1、数列的极限一、知识要点1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数列极限的定义：一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限趋近于nnan某个常数 （即|a na| 无限地接近于 0） ，那么就说数列 以 为极限 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j记n作 （注：a 不一定是a n中的项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j）lin2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j几个重要极限：（1） （2） （C 是常数）0linnli（3）1,1,li aan 或不 存 在 ，（4） )()(0lim0110 tsbtsnbnbassss ttt
2、tn 不 存 在3. 数列极限的运算法则:如果 那么,li,liBAannbn)( BAban)(lim奎 屯王 新 敞新 疆nlim 0lin4无穷等比数列的各项和公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和，当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jlinS 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1lim,(0|)naSq二、方法与技巧只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）求数列极限最后往往转
3、化为 或 型的极限.Nmn11qn求极限的常用方法：分子、分母同时除以 或 .mna求和（或积 ）的极限一般先求和（或 积）再求极限.利用已知数列极限（如 等）.01li,0li nqn含参数问题应对 参数进 行分类讨论求极限., ,00, 等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限0题型讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 求下列式子的极限： ； ； ； ; n)(linli123nlim12nli752（2） （ n）;（3） （ + + ） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlim2nli24例 2 的（ ）BA
4、baBbAannn lili,li是A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件例 3 数列a n和b n都是公差不为 0 的等差数列，且 =3,求nbalim的值为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nnbaa21lim例 4 求 （a0);nnli例 5 已知 ,求实数 a,b 的值;1)1(lim2bann例 6 已知等比数列a n的首项为 a1,公比为 q,且有 （ q n）= ,求 a1 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlima12例 7 已知数列a n是由正数构成的数列，a 13，且满足 lganl
5、ga n1 lg c，其中 n 是大于 1 的整数，c 是正数（1）求数列a n的通项公式及前 n 和 Sn；（2）求 的值lim12na数列极限课后检测1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j下列极限正确的个数是（ ） =0（ 0） qn=0 =1 C=C（C 为常数）nlilimnlin32nlimA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j都不正确3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j下列四
6、个命题中正确的是（ ）A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 an2A 2，则 an A B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 an0， anA，则 A0lili liC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 anA，则 an2A 2 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 （a nb）0，则 an bnli limli5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若数列 an的通项公式是 an= ,n=1,2,则 )3()3nnli（a 1+a2+an）等于（ ） A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B
7、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j44749456 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数列a n中, 的极限存在，a 1= ,an+an+1= ,nN*,则 （a 1+a2+an）等于（ 5nli）A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j574547 =_ =_ 头htp:/w.xjkyg
8、com126t:/.jnlin nli32n（1 ） （1 ） （1 ）（1 ） = li3458 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 a、b、c 是实常数，且 =2, =3,则 的值是（ ）nlimcbanlibc2nliac29 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j an中 a1=3，且对任意大于 1 的正整数 n,点（ , ）在直线 xy =0 上，则a13=_nli2)(10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j等比数列 an公比 q= ,且 （a 1+a3+a5+a2n1 ）= ,则 a1=_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
9、2nlim3811 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知数列a n满足（n1）a n+1=（n+1） （a n1）且 a2=6,设 bn=an+n（nN*） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（1）求b n的通项公式；（2）求 （ + + + ）的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlim21b3214bn12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 an、b n都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2 是 a2 与 a3 的等差中项,且 =nlinba,求极限 （ + + ）的值 头htp:/w.xjkygcom126t:
10、/.jnli1ba2nba例题解析答案例 1 分析： 的分子有界，分可以无限增大，因此极限为 0； (1)n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项) 系数之比； 23n 的分子次数小于于分母次数，极限为 0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jlim12解： ； ； ()li0nn2 233lilinn 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlim21lin点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以 n2 后再求极限；（5）因 与 n 都没有极限，可先分子有理化再求2极限；（
11、6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解:（1） = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlim752nli75（2） （ n）= = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnli2lin2li1n（3）原式= = = （1+ ）=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlim264n lim2)1(nli点评：对于（1）要避免下面两种错误：原式= = =1, （2n 2+n+7）, （5n 2+7）不存在，原式无极限 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)75(li
12、2n lili对于（2）要避免出现下面两种错误： （ n）= nlim n=0; 原式= n=不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlimli 2li对于（3）要避免出现原式= + + =0+0+0=0 这样的错误 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnli2nli24n2例 2 B例 3 数列a n和b n都是公差不为 0 的等差数列，且 =3,求nbali的值为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnnbaa21lim解：由 =3d1=3d2 ，nli = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点评：化归思想 头htp:/w.xj
13、kygcom126t:/.jnnbaa21lim 2114)(limdnbn3例 4 求 （a0);nnli解： = 点评：注意分类讨论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnnalim).10(1li ,0),1(1li22aaannn例 5 已知 ,求实数 a,b 的值;1)1(lim2bann解： =1，()li2n a=1,b=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(01ba例 6 已知等比数列a n的首项为 a1,公比为 q,且有 （ q n）= ,求 a1 的取值范围nlia12解: （ q n）= ,nlim12 qn 一定存在 头htp:/w.xjk
14、ygcom126t:/.j0|q|1 或 q=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jli当 q=1 时， 1= ,a 1=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当 0|q |1 时，由 （ q n）= 得 = ,2a 11=q 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnliq10|2a 11| 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j0a 11 且 a1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j综上,得 0a 11 且 a1 或 a1=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 7 已知数列a n是由正数构成的数列，a 13
15、，且满足 lganlga n1 lg c，其中 n 是大于 1 的整数，c 是正数（1）求数列a n的通项公式及前 n 和 Sn；（2）求 的值li12na解:（1）由已知得 an an1 ,a n是以 a13，公比为 c 的等比数列，则 an3 n1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jS n ).0()( ccn 且（2） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlim1nalin31当 c=2 时，原式 ;4当 2 时，原式 ;nlicn3)2(1当 0 2 时，原式= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlim)(321nc点评：求数列极限时要注意分
16、类讨论思想的应用 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j试卷解析1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案:B3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析:排除法，取 an（） n，排除 A；取 an ，排除；取 anb nn，排除 D答案:C5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析:a n= 即 an= ),(23,)(为 偶 数为 奇 数nn ).3,(2为 偶 数为 奇 数na 1+a2+an=（2 1 +23 +25 +）+ （3 2 +34 +36 +） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （a 1+a2+an）=
17、 + = 答案:Cnli 412219.6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析:2（a 1+a2+an）=a 1+（a 1+a2）+ （a 2+a3）+（a 3+a4）+（a n1 +an） +an= + + + +an 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j原式= + + an= （ + + an） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5236556lim150lia n+an+1= , an+ an+1=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j an=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 :C1lilili7 解析
18、:原式= = =0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlim2)(nli= = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnli32nli3解析: n（1 ） （1 ） （1 ）（1 ） lim452n= n = =2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案:C3252nli8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析: 答案:D 由 =2,得 a=2b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlicb由 =3,得 b=3c,c= b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =6 头htp:/w.xjkygcom126t:/
19、.j = = =6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnlimcb23anliac2nli2a9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j析:由题意得 = （n2） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 是公差为 的等差数列， = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jna1n3a3 = +（n1） = n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja n=3n2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j33 = = =3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnli2)(anli2nli310 头htp:/w.xjkygco
20、m126t:/.j析:q= , （a 1+a3+a5+a2n1 ）= = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja 1=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnli 43811 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解:（1）n=1 时，由（n 1）a n+1=（n+1） （a n1）,得 a1=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jn=2 时，a 2=6 代入得 a3=15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j同理 a4=28,再代入 bn=an+n,有 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想 bn=2n2 头htp
21、:/w.xjkygcom126t:/.j要证 bn=2n2,只需证 an=2n2n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当 n=1 时，a 1=2121=1 成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j假设当 n=k 时，a k=2k2k 成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j那么当 n=k+1 时，由（k1）a k+1=（k +1） （a k1）,得 a k+1= （a k1）= （2k 2k 1）= （2k+1） （k1）=（k+1） （2k+1）=2（k+1） 2（k+1） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当 n=k+1 时，a n=
22、2n2n 正确，从而 bn=2n2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2） （ + + ）= （ + + ）lim2b3nli 21n= + + 1nli41)1(= 1 + + = 1+ = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4nli32n4nlim21n8312 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解:a n、b n的公差分别为 d1、d 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2b 2=a2+a3,即 2（2+d 2）= （3+d 1）+（3+2d 1）,2d 23 d1=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 = = = ,即 d2=2d1,nlinli2)(d 1=2,d2=4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j an=a1+（n1） d1=2n+1,bn=b1+（n1）d 2=4n2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j = = （ ） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j原式= （1 ）=nb)4()(2li4n41
