1、1第 2 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理(重点)2会应用两个计数原理解决简单的实际问题(难点)基础初探教材整理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材 P3“例 1”和 P4“例 2”部分，完成下列问题两个计数原理的联系与区别：原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理相同点 把一个原始事件_事件来完成与分类有关 与分步有关每类方法都能_这件事，它们是相互_的，且每一次得到的都是最后结果，只需_方法就可以完成这件事每一步得到的只是_结果，任何一步都不可能_这件事，缺少_都不可能完成这件事，只有_都完成了，才能完成这件事不同点
2、各类方法之间是互斥的，并列的，独立的各步之间是有关联的，不独立的【答案】 分解成若干个 完成 独立 一种 中间 独立地完成 任何一步 各个步骤1由 1,2,3,4 组成没有重复数字的三位数的个数为_【解析】 由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为 43224.2【答案】 242( a1 a2 a3)(b1 b2 b3)(c1 c2 c3 c4)展开后共有_项【解析】 该展开式中每一项的因式分别来自a1 a2 a3， b1 b2 b3， c1 c2 c3 c4中的各一项由 a1， a2， a3中取一项共 3 种取法，从 b1， b2， b3中取一项有 3 种不同取法，从 c1， c2， c
3、3， c4中任取一项共 4 种不同的取法由分步乘法计数原理知，该展开式共 33436(项)【答案】 3635 名班委进行分工，其中 A 不适合当班长， B 只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为_【解析】 根据题意， B 只适合当学习委员，有 1 种情况， A 不适合当班长，也不能当学习委员，有 3 种安排方法，剩余的 3 人担任剩余的工作，有 3216 种情况，由分步乘法计数原理，可得共有 13618 种分工方案【答案】 184用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有_个【解析】 分三步完成，第 1 步，确定哪一个数字被使用 2
4、次，有 3 种方法；第 2 步，把这 2 个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有 3 种方法；第 3 步，将余下的 2个数字排在四位数余下的两个位置上，有 2 种方法故有 33218 个不同的四位数【答案】 18质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 小组合作型抽取(分配)问题(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A16 种 B18 种 C37 种 D48 种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，
5、则不3同取法的种数有_【精彩点拨】 (1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽【自主解答】 (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有 43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有 33种不同的分配方案则满足条件的不同的分配方案有 433 337(种)故选 C.(2)不妨由甲先来取，共 3 种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共 3 种取法，余下来的人，都只有 1 种选择，所以不同取法共有 33119(种)【答案】 (1)C (2)9求解抽取(分配)问题的方法1当涉及对象数目不大时，一般选
6、用枚举法、树状图法、框图法或者图表法2当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可再练一题13 个不同的小球放入 5 个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】 法一 (以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有 5 种选择；第二步：放第二个小球有 4 种选择；第三步：放第三个小球有 3 种选择根据分步乘法计数原理得：共有方法数 N54360.法二 (以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5，分成以下 10 类：第一类：空盒子标号
7、为(1,2)，选法有 3216(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)，选法有 3216(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)，选法有 3216(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 类，每一类都有 6 种方法4根据分类加法计数原理得，共有方法数 N66660(种)组数问题用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码(2)四位整数【精彩点拨】 (1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0 不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解【自主解答】 (1)分步解决
8、第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 6 种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 5 种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 4 种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 3 种选取方法由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6543360(个)(2)分步解决第一步：首位数字有 5 种选取方法；第二步：百位数字有 5 种选取方法；第三步：十位数字有 4 种选取方法；第四步：个位数字有 3 种选取方法由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5543300(个)1对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)
9、优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解2解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则再练一题2由 0,1,2,3 这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？5【解】 (1)0 不能做百位数字，所以百位数字有 3 种选择，十位数字有 3 种选择，个位数字有 2 种选择，所以无重复数字的三位数共有 33218(个)(2)百位数字有 3 种选择，十位数字有 4 种选择，个位数字也有 4 种选择由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有 34448(个)探究共研型涂色问题探
10、究 1 用 3 种不同颜色填涂图中 A， B， C， D 四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？A B C D图 114【提示】 涂 A 区有 3 种涂法， B， C， D 区域各有 2 种不同的涂法，由分步乘法计数原理将 A， B， C， D 四个区域涂色共有 322224(种)不同方案探究 2 在探究 1 中，若恰好用 3 种不同颜色涂 A， B， C， D 四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？【提示】 恰用 3 种不同颜色涂四个区域，则 A， C 区域，或 A， D 区域，或 B， D 区域必同色由加法计数原理可得
11、恰用 3 种不同颜色涂四个区域共32132132118(种)不同的方案探究 3 在探究 1 中，若恰好用 2 种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？【提示】 若恰好用 2 种不同颜色涂四个区域，则 A， C 区域必同色，且 B， D 区域必同色先从 3 种不同颜色中任取两种颜色，共 3 种不同的取法，然后用所取的 2 种颜色涂四个区域共 2 种不同的涂法由分步乘法计数原理可得恰好用 2 种不同颜色涂四个区域共有 326(种)不同的涂色方案将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图 115 所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？图 11
12、5【精彩点拨】 给图中区域标上记号 A， B， C， D， E，则 A 区域有 4 种不同的涂色方法， B 区域有 3 种， C 区域有 2 种， D 区域有 2 种，但 E 区域的涂色取决于 B 与 D 涂的颜色，如果 B 与 D 颜色相同有 2 种，如果不相同，那么只有 1 种因此应先分类后分步6【自主解答】 法一：给图中区域标上记号 A， B， C， D， E，如图所示当 B 与 D 同色时，有 4321248 种当 B 与 D 不同色时，有 4321124 种故共有 482472 种不同的涂色方法法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用 4 种颜色：此时 B， D 区域或 A，
13、E 区域同色，则共有 2432148种不同涂法第二类，用 3 种颜色：此时 B， D 同色， A， E 同色，先从 4 种颜色中取 3 种，再涂色，共 432124 种不同涂法由分类加法计数原理共 482472 种不同涂法求解涂色 种植 问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：1 按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；2 以颜色 种植作物 为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；3 对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.再练一题3如图 116 所示的几何体是由一个正三棱锥 PABC 与正三棱柱 ABCA1B1C1组合而成的，
14、现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_种图 116【解析】 先涂三棱锥 PABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有 321212 种不同的涂法【答案】 12构建体系71已知 x1,2,3,4， y5,6,7,8，则 xy 可表示不同值的个数为( )A2 B4 C8 D15【解析】 x 的取值共有 4 个， y 的取值也有 4 个，则 xy 共有 4416 个积，但是由于 3846，所以 xy 共有 16115(个)不同值，故选 D.【答案】 D2某年级要从 3 名男生，2 名女生中选派 3
15、 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1名女生，那么不同的选派方案有( ) 【导学号：62690004】A6 种 B7 种 C8 种 D9 种【解析】 可按女生人数分类：若选派一名女生，有 236 种；若选派 2 名女生，则有 3 种由分类加法计数原理，共有 9 种不同的选派方法【答案】 D33 名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有_种【解析】 每名同学都有 4 种不同的报名方案，共有 44464 种不同的方法【答案】 644圆周上有 2n 个等分点( n 大于 2)，任取 3 点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为_【解析】 先在圆周上找一点
16、，因为有 2n 个等分点，所以应有 n 条直径，不过该点的直径应有 n1 条，这 n1 条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成 n1 个直角三角形，而这样的点有 2n 个，所以一共有 2n(n1)个符合题意的直角三角形【答案】 2 n(n1)5.用 6 种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图 117 所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔问：该板报有多少种书写方案？8图 117【解】 第一步，选英语角用的彩色粉笔，有 6 种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有 5 种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都
17、不能相同，有 4 种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有 5 种不同的选法，共有6545600 种不同的书写方案我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题15 名同学去听同时进行的 4 个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是( )A5 4 B4 5C5432 D54【解析】 5 名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有 4 种选择，由分步乘法计数原理知共有 444444 5种选择【答案】 B92已知集合 M1，2,3， N4,5,6,7
18、，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )A18 B17C16 D10【解析】 分两类第一类： M 中的元素作横坐标， N 中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有339(个)；第二类： N 中的元素作横坐标， M 中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有428(个)由分类加法计数原理，共有 9817(个)点在第一、二象限【答案】 B3用 0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252C261 D279【解析】 用 0,1，9 共能组成 91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有
19、 998648(个)，所以有重复数字的三位数有 900648252(个)【答案】 B4.将 1,2,3，9 这 9 个数字填在如图 118 的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )3 4图 118A6 种 B12 种C18 种 D24 种【解析】 因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9 只有一种填法，5 只能填在右上角或左下角，5 填好后与之相邻的空格可填 6,7,8 任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法共有 236 种结果，故选 A.【答案】 A5体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1
20、,2,3 的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有( ) 【导学号：62690005】A8 种 B10 种C12 种 D16 种【解析】 首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个10足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有 1 种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1 和 2，这两份在三个位置，有 326 种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有 3 种结果综上可知共有 16310 种结果【答案】 B二、填空题6小张正在玩“QQ 农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这 5 种种子中选出 4
21、种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有_种【解析】 当第一块地种茄子时，有 43224 种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有 43224 种不同的种法，故共有 48 种不同的种植方案【答案】 487从集合0,1,2,3,5,7,11中任取 3 个不同元素分别作为直线方程 Ax By C0 中的 A， B， C，所得直线经过坐标原点的有_条【解析】 因为过原点的直线常数项为 0，所以 C0，从集合中的 6 个非零元素中任取一个作为系数 A，有 6 种方法，再从其余的 5 个元素中任取一个作为系数 B，有 5 种方法，
22、由分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有 16530(条)【答案】 308甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有_种【解析】 分三类：若甲在周一，则乙丙有 4312 种排法；若甲在周二，则乙丙有 326 种排法；若甲在周三，则乙丙有 212 种排法所以不同的安排方法共有 126220 种【答案】 20三、解答题9如图 119 所示，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同的涂色方法共有多少种(用数字作答)图 119
