1、例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略谈 2008年江苏高考数学试卷第 14题摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。 例谈不等式恒成立问题和能成立问题介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。2008年江苏高考数学试卷第 14题是一道很好的恒成立问题：设函数若对于任意 都有 成立，则实数 的值3()1()fxaxR1,x()0fxa为 。解析如下：析：将 中的 分离，然后求函数的最值。()0f,a解：函数 若对于任意 都有
2、成立，函数31()xxR1,x()0fx对于任意 有 都成立。3()()fa,0及 其若 ， ，设 则1,0x3321()1fxaax1txt，令 ，则3232tt32()ytt2360y单调递减， ， （1）()yt 3min1(14t a若 ， ，设 ，则0,1x33210fxaaxtxt，令 ，则 ，3232()tt()ytt236(2)yt当 时 ， 单调递增；当 时 ，ty32()t0单调递减， ， （2）32(1)yt 32max24tya若 则 ， 成立（3）0xaR(0fx由题意知（1） （2） （3）应同时成立 4解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略:1、若 f(x)a 对
3、 xD 恒成立，只须 f(x)min(xD)a 即可。2、若 f(x)a 对 xD 恒成立，只须 f(x)max(xD)a 即可。该题在考查学生基础知识的同时，注意考查了考生的分类讨论的思想、换元的思想等，是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。2000年上海高考数学试卷也考了一道不等式恒成立的题目，解析如下已知函数 f(x)= ,x . xa2),1（1）当 a= 时，求函数 f(x)的最小值； （2） 若对任意的 x ， 恒成立，试求 a的取值范围。),10(xf析：由于 x ， 化繁为简。),(f2解：（1）当 时， ， 在区间 上为增函数， 2a)x)(xf),1在区间 上的
4、最小值为 )(xf,1271f（2）在区间 上， 恒成立 恒成),0)(2xaf 02ax立，设 ， 递增，当,12xaxy 1)(2 xy时， ，于是当且仅当 时，函数 恒成立，13min 03mina0)(xf故 a本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论：解不等式恒成立问题，首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略进行求解。等价转化是思想，构建函数模型是手段，求函数的最值是关键。下面就不等式恒成立问题谈几种解决方法，以期对读者有所启迪。一、直接法例 1已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取0,xy21xy2x
5、ymm值范围是 析：本题可利用不等式求最值解： ，而 对2142()()8yxxyx2ym恒成立，则 ，解得0,28m例 2若不等式 0 在1，2上恒成立，则实数 a的取值范围为 14xa。析：本题可转化为求二次函数的最值解：令 ，则142,2xya21,124xyaxx而所以 ，因不等式 0 在1，2上恒成立min() 14x所以 ，即i0y例 3已知函数 ， 2()sin3cos24fxxx,42（1）求 的最大值和最小值；()f（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围()2fxm,4xm析： ， 且()2()2fxffax()2mf in()2fx解：（1） ()1cos3cos
6、1in3cosfxx 1s3又 ， ，即 ，,42x 26 2i maxmin()3,()ff（2） ， ， 且()2()2fxfx ,42max()2f，min()2fx，即 的取值范围是 14 (1,4)二、分离参数法例 4关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的范围为 xkxx3922 5,1a析：含参问题的考察始终是高考的热点，要善于对问题先观察思考后动手，避免不必要的麻烦。解析一： 两边同除以 ，则 ， ， ，x39xk69x03当且仅当 ，两等式同时成立，所以 时，右边取最小值 6， 3x 3xk解析二：（提示）可分 和 讨论求分段函数的最小值答案：3x156k例 5若 a,b均为
7、正实数，且 恒成立，则 m的最小值是 abm析：参数分离 ，然后求 的最值，ab1ab1ab最后采取不等式恒成立问题的处理策略求 m 的最小值解：因 a,b均为正实数， ，根据基本不等ab1ab式得22()(),0,)abab221()1)aabb恒成立 ，则 m的最小值是min2三、等价转化法例 6已知函数 2()ln(0),fxax若 在 上单调递增，求 的取值范围；()f1,析：本题的实质由 在 上恒成立，求 的取值范围。fx1,)a解： 由 ，得2lnfxa 2fx若函数为 上单调增函数，则 在 上恒成立1,)0f1,)即不等式 在 上恒成立. 也即 在 上恒20x1,)2ax1,)成
8、立令 ，上述问题等价于 ，而 为在2()xmax()2()x上的减函数，则 ，于是 为所求1,max()10例 7已知函数 ()exfkR，若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；0kxR()0fxk析：本题可利用 是偶函数将问题等价转化为：已知 对任意()f ()0fx成立，确定实数 的取值范围x k解：由 可知 是偶函数()(fxf()fx于是 对任意 成立等价于 对任意 成立0R()0fx0x由 得 ()exfk lnk当 时， 1， ()e1()xf x此时 在 上单调递增()fx0，故 ，符合题意当 时， (1)k， ln0k当 变化时 的变化情况如下表：x(fx， l
9、)k， lnk(ln)k，()fx0单调递减 极小值 单调递增由此可得，在 上， 0)， ()ln)lfxfkk依题意， ，又 lnk1ek，综合，得，实数 的取值范围是 0例 8已知 P：2 x2-9x+a 0,q： 且 p是 q的充分条件,求实24368x数 a的取值范围.析：B A ，即 A中的不等式对于 B中的 恒成立xBx解：由 q： 得 q:2x3243068设 A= p= 2x 2-9x+a0 ，B= q= 2x3xxxxp q, q p B A 即 2x3满足不等式 2x 2-9x+a0 2x3 满足不等式 a9x-2x 2当 2x3时，9x-2x 2=-2(x2- x+ -
10、) =-2(x- )2+9168498199x-2x2 a981评：以上三例均是将它们转化为不等式恒成立问题。等价转化就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这将有利于强化解决数学问题的应变能力，提高思维能力和解决数学问题的技能、技巧。四、数形结合法根据恒成立不等式的特点，通过挖掘几何图形含意，利用函数图象的高低位置关系找出参数的变化范围.例 9不等式 ax 在 x0,3内恒成立，求 a 的变化范围.)4(解：画
11、出两个函数 y=ax 与 y= 的图象.（如图）)4(将 x=3 代入 ax= ,得 a=)4(x3a 3,例 10若 对一切 都成立，则 k的取值范围是211()2xk01x_析：构造两个函数 ，半圆 应全在直线2,()2yxyk21yx的下方， ，其中直线 过点（0，1）斜率为 2，直线 与1()2ykxL2L相切斜率为 ，画图易得：0)324314k评：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：“数形本
12、是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休 ;几何代数统一体,永远联系莫分离” 。五、 “能成立”与“恒成立”的问题“能成立”与“恒成立”的问题分属于“存在性命题”和“全称命题”的范畴，应区别对待。例 11若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范x32ax a围是 析：“关于 的不等式 的解集不是空集，等价于2有解，则 ”与“关于 的不等式230xa2min(3)0xax的解集是 ，等价于 恒成立，则Rx”不同，应加以体会。2ma()x解：设 .则关于 的不等式 的解集不是空集axf2x32ax在 上能成立 ,3x, minf即 解得 或
13、,342minf 6a2评：不等式能成立问题的处理策略:1、若 f(x)a 对 xD 能成立，只须 f(x)max(xD)a 即可。2、若 f(x)a 对 xD 能成立，只须 f(x)min(xD)a 即可例 12若存在 a1，3，使得不等式 ax2+(a2)x20 成立，则实数 x的取值范围是 .析：一方面要进行主次元的转换，把不等式 ax2+(a2)x20 看成关于 的a不等式，另一方面利用不等式能成立的条件求实数 x的取值范围。解：令 可看成关于 的一元一次函数，22()()()faxx存在 a1，3，使得不等式 ax2+(a2)x20 成立的条件为 max()0f只须 ， ，min()
14、0()0manff或 (1)(3)ff或即 ，则223xx或 x或综上所述：不等式恒成立问题的处理策略是：1、若 f(x)a 对 xD 恒成立，只须 f(x)min(xD)a 即可。2、若 f(x)a 对 xD 恒成立，只须 f(x)max(xD)a 即可。不等式能成立问题的处理策略是1、若 f(x)a 对 xD 能成立，只须 f(x)max(xD)a 即可。2、若 f(x)a 对 xD 能成立，只须 f(x)min(xD)a 即可。解题的关键是求函数最值，方法有直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等。复习数学过程中，要充分挖掘数学教材的教育因素，把教学中的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等基本的“元”思想提高到自觉运用的层面。关注解题的严密性、规范性、完整性，着眼于解题的通性通法，提高学生的数学素养，这就是 2008年江苏高考数学试题给我们的有益启示。
