运算律。10有理数的乘法（1）有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。（3）乘法运算律乘法交换律： ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac
7、11有理数的除法（1）倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。【注】0 没有倒数。（2）有理数除法法则 1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。【注】0 不能做除数。 )0(ab（3）有理数的除法法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于的数，都得零。12有理数的乘方（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。 aan个n（2）乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数。（3）有理数乘方法则：吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）4正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0 的任何非 0 次幂都是零。13科学记数法（1）一般的，10 的 n
8、次幂，在 1 的后面有 n 的 0。（2）一个大于 0 的数就记成 的形式。其中 n 是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。a,1a（3）用科学记数法表示一个数时，10 的指数等于原数的整数位数减 1。 （或等于小数点向右移动的位数。14有理数的混合运算（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。15近似数和有效数字（1）准确数：完全符合实际的数。（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从
9、左边第一个不是 0 的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。（4）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。第三章 整式的加减1用字母表示数吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）5代数式用运算符号将数字和字母连接起来的式子分式分母中含有字母整式单项式数与字母的积多项式几个单项式的和代数式的运算（合并同类项）合并同类项法则：同类项系数相加所得的结果为系数，字母和字母的指数不变去括号括号前是加号不改变符号括号前是减号都改变符号2代数式（1）由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也叫代数式。【注】运算符号指加、减、乘、除
10、、乘方、开方。代数式中不可含有“” 、 “”或“” 、 “b，那么 a+cb+c，a-cb-c。性质 2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。如果 ab，并且 c0，那么 acbc。性质 3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。如果 ab，并且 cbbba无解a bxn ，a ）02.整式的乘法（1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。（2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。（3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘
11、以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（a+b）(m+n)=am+bm+an+bn3.乘法公式(1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。2baba（2） 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的 2 倍。2222baa4整式的除法（1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。（2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）215因式分解（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多
12、项式的因式分解。（2）公因式：多项式 ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式 m，我们称之为公因式。（3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式 ma+mb+mc 就可以分解成两个因式 m 和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。（4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。（5）十字相乘法： = （a、b 是常数）abx)(2 )(x公式特点：1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为一。2）左边是二次三项式，二次项的系数是 1，一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数
13、项之积。第十三章 全等三角形1命题乘法公式单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同他的指数作为积的一个因式单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项 ，再把所得的积相加多项式乘多项式：用多项式乘另一个多项式的每一项 ，再把所得的积相加完全平方公式(ab)2=a22ab+b2平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2分解因式（倒推）十字相乘法吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）22判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。命题可以写成“如果，那么”的形式。2定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结
14、出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。3公理数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。4全等三角形的判定一般三角形 SSS SAS ASA AAS 直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL5尺规作图只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。（1）作一条线段等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）作已知角的平分线（4）经过一已知点（直线上、直线外）作已知直线的垂线（5）作已经线段的垂直的平分线6逆命题（1）对于两个命题，如果一个
15、命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。（ 2） 原 命 题 为 真 ， 它 的 逆 命 题 不 一 定 为 真7等腰三角形的判定（1）利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边） 。8.（1）直角三角形，斜边上的中线等于斜边一半（2 在直角三角形中 30 度角所对的边等于斜边的一半。9角平分线到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。10线段垂直平分线到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。第十四章勾
16、股定理1.对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 22cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形的判定：如果三角形的三边长 a,b,c 有关系， ，那么这个三角形是直角三角形22吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）232 常见的勾股数 3.4.5 6.8.10 5.12.13 第十五章 数据的收集与表示1调查普查对所有考察对象所做的全面调查抽查对部分考察对象所做的调查总体：所考察对象的全体 个体：组成总体的每一个考察对象样本：从总体中所抽取的一部分个体 样本的容量：样本中个体的数目2 数据的收集明确调查对象 确定调查对象
17、选择调查方法 展开调查 记录结果 得出结论3 频数：表示每个对象出现的次数4 频率：表示每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比） 。即频率=频数/数据总数。所有小组的频率之和等于 15 频数和频率都能够反映每个对象的频繁程度。5数据的表示（1）扇形统计图：是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形的面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。它可以直观的反映出各部分数量在总量中所占的份额。（2）条形统计图：是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图。它们可以直观的反映出数据的数量特征。如果有两个研究对象，常常把两个对象的相应数据并列表示在同一张条形统计图中。（
18、3）折线统计图：是用折线表示数量变化规律的统计图。它能反映出各部分数据的变化趋势。（4）统计图表：可以准确的反映出数据的不同特征。八年级下 吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）24第十六章 分式1分式形如 （A、B 是整式，且 B 中含有字母， ）的式子，叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做0分式的分母。【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。2有理式 整式和分式统称为有理式。3分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。5 最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。6最简公分母各分母所有因式的最高次幂的积7分式的运算（1）分式乘分
19、式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。（3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。（4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。8分式方程（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根） ，因此，解分式方程必须进行检验。（4）解分式方程进行检验的关
20、键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。9零指数幂与负整指数幂（1）任何不等于零的数的零次幂都等于 1。【注】0 的零次幂没有意义。（2）任何不等于零的数的-n（n 为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。是正整数） nan,0(10 利用 10 的负整指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 的形式，其na10中 n 是正整数， 。1吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）25第十七章 函数及其图像1变量与函数（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量
21、。（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量。此时也称 y 是 x 函数。（3）表示函数关系的方法1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。2）列表法3）图像法（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。（5）函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值全体。通常从两方面考虑 1）在实际问题中，自变量 x 的取值会受到实际意义的限制。2）使函数的解析式有意义。2函数的图像（1）直角坐标系1)
22、在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点 O 叫做坐标原点。2)在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点 P 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足分别为 M 和 N。这时，点 M 在 x 轴上对应的数字是 m，称为点 P 的横坐标；点 N 在 y 轴上的坐标为 n，称为点 P 的纵坐标，得到一对有序实数（m ，n） ，称为点 P 的坐标，可记为 P（m，n） 。3)在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成、四个区
23、域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）264)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。 5)不同位置点的坐标的特征x 轴 0 任意实数y 轴 任意实数 0（2）函数的图像1）一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标（x，y）代表函数的一对对应值，它的横坐标 x 表示自变量的某一个值，纵坐标 y 表示与它对应的函数值。2）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。3一次函数（1）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。一次函数通常可以表示为 y=kx+b 的
24、形式，其中 k、 b 是常数，k 0。特别的，当 b=0 时，一次函数 y=kx（常数 k 0） ，也叫做正比例函数。（2）一次函数的图像一次函数 y=kx+b（k、b 是常数，k 0）的图像是一条直线，通常也称为直线 y=kx+b。特别的，正比例函数 y=kx（k 0）的图像是经过原点（ 0，0） 。对于直线 y=kx+b（k、b 是常数，k 0） ，k 表示直线的倾斜程度。b 是直线与 y 轴交点的纵坐标。（3)一次函数的性质当 k0 时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。当 k0，b0 时，函数经过、象限。当 k0，b0 时，函数经过、象限。横坐标 纵坐标第象限第象限第
25、象限第象限+MNxyOPnmxx吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）27当 k0 时，函数的图像在第、象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内 y 随 x的增大而减小。2）当 k0 的自变量的所有的值，就是一元一次不等式 kx+b0 的解集。第十八章 平行四边形1平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。平行四边形 ABCD 可以记作 ABCD。2平行四边形的性质（1）平行四边形两组对边分别平行。（2）平行四边形对边相等，对角相等。（3）平行四边形对角线互相平分。（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。（4）平行线之间的距离处处相等。【注】两条直线平行，其中一
26、条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离。3平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）28第十九章 矩形 菱形和正方形1矩形 （1）有一个角为直角的平行四边形。（2）矩形特有的性质1）矩形的四个角都是直角。2）矩形的对角线相等且互相平分。3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。2矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相
27、等的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。3菱形（1）有一组邻边相等的平行四边形。（2）菱形特有的性质1）菱形的四条边都相等。2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。3）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。4菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）四条边都相等的四边形是菱形。（4）每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。5正方形（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角是直角的菱形是正方形。（2）正方形的性质1）四个角都是直角，四条边都相等。2）正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组
28、对角。6正方形的判定（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）有一个角是直角的菱形是正方形。（3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形7梯形（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。（2）等腰梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合。吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）291）等腰梯形是轴对称图形。只有一条对称轴，一底的垂直平分线。2）等腰梯形同一底边上的两个内角相等。3）等腰梯形的两条对角线相等。8等腰梯形的判定（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（3）两条对角线
29、相等的梯形是等腰梯形。第二十章 数据的整理与初步处理1算术平均数若一组数据为 ，它们的平均数为 ，则 。平均数反映了这组nxx.,321 xnxxn321数据中个数据的平均大小或者是集中趋势。2加权平均数一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，各指标乘以相应的权重后所得的平均数就是加权平均数。 )(2121 nffffxxfn3扇形统计图的制作（1）先计算出各部分数量占总数量的百分比。（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角的度数。（3）按照圆心角度数，在圆中画出各个扇形。（4）在每个扇形中标出所表示各个部分数量名称和所占的百分比。5中位数把一组数据按由小到大
30、的顺序排列，若有奇数个数时，则处在正中间的数是中位数。若有偶数个数时，则取中间两个数的平均数是中位数。中位数也反映的是一组数据的集中趋势。6众数一组数据中出现次数最多的那个数据值。它也反映的是一组数据的集中趋势。一组数据中可以不止一个众数，也可以没有众数。7极差=最大值最小值，反映这组数据的变化范围。8方差用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均。 ”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫做方差。通常用 表示一组数据的方差， 表示一组数据的平均数。2sx吉大教育辅导学校初中数学知识点总结（华师）30 22212 xxxns n9标准差 2221 xxxs n九年级上 第二十一章 二次根式1二次根式表示非负数 a 的算术平方根，也就是说， 是一个非负数，它的平方等于 a，即有：)0(a )0(a（1） （2） )0(2形如 的式子叫做二次根式。)(二次根式的性质： )0(2a 2二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 ),0(baba3积的算术平方根积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简。 ),(4二次根式的除法两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。 )0,(bab6 商的算术平方根商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并
