1、第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。解：已知理想气体的物态方程为（1）,pVnRT由此易得（2）11,p（3）,VnRT（4）2111.TTTpp1.2 证明任何一种具有两个独立参量 的物质，其物态方程可,T由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：lnTV=dp如果 ，试求物态方程。1,Tp解：以 为自变量，物质的物态方程为, ,VTp其全微分为（1）.pTdd全式除以 ，有V11.pTdVddpT根据体胀系数 和等温压缩系数 的定义，可将上式改写为T（2）.dVdp上式是以 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有,T
2、p（3）ln.T若 ，式（3）可表为1,Tp（4）1ln.VdTp选择图示的积分路线，从 积分到 ，再积分到（ ） ，0(,)0, ,Tp相应地体积由 最终变到 ，有0V00ln=ln,VTp即（常量） ，0pCT或（5）.pV式（5）就是由所给 求得的物态方程。 确定常量 C 需1,Tp要进一步的实验数据。1.3 在 和 1 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数0Cn分别为 可近似看作常量，今使5714.8K.80.npT和 T和铜块加热至 。问：（a）压强要增加多少 才能使铜块的体积维持不变？（b）若n压强增加 100 ，铜块的体积改变多少？np解：（a）根据 1.2 题式（2） ，有（
3、1）.TdVdp上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差 ，温度差 和压dVdT强差 之间的关系。如果系统的体积不变， 与 的关系为dp T（2）.Tdp在 和 可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得T（3）2121.Tp将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3） 。 但是应当强调，只要初态 和终态 是平衡态，两态间的压强差和温度差就满1,VT2,V足式（3） 。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度
4、可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3） 。将所给数据代入，可得 52174.80162.npp因此，将铜块由 加热到 ，要使铜块体积保持不变，压强要增0C强 62np（b）1.2 题式（4）可改写为（4）21211 .TVp将所给数据代入，有 5714.80.807.V因此，将铜块由 加热至 ，压强由 增加 ，铜块体积将0C1npn增加原体积的 倍。4.11.4 简单固体和液体的体胀系数 和等温压缩系数 数值都很T小，在一定温度范围内可以把 和 看作常量. 试证明简单固体和T液体的物态方程可近似为 00(,),1.TVTpp解:
5、 以 为状态参量，物质的物态方程为, ,.VTp根据习题 1.2 式（2） ，有（1）.Tdd将上式沿习题 1.2 图所示的路线求线积分，在 和 可以看作常量T的情形下，有（2）000ln,TVp或（3）000,.TpVTpe考虑到 和 的数值很小，将指数函数展开，准确到 和 的线性 T项，有（4）000,1.TTpp如果取 ，即有0（5）00,1.TVTpp1.5 描述金属丝的几何参量是长度 ，力学参量是张力 J，物态L方程是 ,0fJT实验通常在 1 下进行，其体积变化可以忽略。np线胀系数定义为 1JLT等温杨氏模量定义为 TYAL其中 是金属丝的截面积，一般来说， 和 是 T 的函数，
6、对 JAY仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 降至 时，其张力的增加12为 21JYAT解：由物态方程（1）,0fL知偏导数间存在以下关系：（2）1.JLTT所以，有（3）.LJTAY积分得（4）21.JYAT与 1.3 题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差 21,JLTJ就满足式（4） ，与经历的过程无关。1.6 一理想弹性线的物态方程为 20,LJbT其中 是长度， 是张力 J 为零时的 L 值，它只是温度 T 的函数，bL0是常量. 试证明：（a）等温扬氏模量为 20.b
7、TYAL在张力为零时， 其中 A 是弹性线的截面面积。03.（b）线胀系数为 3031,2LT其中 001.dLT（c）上述物态方程适用于橡皮带，设 313K,1.0NK,Tb，试计算当 分别为 和 时的6240m5A0L.5,10.2.值，并画出 对 的曲线.,JY,JY0解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为（1）20,LJbT由此可得等温杨氏模量为（2）2001.TLLLJbTYbAA张力为零时， 03,.L（b）线胀系数的定义为 1.JLT由链式关系知（3）1,LTJ而 2002203,1,LT LdJbbT所以 2 30020330 111.12LLdLbbTT（4）（c）根据
8、题给的数据，对 的曲线分别如图 1-,JY0L2（a） ， （b） ， （c）所示。1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强 时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外0p界交换热量之前，它的内能 与原来在大气中的内能 之差为U0U，其中 是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，0UV0求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能 与其原来在大气中的内能 由式（1.5.3）0（1）UWQ确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，过程中外界对系统所做的功可以分为 和 两部分来考虑。0.Q 12W一方面，大气将系统压入小匣，
9、使其在大气中的体积由 变为零。0V由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强 可以认为没p有变化，即过程是等压的（但不是准静态的） 。过程中大气对系统所做的功为 100.WpV另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则 2.因此式（1）可表为（2）0.UpV如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10） ，有（3）0,pVnRT（4）0 0()()1UC式中 是系统所含物质的量。代入式（2）即有n（5）0.T活门是在系统的压强达到 时关上的，所以气体在小匣内的压强也p可看作 ，其物态方程为0p（6）00.VnR与式（3）比较，知（7
10、）0.1.8 满足 的过程称为多方过程，其中常数 名为多方指npVCn数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量 为nC1nV解：根据式（1.6.1） ，多方过程中的热容量（1）0lim.nTnnnQUCpT对于理想气体，内能 U 只是温度 T 的函数， ,VnC所以（2）.nVnCpT将多方过程的过程方程式 与理想气体的物态方程联立，消去压强 可得p（常量） 。 （3）1nTV将上式微分，有 12()0,nndVTd所以（4）.(1)nVT代入式（2） ，即得（5）,(1)nVVpCCn其中用了式（1.7.8）和（1.7.9） 。1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量 如果是常数，n该过
11、程一定是多方过程，多方指数 。假设气体的定压热容npVC量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有（1）.dUQW对于准静态过程有 ,pdV对理想气体有 ,VCT气体在过程中吸收的热量为 ,nQd因此式（1）可表为（2）().nVCTp用理想气体的物态方程 除上式，并注意 可得pvR,pVCvR（3）()().nVpVdd将理想气体的物态方程全式求微分，有（4）.Tp式（3）与式（4）联立，消去 ，有d（5）()()0.nVnpVCC令 ，可将式（5）表为npVC（6）0.dpVn如果 和 都是常量，将上式积分即得,pVCn（常量） 。 （7）npC式（7）表明，过程是多方过程。1.10
12、 声波在气体中的传播速度为 sp假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能 和焓 可由声速及 给出：uh21aauh 200,-1其中 为常量。0,uh解：根据式（1.8.9） ，声速 的平方为a（1）2v,p其中 v 是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为 ,mVRT式中 是气体的质量， 是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体，m有（2）1v,pT代入式（1）得（3）2.aRm以 表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓） 。 由,uh式（1.7.10）（1.7.12）知 0,1Tuu（4）0.1RTmhh将式（3）代入，即有 20,(1)auu（5
13、）20.h式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和即可确定气体的比内能和比焓。1.11 大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温度随高度的变化率 ，并给出数值结果。dTz解：取 轴沿竖直方向（向上） 。以 和 分别表示在竖z ()pz)dz直高度为 和 处的大气压强。 二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即（1）()(,pzdzgz式中 是高度为 处的大气密度， 是重力加速度。 将展开，有()pzd()(),pzdzd
14、代入式（1） ，得（2）().zg式（2）给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。以 表大气的平均摩尔质量。 在高度为 处，大气的摩尔体积m z为 ，则物态方程为()z（3）()(),mpzRTz是竖直高度为 处的温度。 代入式（2） ，消去 得()Tz ()z（4）()().dgpzpzRT由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为（5）1.Sp综合式（4）和式（5） ，有（6）1() .SdTdmgzzpR大气的 （大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子） ，平均1.4摩尔质量为 ，代入式（6）得312290kgol,9.8sm（7）1KkdTz式（7）表明，每升高
15、 1km，温度降低 10K。 这结果是粗略的。由于各种没有考虑的因素，实际每升高 1km，大气温度降低 6K 左右。1.12 假设理想气体的 是温度的函数，试求在准静态pVC和 之 比绝热过程中 的关系，该关系式中要用到一个函数 ，其表达TV和 FT式为 ln()1dTF解：根据式（1.8.1） ，理想气体在准静态绝热过程中满足（1）0.VCdTp用物态方程 除上式，第一项用 除，第二项用 除，可pnRnRTpV得（2）0.VT利用式（1.7.8）和（1.7.9） ，,pVCnR可将式（2）改定为（3）10.dTV将上式积分，如果 是温度的函数，定义（4）1ln(),dFT可得（常量） ， （
16、5）1l()lVC或（常量） 。 （6）()FT式（6）给出当 是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中 T和 V 的关系。1.13 利用上题的结果证明：当 为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为 21.T解：在 是温度的函数的情形下，1.9 就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）（1.9.6）仍然成立，即仍有（1）211ln,VQRT（2）324l,（3）321214lnl.VWQRT根据 1.13 题式（6） ，对于1.9 中的准静态绝热过程（二）和（四） ，有（4）123()(),FTV（5）41从这两个方程消去 和 ，得1()2()（6）314,V故（7）211()ln,WRT
17、所以在 是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为（8）211.QT1.14 试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在 图中两条绝热线交于 点，如图所示。设想一pVC等温线与两条绝热线分别交于 点和 点（因为等温线的斜率小于绝热线的AB斜率，这样的等温线总是存在的） ，则在循环过程 中，系统在ABC等温过程 中从外界吸取热量 ，而在循环过程中对外做功 ，其BQW数值等于三条线所围面积（正值） 。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有。W这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因
18、此两条绝热线不可能相交。1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为 ，在热机向其放出热量的热源1T中，热源的最低温度为 ，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过2T 21.T解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4） ） ，有（1）0,iQT式中 是热机从温度为 的热源吸取的热量（吸热 为正，放热iQi iQ为负） 。 将热量重新定义，可将式（1）改写为i（2）0,jkT式中 是热机从热源 吸取的热量， 是热机在热源 放出的热量，j j kkT， 恒正。 将式（2）改写为jQk（3）.jkQT假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为 ，在热
19、机1T向其放出热量的热源中，热源的最低温度为 ，必有212,jjkkQT故由式（3）得（4）12.jkQT定义 为热机在过程中吸取的总热量， 为热机放出1jQ 2kQ的总热量，则式（4）可表为（5）12,QT或（6）21.根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为12.WQ热机的效率为（7）2211.T1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由 升至 。1T2假设 是常数，试证明前者的熵增加值为后者的 倍。 解：根据式（1.15.8） ，理想气体的熵函数可表达为（1）0lnl.pSCTRS在等压过程中温度由 升到 时，熵增加值 为12p（2）1l.p根据式（1.15.8） ，理想气
20、体的熵函数也可表达为（3）0lnl.VSCTRS在等容过程中温度由 升到 时，熵增加值 为12V（4）1l.V所以（5）.pVSC1.17 温度为 的 1kg 水与温度为 的恒温热源接触后，0 10C水温达到 。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。1C欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从 升至0？已知水的比热容为0 14.8JgK.解： 的水与温度为 的恒温热源接触后水温升为 ，0C 10C 10C这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵
21、变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在 与 之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0C1升至 。在这可逆过程中,水的熵变为（1）37 32773ln104.8ln104.6Jk.22ppmcdTS 水水从 升温至 所吸收的总热量 为0C10 Q3 5J.pQc为求热源的熵变，可令热源向温度为 的另一热源放出热量10C。在这可逆过程中，热源的熵变为Q（2）514.180.6JK.37S热 源由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为（3）184J.SS总 水 热 源为使水温从 升至 而参与过程的整个系统的熵保持不变，0C1应令水与
22、温度分布在 与 之间的一系列热源吸热。水的熵变0仍由式（1）给出。这一系列热源的熵变之和为S水（4）37 1234.6JK.pmcdTS热 源参与过程的整个系统的总熵变为（5）0.S总 水 热 源1.18 10A 的电流通过一个 的电阻器，历时 1s。25（a）若电阻器保持为室温 ，试求电阻器的熵增加值。7C（b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为 ，电阻器的27C质量为 10g，比热容 为 问电阻器的熵增加值为多少？pc10.84JgK,解：（a）以 为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下,T进行的，如果电阻器的温度也保持为室温 不变，则电阻器的熵27C作为状态函数也就保持不变。（b）如
23、果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热 将全Q部被电阻器吸收而使其温度由 升为 ，所以有iTf2fi(),pmcRt故 22fi 3105360K48pRtTc电阻器的熵变可参照1.17 例二的方法求出，为fi 231filn10.ln5.8J.0TppmdTSc 1.19 均匀杆的温度一端为 ，另一端为 ，试计算达到均匀温12T度 后的熵增。12T解：以 L 表示杆的长度。杆的初始状态是 端温度为 ，0l2T端温度为 ，温度梯度为 （设 ） 。 这是一个非平衡状l112TL12T态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为12T的许
24、多小段，如图所示。位于 到 的小段，初温为dl ldl（1）122.TL这小段由初温 T 变到终温 后的熵增加值为12T（2）1212ln,lppTTddScclL其中 是均匀杆单位长度的定压热容量。pc根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为 121220121212122221 012121221212lnll lnlnllnllLp LpppppSdTTcldLcTTllLTcLTC .（3）式中 是杆的定压热容量。pcL1.20 一物质固态的摩尔热量为 ，液态的摩尔热容量为 . sClC假设 和 都可看作常量. 在某一压强下，该物质的熔点为 ，相sCl 0T变潜热为 . 求在温度为 时，
25、过冷液体与同温度下固体的0Q10T摩尔熵差. 假设过冷液体的摩尔热容量亦为 .l解: 我们用熵函数的表达式进行计算.以 为状态参量. 在讨,Tp论固定压强下过冷液体与固体的熵差时不必考虑压强参量的变化.以 a 态表示温度为 的固态， b 态表示在熔点 的固态. b, a 两态1T0的摩尔熵差为（略去摩尔熵 的下标 不写）mS（1）0101ln.TsbasCd以 c 态表示在熔点 的液相， c，b 两态的摩尔熵差为0（2）0.cQST以 d 态表示温度为 的过冷液态， d，c 两态的摩尔熵差为1T（3）1010ln.TldcCS熵是态函数，d，c 两态的摩尔熵差 为daS0011lnlndacd
26、basSSQTC（4）001l.sT1.21 物体的初温 ，高于热源的温度 ，有一热机在此物体与1 2T热源之间工作，直到将物体的温度降低到 为止，若热机从物体吸取的热量为 Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为 max21()WQTS其中 是物体的熵减少量。12S解：以 和 分别表示物体、热机和热源在过程前后的,abSc熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为 .abcS由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求（1）0.abc以 分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为12,S（2）21.aS热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即（3）0.bS以
27、 表示热机从物体吸取的热量， 表示热机在热源放出的热量，QQ表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有W,W所以热源的熵变为（4）2.cST将式（2）（4）代入式（1） ，即有（5）2120.QWS上式取等号时，热机输出的功最大，故（6）max212.WQTS式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 。iT今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加2T原理证明，此过程所需的最小功为 2minipiTWC解： 制冷机在具有相同的初始温度 的两个物体之间工作，将i热量从物
28、体 2 送到物体 1,使物体 2 的温度降至 为止。以 表示物2T1体 1 的终态温度， 表示物体的定压热容量，则物体 1 吸取的热量p为（1）11piQCT物体 2 放出的热量为（2）22pi经多次循环后，制冷机接受外界的功为（3）1212piWCT由此可知，对于给定的 和 ， 愈低所需外界的功愈小。i用 和 分别表示过程终了后物体 1，物体 2 和制冷机的12,S3熵变。由熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为（4）1230SS显然 11223ln,0.piiTCS因此熵增加原理要求（5）12ln,piTSC或（6）12,iT对于给定的 和 ，最低的 为iT212,iT代入（3）式即有
29、（7）2minipiWCT式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。1.23 简单系统有两个独立参量。 如果以 为独立参量，可,TS以以纵坐标表示温度 ，横坐标表示熵 ，构成 图。图中的一TS点与系统的一个平衡态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用 图求可逆卡诺S循环的效率。解： 可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。在 TS图上，等温线是平行于 T 轴的直线。 可逆绝热过程是等熵过程，因此在 图上绝热线是平行于 S 轴的直线。 图 1-5 在 图上画TS TS出了可逆卡诺循环的四条直线。（一）等温膨胀过程工作物质经等温膨胀过程（温度为
30、 ）由状态到达状态。 1T由于工作物质在过程中吸收热量，熵由 升为 。吸收的热量为S2（1）121,QTS等于直线下方的面积。1Q（二）绝热膨胀过程工作物质由状态经绝热膨胀过程到达状态。过程中工作物质内能减少并对外做功，其温度由 下降为 ，熵保持为 不变。1T22S（三）等温压缩过程工作物质由状态经等温压缩过程（温度为 ）到达状态。2T工作物质在过程中放出热量，熵由 变为 ，放出的热量为2S1（2）21,QT等于直线下方的面积。2Q（四）绝热压缩过程工作物质由状态经绝热压缩过程回到状态。温度由 升为2T，熵保持为 不变。1T1S在循环过程中工作物质所做的功为（3）12,WQ等于矩形所包围的面积
31、。W可逆卡诺热机的效率为（4）212 21111.TST上面的讨论显示，应用 图计算（可逆）卡诺循环的效率是非常方便的。实际上 图的应用不限于卡诺循环。根据式S（1.14.4）（5）,dQT系统在可逆过程中吸收的热量由积分（6）S给出。如果工作物质经历了如图中 的（可逆）循环过程，则ABCD在过程 ABC中工作物质吸收的热量等于面积 ，在过程 中工作物质放ABCEFDA出的热量等于面积 ，工作物质所做的功等于闭合曲线ADEF所包的面积。 由此可见（可逆）循环过程的热功转换效率可ABCD以直接从 图中的面积读出。 在热工计算中 图被广泛使用。TS TS补充题 1 1mol 理想气体，在 的恒温下
32、体积发生膨胀，其压27C强由 20 准静态地降到 1 ，求气体所作的功和所吸取的热量。npnp解：将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式（1.4.2） ，在准静态等温过程中气体体积由 膨胀到 ，外界对气体所做的功AVB为 lnln.BBAAV AVABpdWpdRTTR气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得 3ln8.310ln27.410J.ABp在等温过程中理想气体的内能不变，即 .U根据热力学第一定律（式（1.5.3） ） ，气体在过程中吸收的热量 为Q37.410J.QW补充题 2 在 下，压强在 0 至 1000 之间，测得水的体积5C np为 36231(18.06.75
33、10.410)cmolVpp如果保持温度不变，将 1mol 的水从 1 加压至 1000 ，求外界所nn作的功。解：将题中给出的体积与压强关系记为（1）2,Vabpc由此易得（2）().dd保持温度不变，将 1mol 的水由 1 加压至 1000 ，外界所做的功npnp为 10231 1(2)()3.Jmol.BBAAVpWdbcdbc在上述计算中我们已将过程近拟看作准静态过程。补充题 3 承前 1.6 题，使弹性体在准静态等温过程中长度由压缩为 ，试计算外界所作的功。0L02解：在准静态过程中弹性体长度有 dL 的改变时，外界所做的功是（1）.dWJL将物态方程代入上式，有（2）20.bTd
34、在等温过程中 是常量，所以在准静态等温过程中将弹性体长度由0L压缩为 时，外界所做的功为0L2（3）0000222205.8LLLWJdbTdbT值得注意，不论将弹性体拉长还是压缩，外界作用力都与位移同向，外界所做的功都是正值。补充题 4 在 和 1 下，空气的密度为 ,空气的定0Cnp31.29kgm压比热容 。今有 的空气，试计算：-96JkgK,.4p37（i）若维持体积不变，将空气由 加热至 所需的热量。0C0（ii）若维持压强不变，将空气由 加热至 所需的热量。2（iii）若容器有裂缝，外界压强为 1 ，使空气由 缓慢地npC加热至 所需的热量。20C解：（a）由题给空气密度可以算
35、得空气的质量 为327m1m1.94.8kgm定容比热容可由所给定压比热容算出 3310.60.76JK.pVc 维持体积不变，将空气由 加热至 所需热量 为C2VQ1135()34.807609J.VQmcT（b）维持压强不变，将空气由 加热至 所需热量 为2Cp12135()34.80960J.pcT（c）若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化。根据理想气体的物态方程 ,mpVRT为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气m体的质量与温度成反比。 以 表示气体在初态的质量和温度，1,表示温度为 T 时气体的质量，有 1,mT所以在过程（c）中所需
36、的热量 为Q2 21 1 211() ln.TTpppTdQcmdcmc将所给数据代入，得 352934.8270.6ln761J补充题 5 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的物体传送到温度较高的物体上去。 如果以逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所做的功的比值。试求热泵的效率。 如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？解：根据卡诺定理，通过逆卡诺循环从温度为 的低温热源吸取2T热量 ，将热量 送到温度为 的高温热源去，外界必须做功2Q11T2.WQ因此如果以逆卡诺循环作为热泵的过程，其效率为（1）11222.TT式中第三步
37、用了 12Q的结果（式（1.12.7）和（1.12.8） ） 。 由式（1）知，效率 恒大于 1。如果 与 相差不大， 可以相当高。不过由于设备的价格和1T2运转的实际效率，这种方法实际上很少使用。将功直接转化为热量（如电热器） ，效率为 1。补充题 6 根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述：从单一热源吸取热量使之完全变成有用的功而不引起其它变化是不可能的。解：如果热力学第二定律的开尔文表述不成立，就可以令一热机在循环过程中从温度为 的单一热源吸取热量 ，将之全部转化为机械TQ功而输出。热机与热源合起来构成一个绝热系统。在循环过程中，热源的熵变为 ，而热机 的 熵 不 变 ， 这 样 绝 热 系 统 的 熵 就 减 少 了 ，QT这 违 背 了 熵 增 加 原 理 ， 是 不 可 能 的
