1、高中数学(理科)基础知识归类第 1 页(共 36 页)高中数学基础知识归类献给 2012年高三( 理科) 考生一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：函数的定义域； |lgxyx |lgyx函数的值域；函数图象上的点集 .(,)|lgxy2.集合的性质： 任何一个集合 是它A本身的子集,记为 .A空集是任何集合的子集 ,记为 .空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了AB的情况如： ,如果 ,求 的取值.012|xaARa(答： )0 , ；()UUCABC()UUABC；（ ） （ ）.（ ） （ ）ABBUACBAUCB.UCR 元素的个数：.() (
2、)cardABcardAcardBcardAB 含 个元素的集合的子集个数为 ；真n 2n子集(非空子集) 个数为 ；非空真子集21n个数为 .2n3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数 在区间12)(4)(2 pxpxf上至少存在一个实数 ,使1, c,求实数 的取值范围.(答： )0)(cf p32(,4.原命题: ；逆命题: ；否命题: qqp高中数学(理科)基础知识归类第 2 页(共 36 页)；逆否命题: ；互为逆否的两pqqp个命题是等价的.如：“ ”是“ ”的 sini条件.(答：充分非必要条件)5.若 且 ,则 是 的充分非必要条件pqpq(或 是
3、的必要非充分条件 ).6.注意命题 的否定与它的否命题的区别: 命题 的否定是 ；否命题是pqpq.pq命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”；“ 且 ”的否定是“ 或 ”.pq如：“若 和 都是偶数，则 是偶数”的abba否命题是“若 和 不都是偶数,则 是奇ba数”否定是“若 和 都是偶数,则 是奇数”.ab高中数学(理科)基础知识归类第 3 页(共 36 页)7.常见结论的否定形式二.函数1.映射 : 是： “一对一或多对一”fAB的对应；集合 中的元素必有象且 中A不同元素在 中可以有相同的象；集合 中B B的元素不一定有原象(即象集 ).一一映射 : ： “一对一”的对应；fA 中不同元素
4、的象必不同, 中元素都A B有原象.2.函数 : fAB是特殊的映射.特殊在定义原结论 否定 原结论否定是 不是 至少有一个一个也没有都是 不都是 至多有一个至少有两个大于 不大于 至少有 个n至多有 个1小于 不小于 至多有 个至少有个对所有 ,x成立存在某 ,x不成立或pq且pq对任何 ,x不成立存在某 ,x成立且pq或pq高中数学(理科)基础知识归类第 4 页(共 36 页)域 和值域 都是非空数集！据此可知函AB数图像与 轴x的垂线至多有一个公共点,但与 轴垂线y的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求
5、定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数且 ；零指数幂的底数 )；实际问题有意10义；若 定义域为 ,复合函数 定义()fxab()fgx域由 解出；若 定义域为 ,则agb()fgxab定义域相当于 时 的值域.()fx ,ab5.求值域常用方法: 配方法(二次函数类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法： 转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）： 导数法 (一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：待定系
6、数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方()fx程组。7.函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域高中数学(理科)基础知识归类第 5 页(共 36 页)是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若 是偶函数,那么 ；定义()fx ()(|)fxfx域含零的奇函数必过原点( )；0判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或 ；()0fx()1()0fxf复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简 再判断；既奇又偶的函数有无数个(如 定义域关于原点 对称即可)
7、.)0fx奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特 值法(用于小题)等.复合函数单调性由“同增异减” 判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数 的单调递增区间是12log()yx.(答： )_,8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对 而言）；x上下平移-“上加下减”(注意是针对而言). 翻折 变换： ； .()fx ()|fxf()|)fxf对称变换： 证明函数图 像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴) 的对称点仍在图像上.证明图像 与 的对称性,即证 上任1
8、C2 1C意点关于对称中心(轴) 的对 称点仍在高中数学(理科)基础知识归类第 6 页(共 36 页)上,反之亦然.2C函数 与 的图像关于直 线 ()yfx()yfx0x轴)对称；函数 与函数y的图像关于直线 ( 轴) 对称；(fx0yx若函数 对 时， 或()yfxR()fafx恒成立,则 图像关()2)fxax()yx于直线 对称；若 对 时, 恒成立,则()yfxR()()faxfb图像关于直线 对称；()f 2函数 , 的图像关于直 线()yfax()yfbx对称( 由 确定)；2bax函数 与 的图 像关于直线()yfx(yfx对称；2abx函数 , 的图像关于直 线()yfx()
9、Afx对称( 由 确定) ；2Ay2f函数 与 的图像关于原点成()yfx(yfx中心对称；函数 ,()yfx()nfmx的图像关于点 对称；2,mn函数 与函数 的图像关于直()yfx1()yfx线 对称；曲线 ： ,关于x1C,0, 的对称曲线 的方程为ya2(或 ；(,)0fx,)0fyax曲线 ： 关于点 的对称曲线 方1C,f(,b2C程为： .(2,)0axby9.函数的周期性：若 对 时()yfxR恒成立,则 的 周 期 为 ；()()fxaf 2|a若 是偶函数,其图像又关于直线yx对称,则 的周期为 ；x()f 2|a若 奇函数,其图像又关于直线)yfx对称,则 的周期为 ；
10、xa(f 4|a若 关于点 , 对称,则 的周期)yfx(0)ab()fx为 ；2|ab高中数学(理科)基础知识归类第 7 页(共 36 页) 的图象关于直线 , 对称,()yfxxa()b则函数 的周期为 ；()f 2| 对 时, 或 ,则()yfxR()(fxafx1()(fxfa的周期为 ；f2|10.对数： ；对 数loglnaab(0,1,)bnR恒 等 式 ；lg(0,1)aNN lo()lol;logllog;llognaaaaaaMMNM；对数换底公式1loglnaa loglba；(0,)b推论： .12113loglogllogllognabcaaaan(以上 且2,0,0
11、,0MNbc均不等于 )12,na11.方程 有解 ( 为 的值域)；(kfxkD(fx恒成立 ,()fx()afx最 大 值恒成立 .()afx()afx最 小 值12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值 法) ； 转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： 一般式： ；顶点式：2()(0)fxabc； 零点式：()fxhk.12)(x15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 、轴与区间关系、区 间端点函数值0符号;高中数学(理
12、科)基础知识归类第 8 页(共 36 页)16.复合函数：复合函数定义域求法：若 的定义域为 ,其复合函数 的()fxab()fgx定义域可由不等式 解出；若 的定义域为 ,求()agxb()fgxab的定义域，相当于 时,求()fx ab的值域；复合函数的单调性由“同增g异减”判定.17.对于反函数,应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性； 与 互()yfx1()yfx为反函数,设 的定义域为 ,值域为 ,则有()fxAB, .1()fxB1(
13、)x18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：(或 ) (或 )；()0fugxh()aub)0fa(0fab19.函数 的图像是双曲线：,axbcdyc两渐近线分 别直线 (由分母为零dcx确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)；acyx对称中心是点 ；反函数 为 ；(,)dacbdxcay20.函数 ：增区间为 ,(0,)bxya(,)ba减区间为 .,)a如：已知函数 在区间 上为增函12(xf(2,)高中数学(理科)基础知识归类第 9 页(共 36 页)数,则实数 的取值范围是 (答： ).a_12(,)三.数列1.由 求 , 注意验证 是nSna
14、1*()2,)nSnN 1a否包含在后面 的公式中,若不符合要单独列出.如：数列 满足 ，na111534,nnaSa求 (答： ).na14()32nn2.等差数列 ( 为常数)1nad12(,*)nnaN；21 122(,)nddbdSABa3.等差数列的性质： , ；(nmmna (反之不一定成立)；特mnlknlkaa别 地 ,当 时 ,有 ；2p2mnpa若 、 是等差数列,则 ( 、 是非nnbnktbkt零常数) 是等差数列；等差数列的 “间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数232,mmSS 列；等差数列 ,当项数为 时 , ,nanSnd偶 奇；项数为 时,1nSa奇偶
15、 21, ,且 ；(*)nN偶 中 奇 21()nnSa1Sn奇偶.()nnAaBbff首项为正(或为负)的递减 (或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小) 问题,转化为解不等式(或 ).也可用 的二次函数10na10na2nSAB关系来分析.若 ,则 ；若 ,()nman0mna,()nmSn则 ；()mS若 ,则 Sm+n=0；S3m=3(S2m Sm)；n.mnSd高中数学(理科)基础知识归类第 10 页(共 36 页)4.等比数列.12 11(0)(2,*)n nnnaqaNaq 5.等比数列的性质 , ；若 、 是等比数列，nmaqnanab则 、 等也是等比数列；nknb ；
16、1111() ()()()nnqqaaqS(反之不一定成mnlknlk立)； . 等比数列中nmSqS(注：各项均不为 0)232,mm 仍是等比数列. 等比数列 当项数为na时, ；项数为 时, .2nSq偶奇 21n1Sq奇 偶6.如果数列 是等差数列 ,则数列 (na naA总有意义) 是等比数列；如果数列 是naA n等比数列,则数列 是等差数列；log|(0,1)ana若 既是等差数列又是等比数列,则na是非零常数数列；n如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么
17、由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的 设法： ；四个,ad数成等差的设法： ；3,3ad三个数成等比的设法： ；四个数成等,qa比的错误设法： (为什么？)33,aq7.数列的通项的求法：公式法：等差高中数学(理科)基础知识归类第 11 页(共 36 页)数列通项公式； 等比数列通 项公式.已知 (即 )求 用作差法：nS12(naaf na.1,)nna已知 求 用作商法：12()naf na.(),)nfa若 求 用迭加法. 已知 ,求1(nafna 1()naf用迭乘法.na已知数列递推式求 ,用构造法(构造na等差、等比数列)：形如 ,
18、,1nkab1nnkab( 为 常数) 的递推数列都可以1nakb,k用待定系数法转化为公比为 的等比数k列后,再求 .形如 的递推数列都可以na1nakb用 “取倒数法”求通项.8.数列求和的方法： 公式法：等差数列 ,等比数列求和公式； 分组求和法； 倒序相加；错位相减；分裂通 项法.公式：； ；12123()n 222163()21nn； ；常见裂项公3 15式 ；11()nn； ；)kk11()2()()2nnn1()!()!nn常见放缩公式：.2121 112() ()n nnn 9.“分期付款”、 “森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，
19、务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”高中数学(理科)基础知识归类第 12 页(共 36 页) 1220011sincos1201sincos解决.利率问题： 单利问题：如零存整取储蓄(单 利) 本利和 计算模型：若每期存入本金 元,每期利p率为 ,则 期后本利和为：rn(等差数列问(1)2(1)(2)(1)n nSrprr题）；复利问题 ：按揭贷款的分期等 额还款(复利 )模型：若 贷款(向银行借款)元,采用分期等p额还款方式,从借款日算起,一期(如一年) 后为第一次还款日,如此下去,分 期还清.n如果每期利率为 （按复利），那
20、么每期等额还款 元r x应满足：(等比数列问题).12(1)()()(1)nnnprxrxrxr四.三角函数1. 终边与 终边相同 ； 终边2()kZ与 终边共线 ； 终边()kZ与 终边关于 轴对称 ； 终边x()k与 终边关于 轴对称y； 终边与 终边关于原点对2()kZ称 ；终边与 终边关于角 终边对称.2()kZ2.弧长公式： ；扇形面积公式：|lr； 弧度( ) .212|Slr扇 形 1ad5733.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.注意： ； ；3tan15cot723tan75cot14.三角函数同角关系中(八块图) ：注意“正、余弦三兄妹高中数
21、学(理科)基础知识归类第 13 页(共 36 页)、 ”的关系.sincoxsincox如 等.2()1six5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视 为锐 角)6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如： ； ； ；()2()()2()()；2等；“ ”的变换：()1；221sincotancot2sin30ta45xx7.重要结论： 其中 ）；2sin()bbxxtanb重要公式 ；2cos1sin2； ；1cos2in1cossita.21sin 2(cosin)|cosin|万能公式： ； ； .2ta
22、1i21tancs2tan1t8.正弦型曲线 的对称轴sin()yAx；对称中心 ；2()kxZ,0()kZ余弦型曲线 的对称轴 ；cos()yx()kxZ对称中心 ；2(,0kkZ9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 ,一般用180正、余弦定理实 施边角互化；正弦定理：；sinisin2abcABCR余弦定理： ；2222 ()cos, 1bcabcaabA正弦平方差公式： ；三2inisin()si()BAB角形的内切圆半径 ；ACSabcr高中数学(理科)基础知识归类第 14 页(共 36 页)面积公式： ；射影定理：124s
23、inabcRSC.cosabCB10. 中,易得： , ,AABsin()ABC, .cs()tant()C , , . 2incosBC2si2tacotinabA锐角 中, , , ,2Asinc,scBA22abc类比得钝角 结论.BC .tanttantatnA11.角的范围：异面直线所成角 ；直线2(0,与平面所成角 ；二面角和两向量的夹20,角 ；直线的倾斜角 ； 到 的角 ；0,0,)1l20,)与 的夹角 .注意术语:坡度、仰角、俯1l22(0,角、方位角等.五.平面向量1.设 , . (1) ；(2)1()axy2(,)bxy 121/0abxy.100b2.平面向量基本定理
24、：如果 和 是同一1e2平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 、 ,使 .a 1212ae3.设 , ,则 ；其几1()xy2()bxy 1|cosabxy何意义是 等于 的长度a与 在 的方向上的投影的乘积； 在 的b ab方向上的投影 .12|cos|xyab4.三点 、 、 共线 与 共 线；与 共ABCABCAB线的单位向量 .|5.平面向量数量积性质：设 , ,1()axy2()bxy则 ；注意: 为锐角122cos|xyab , 不同向； 为直角 ； 为0,ab0ab,高中数学(理科)基础知识归类第 15 页(共 36 页)钝角 , 不反向.0ab
25、6. 同向或有 ； 反 |ababab向或有 ； 不共线|.|ab7.平面向量数量积的坐标表示：若, ,则 ； ； 1()axy2()bxy12abxy 2211|()()ABxy若 ,则 .28.熟记平移公式和定比分点公式. 当点 在线段 上时, ；当点 在线段P21P0P(或 )212延长线上时, 或 .分点坐 标公1式：若 ；且 , ；12P1()Pxy()2,)Pxy则 , 中点坐标公式：12()xy.1212()xy , , 三点共 线 存在实数 、 使得1P2且 .O19.三角形中向量性质： 过 边的ABC中点： ；|()()ABCABC 为 的重13 0PGPGG心； 为 的垂心
26、； ABCAABC为|0CPP的内心； 所在直线过 内|()(BAC ABC心. 设 ,12,xy. .12AOBBASxy 221|sin|()BCSAB 为 内一点,则 .0BOCCAOBSS高中数学(理科)基础知识归类第 16 页(共 36 页)10. ,有 ( )；(,)(,)()ahkPxyPxy 按 平 移 xhykPa.(,)ahkf fh 按 平 移六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若 , ,则 .即不等式两 边同号时,不0ab1ab等式两边取倒数,不等号方向要改变.如果对不等式两 边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,
27、要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、 绝对值不等式、简单 的指数、 对 数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1) 均值不等式：若,则 (当且仅当 时0ba2 21abab ba取等号) 使用条件： “一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2) ，,abcR(当且 仅当 时,取等号)；22abcabcabc(3)公式注意变 形如： ,22(；(4)若 ,则 (真分数的性2()ab0,abmbma质)；4.含绝对值不等式： 同号或有, 0； 异号或有|ababab.|5.证明不等式常用方法：比
28、较法：作差比较： .注意：若两个正数作差0AB比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证需证,高中数学(理科)基础知识归类第 17 页(共 36 页)Ok只需证； 反证法：正难则反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有： 添加或舍去一些 项,如： ； .将分子或分母放大21|a(1)n(或缩小 )利用基本不等式 ,如： .利(1)(1)2n用常用结论： ；01kkk(程度大)； 02 211()()k 03(程度小)；21121(k换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角
29、换元代数换元.如：知 ,可设 ；22xyacos,inxay知 ,可设 ,21xycosrinr( )；知 ,可设 ；已知01r21xyabcos,inxayb,可设 .2xyabsec,tn最值法,如： ,则 恒成立.()fx最 大 值 ()afx,则 恒成立.()fx最 小 值 af七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角 的范围是 ；0,）2.直线的倾斜角与斜率的变化关系(如右 图) ：2tan)k3.直线方程五种形式：点斜式：已知直线过点 斜率为 ，则直线0(,)xyk方程为 ,它不包括垂直于 轴的0()kx x直线.斜截式：已知直线在 轴上的截y距为 b和斜率 ，则直 线方程为 ,它不包括
30、kykxb高中数学(理科)基础知识归类第 18 页(共 36 页)垂直于 轴的直线. 两点式：已知直线x经过、 两点 ,则直线方程为 ,1(,)Pxy2(,)xy 1122yx它不包括垂直于坐标轴的直线.截距式：已知直线在 轴和 轴上的截xy距为 ,则直线方程为 ,它不包括垂ab1yab直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式：任何直线均可写成 ( 不同时为 0)0AxByC,A的形式.提醒：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 .直线两截距相等 直线的斜率0为 或直线过1原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为
31、 或直线过 原点；直线两截距绝对1值相等 直线的斜率为 或直线过原点.1截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线 与直线 的位11:0lAxByC22:0lAxByC置关系：平行 (斜率) 且 (在 轴121121y上截距) ；相交 ；(3)重合 且1210AB1210AB.1210BC5.直线系方程： 过两直线 ：1l, ： .交点的直线系方程110AxByC2l20AxByC高中数学(理科)基础知识归类第 19 页(共 36 页)可设为 ；与直线1122()0AxByCAxByC平行的直线系方程可设为:0lxy；与直线 垂直的()mc:0lxy直线系方程可设为 .BAn6
32、.到角和夹角公式： 到 的角是指直1l2线 绕着交点按逆时针方向转到和直线1l重合所转的角 ,2 且 ；(0,)212tan()k 与 的夹角是指不大于直角的角1l2且 .,(0,212tan|()k7.点 到直线 的距离公式0(,)Pxy0AxByC；2ABCd两条平行线 与 的距离是10AxByC20AxByC.12CdAB8.设三角形 三顶点 , , ,则AC1()Axy2()B3()Cxy重心 ；123123(,)xyG9.有关对称的一些结论点 关于 轴、 轴、原点、直线 的(,)abxyyx对称点分别是 , , , .()ab()ab(曲线 关于下列点和直线对称的(,)0fxy曲线方
33、程为： 点 ： ；(,)ab(2,)0fxby 轴： ； 轴： ；原点：x(,)0fxyy,；直线 ： ；直线 ：(,)0fyx(,)0f yx；直线 ： .,xa2,xy10.圆的标准方程： . 22()()xaybr圆的一般方程：高中数学(理科)基础知识归类第 20 页(共 36 页).特别提醒：只有当2 20(40)xyDEFEF时,方程4才表示 圆心为 ,半径为20xy 2()DE的圆( 二元二次方程214DEF表示圆 ,且0AxByCxEy0AC).20,4A圆的参数方程： ( 为参数), 其cosinxaryb中圆心为 ,半径为 .圆的参数方程主()ab要应用是三角换元： ； 22
34、cos,inxyrxyr.22cos,in(0)xytrt以 、 为直径的圆的方程1(,)Ax2()Bxy；121()11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计 算圆心到直 线距离).点 及圆0,Pxy的方程. 点 在圆外；22()()xaybr2200()()xaybrP 点 在圆内；200P点 在圆上.2()()xaybr12.圆上一点的切线方程：点 在圆0(,)Pxy上 ,则过点 的切线方程为：22xyrP；过圆 上一点 切线0 22()()xaybr0(,)xy方程为 .00()x13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 轴垂直的直线.x14.直线
35、与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,高中数学(理科)基础知识归类第 21 页(共 36 页)构造直角三角形解决弦长问题.相离 相切 相drdrdr交15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为 ,d两圆的半径分别为 ： 两圆相离；,rRr两 圆相外切； 两dRr|d圆相交； 两圆相内切； 两圆|dRr|Rr内含； 两圆同心.016.过圆 ： , ：1C2110xyDxEyF2C交点的圆(相交弦 )系方程2220xyDEF为 . 时为21122() 0xyxyxy1两圆相交弦所在直线方程.17.解决直线与圆的关系问题时,要充分
36、发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义) ；(3)确定目 标函数的最优位置,从而获得最优解.八.圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设 为椭圆0(,)Pxy上任一点,焦点为 , ,21(0)xyab 1(0)Fc2()则 (“左加右减”) ；1020,PFexaex2.双曲线焦半径：设 为双曲线0(,)Pxy上任一点,焦点为 , ,2,)xyab 1(0)Fc2()高中数学(理科)基础知识归类第 22 页(共 36
37、页)则：当 点在右支上时,P；当 点在左支上时,1020|,|PFaexaexP,|；( 为离心率 ).另：双曲 线20|ex的渐近线方程为 .1,)xyab 20xyab3.抛物线焦半径公式：设 为抛物线0(,)P上任意一点, 为焦点,则2(0)ypxF； 上任意一点 , 为焦点，|PF2(0)ypxF则 .02|x4.共渐近线 的双曲线标准方程为bayx( 为参数 , ).2xyab05.两个常见的曲线系方程： 过曲线, 的交点的曲线系方程是1(,)0fxy2()0fxy( 为参数).共焦点的有心圆,锥曲线系方程 ,其中221xyakb.当 时,表示椭圆；当2max,kb2minkab时,
38、表示双曲线.2in,ax6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或2211()()ABxy212|ABkx(弦端点 ,2212224|kxyk12(,)()AxyB由方程 消去(,)0ykcbF得到 , , 为斜率). 这里体现y2xak了解几中“设而不求”的思想；7.椭圆、双曲线 的通径(最短弦)为 ,焦2ba准距为 ,抛物线的通径为 ,焦准距为2bcp2p；p双曲线 的焦点到渐近线的距21(0,)xyab离为 ；b8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 (对于椭圆21AxBy高中数学(理科)基础知识归类第 23 页(共 36 页)；0,AB9.抛物线 的焦点弦（过焦点的弦）2(0
39、)ypx为 , 、 ,则有如下结论：1()x2B ； , ； .2|ABp214px21y12|pAFB10.椭圆 左焦点弦 ,2(0)xyab12|()aex右焦点弦 .12|ex11.对于 抛物线上的点的坐标可2(0)yp设为 ,以简化计算.0()12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 中,21xyab以 为中点的弦所在直线斜率 ；0(,)P 20bxkay在双曲线 中,以 为中点的弦所21xyab0(,)Pxy在直线斜率 ；在抛物线 中,20ky20px以 为中点的弦所在直线的斜率 .0(,)Pxy 0pyk13.求轨迹方程的常用方法：直接法：直
40、接通过建立 、 之间的关系，xy构成 ,是求轨迹的最基本的方法.(,)0Fxy待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.代入法( 相关点法或 转移法).定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.交轨法( 参数法 )：当动点 坐标之间(,)Pxy的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 、 均用一中 间变量(参数)表示,得参xy高中数学(理科)基础知识归类第 24 页(共 36 页)数方程,再消去参数得普通方程.14.解析几何与向量综合的有关结论：给出直线的方向向量 或 .等(1,)uk(,)umn于已
41、知直线的斜率 或 ；knm给出 与 相交,等于已知 过OBA OBA的中点；B给出 ,等于已知 是 的中点;0PNMPMN给出 ,等于已知 与 的()AQB Q,AB中点三点共线;给出以下情形之一： ； C/存在实数 ,使 ； 若存在 实数 ,ABC 且 ；使 ,等于已知 三点1OBA,共线.给出 ,等于已知 是 的定比分1ABPP点, 为定比,即给出 ,等于已知 ,即 是0MMBAA直角,给出 ,等于已0mMBA知 是钝角或反向共线,给出 ,等B 0mMBA于已知 是锐角或同向共线.给出 ,等于已知 是 的|()MABPP平分线.在平行四边形 中,给出CD,等于已知 是菱形.0)()(ABD
42、AAB在平行四边形 中,给出 ,|DAB等于已知 是矩形.C在 中,给出 ，等于已知AB22OCBA是 的外心 (三角形的外心是外接圆O的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).在 中,给出 ，等于已知ABC0OCBA是 的重心 (三角形的重心是三角形O三条中线的交点).高中数学(理科)基础知识归类第 25 页(共 36 页)在 中,给出 ，等于ABCOACBOA已知 是 的垂心 (三角形的垂心O是三角形三条高的交点).在 中,给出 等于ABCAP|()BAC)(R已知 通过 的内心.P在 中,给出 等于已知,0Ocba是 的内心 (三角形内切圆OABC的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的
43、交点).在 中,给出 ,等于已知 是ABC12()ADBCAD中 边的中 线.九.直线、平面、简单几何体1.从一点 出发的三条射线 、 、 .若OOABC,则点 在平面 上的射影在ABCABC的平分线上；2.立平斜三角余弦公式：(图略) 和平面AB所成的角是 , 在平面内, 和 的射影1ACC成 ,1AB2设 ,则 ；3C123coscos3.异面直线所成角的求法：平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线.补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂
44、线段,是产生线面角的关键.5.二面角的求法：定义法；三垂线法；垂面法；射影法：利用面积射影公式高中数学(理科)基础知识归类第 26 页(共 36 页)cosS射 斜其中 为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；6.空间距离的求法：两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算.求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.7.用向量方法求空间角和距离：求异面直线所成的角：设 、 分别为异面直线ab、 的方向向量 ,ab则两异面直线所成的角 .求线|arcosb面角：设 是斜线 的方向向量, 是平面ll n的法向量,则斜线 与平面 所成的角l. 求二面角(法一) 在 内 ,在|arcsinl al内,其方向如图(略),则二面角 的平bl l面角 .(法二) 设
