1、第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二),一,二,三,思维辨析,一、正弦函数与余弦函数的单调性 问题思考 1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?类似地,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?怎样整合这些区间?,一,二,三,思维辨析,(2)余弦函数y=cos x在区间-+2k,2k(kZ)上单调递增;在区间2k,+2k(kZ)上单调递减.,一,二,三,思维辨析,3.做一做:(1)函数y=sin 2x-1的单调递增区间是 ; (2)函数y=3-cos 2x的单调递增区间是 .,一,二,三,思维辨析,二、正弦函数与余弦函数的最
2、值和值域 问题思考 1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sin x取得最大值和最小值?余弦函数呢?,一,二,三,思维辨析,(2)余弦函数y=cos x当且仅当x=2k(kZ)时取最大值1;当且仅当x=2k+(kZ)时取最小值-1. (3)正弦函数y=sin x、余弦函数y=cos x的值域都是-1,1.,解析(1)因为y=sin x的最大值为1,所以y=2-3sin x的最小值是-1.,答案(1)-1 (2)4k(kZ),一,二,三,思维辨析,三、正弦函数与余弦函数的对称性 问题思考 1.观察正
3、弦曲线与余弦曲线,正弦曲线除了关于原点对称外,是否还关于其他的点和直线对称?余弦曲线除了关于y轴对称外,是否还关于其他的点和直线对称?,一,二,三,思维辨析,2.填空:(1),(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴都经过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,亦即函数y=sin x(y=cos x)的最值点;正弦曲线(余弦曲线)的对称中心都经过正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点,亦即函数y=sin x(y=cos x)的零点.,一,二,三,思维辨析,答案(1)D (2)C,一,二,三,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,答案(1) (2) (3) (4) (5)
4、 (6) (7) (8),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,求三角函数的单调区间 【例1】 求下列函数的单调递减区间:,分析(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧: (1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间; (2)确定函数y=Asin(x+)(A0,0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将x+看作一个整体,可令“z=x+”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单
5、调区间.若0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,单调性在三角函数中的应用 角度1 利用单调性比较三角函数值的大小 【例2】 比较下列各组数的大小: (1)sin 220与sin 230;,分析观察各角,利用诱导公式,先将异名三角函数化为同名三角函数,非同一单调区间上的角化为统一单调区间上的角,再根据单调性比较大小.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,角度2 已知三角函数的单调情况求参问题,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,答案D,探究一,探究二,探
6、究三,探究四,思维辨析,比较三角函数值大小的方法 (1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值; (2)不同名的函数化为同名函数; (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,三角函数的值域(或最值)问题 角度1 利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值) 【例4】 求下列函数的值域:,(2)y=|sin x|+sin x. 分析利用正弦函数的有界性和单调性来求解.(1)由x的取值范围,确定2x+ 的取值范围,再由正弦函数的单调性求解;(2)先去绝对值符号,再求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,
7、探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,角度2 化为f(sin x)或g(cos x)型的函数求值域(或最值) 【例5】 求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,角度3 分离常数法求值域(或最值),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路 1.求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1sin x1)求解. 2.对于形如y=Asin(x+)+k(A0)的函数
8、,当定义域为R时,值域为-|A|+k,|A|+k;当定义域为某个给定的区间时,需确定x+的范围,结合函数的单调性确定值域. 3.求形如y=asin2x+bsin x+c,a0,xR的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,4.求形如 ,ac0的函数的值域,可以用分离常量法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y. 综上可知,求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有:(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解; (2)转化为关
9、于sin x的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时,要考虑三角函数的周期性.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,三角函数奇偶性与对称性问题,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,答案(1)B (2)A,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4(1)下列函数中是偶函数的是( ) A.y=sin 2x B.y=-sin x C.y=sin|x| D.y=sin x+1,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析(1)A,B是奇函
10、数,D是非奇非偶函数,C符合f(-x)=sin|-x|=sin|x| =f(x),y=sin|x|是偶函数. (2)本题很容易先求值再去求对称中心,其实本题所要强调的是正弦函数与余弦函数的性质之间的关系.不难发现,对于函数y=sin(x+)和y=cos(x+),正弦函数的对称轴与x轴交点的横坐标便是余弦函数的对称中心的横坐标,反之,正弦函数的对称中心的横坐标是余弦函数的对称轴与x轴交点的横坐标.于是本题中y=cos(2x+)的图象关于点( ,0)对称. 答案(1)C (2)A,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,形如y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意对A分A0和A0两种情况进行分类讨论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解决与三角函数有关的复合函数问题时,讨论函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则,尤其是当与对数函数、幂函数等进行复合时,要格外引起注意.,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
