1、二 00 九年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1、解：在 A 中，取 ，则 ；取 ，则 ，从而 不是偶函数；4x1y4x1yy在 B 中， ，它不是偶函数；ysin2在 C 中， ，它的最小正周期为 ；co在 D 中， ，符合条件故答案选 Dxy4s2、解：符合条件的概率为 故答案选 A1283573、解：由已知 的函数为 ，其在 处的切线的斜率为 ，2Fyxm（ ） 1x、mk12因为 在 处的切线的斜率为 ，所以 ，解1x1()k2、m得 故答案选 D45m4、解：因为 ，于是1112 nnn aa，nnnnaa123故 是以 3
2、 为周期的周期数列.又 ， ， ，从而n 21a13a13P所以， 故答案选 B269209P）（5、解：若 ，显然方程组仅有一组解（0，0） ，故 符合条件；k 0k若 ，则 的图象是一个以 为圆心，以 为半径22kyx),( |2kr的圆，而 表示直线y由题设条件知 ，即 ，解得 |21|2kk214k1综上所述，符合条件的实数 共有 3 个故答案选 C6、解：一方面，若 P 成立，则 ，故 ，即acb2)(acb2acb同理： ，2bca2ca所以， ，即 Q 成立)(2另一方面，若 Q 成立，取 ，这时以 为长度的线段不能构2,1accba,成三角形的三边，即 P 不成立综上所述，P
3、是 Q 的充分但不必要条件故选 A二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）7、解：由条件知 ，则 ，2,1cos4x从而 |3|)(xxf当 时， ，此时最大值为 3；32xf 5|)(当 时， ，此时最大值为 54x 73|21x综上所述， 在 时取到最大值 5)(f8、解：取 ，得 ；取 ，得1xnia201xniia20)1(4从而 ， ,于是 故答案填24nnT24nR42lmlinnRT19、解：设 ，则 为直角三角形，其面积为 53cba、ABC6ABCS记点 到三边 的距离分别为 ，则Pcbah、 12cbah故 5604)3(13ccbacbahh等号当且仅当 ，即 ，2cb
4、a PCABPASS亦即 为 的重心时取得故答案填 PABC15610、解：如图， 将 沿 为轴旋转至与平面1共面，得 ，1ABC2则 ，故 3521PBAP B 2PB1C1D1A1 DCBA2513cos26262 ）（AB等号当且仅当 为 与 的交点时取得P1BC故答案填 511、解：因为 ， ，12|xABA故 在 上恒成立02tx,又 ，而 时1x2,51x所以 ，即 t2545所以，实数 的取值范围是 故答案填 ,(4,(12、解：经过任何一个交点的两条线段的 4 个端点，两个在 上，两个在 上，以它们为1l2l顶点，构成一个四边形，这个交点就是四边形对角线的交点所以，任何一个交点
5、与两个顶点在 上，两个顶点在 上的四边形一一对应所以，所求的交点个数共有1l2l故答案填 45045025C三、解答题（本题满分 80 分，每小题 20 分）13、解：由 的定义域知 )(xf32x解 得 3231解 得x5所以有 5 分1因为 是奇函数，得 10 分)(f )2()()2( xfxfxf 又因为 在定义域内单减，故 x解得 或 15 分 1由、得 ，即实数 的取值范围为 20 分32x3,2(14、证法一：连结 和 ， BCAD、则 5 分PBASPC_O_E_P_D_C_B_A ，PACDB ，2SPAD2BCSPD 10 分 B C2又 ， AEDBEDA , 15 分B
6、C故由、得 20 分P证法二：（同证法一前） BDCAPDC2又 15 分ADBCBEABEA SSSE 而 ，180Csinsi DCDsin由、知 20 分EP15、解：（I）如图，由已知 ，即 ，452e2ac故 从而 ，故254ca2251ccb215cab设 ，则 5 分BOFA2tan故 ，即34t12ttan34|OAB令 ，则 ， ，满足 ，)0(3|mAmAB|5| |2|AB所以， 依次成等差数列 10 分|OBA、（II）由已知 ，代入，得 1,422ba，52c于是双曲线的方程为 142yx设直线 的斜率为 ，则ABk 2cottantaAFOBX于是直线 的方程为：
7、15)5(x分联立 ，消 ，得 ，14)5(2yxy084321x故弦 的长度 20 分CD 34158)(51|22 k16、证法一：由条件知 ，故 5 分2239acba3又由 知 10 分0)(22c、 229acb故只须证 ，1（1）当 ，即 时，结论显然成立；3a3a（2）当 ，即 时，只须证 0224)13()9(aa即证 0169246aa因为 592 246a15 分)()3()1( 222又 时，有3a 02,3,01,222 aa所以， 20 分692246证法二：由条件知 ，故 5 分223acba3又由 知 10 分0)(22abc、 2229acba只须证 139（1
8、）当 ，即 时，结论显然成立；3（2）当 ，即 时，只须证 0a3a 224)13()9(aa即须证 0169246记 )(aaf因为 83125 )3(6)(23a当 时，有3a0,2aa故当 时 ，10)(f因此 在 时单调递减 ， 15 分)(af3所以， ，即（*）成立 20 分013692)1(246ff16、设正实数 ，满足 ，且 cba,cb922cba证明： 3证明：由条件知 ，故 522393分又由 知 10 分0)(22abc、 2229acba只须证 319（1）若 ，则 ，从而0497222于是 22)( aaa所以， 15 分3192（2）若 ，则只须证 11329即证 01692246aa又因为 59246a，结论成立 20 分)()3()1( 222
