1、第 1 页（共 16 页）初三三角函数试题精选一选择题（共 10 小题）1 （2016安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则ABC 的正切值是（ ）A2 B C D2 （2016乐山）如图，在 RtABC 中，BAC=90，ADBC 于点 D，则下列结论不正确的是（ ）A B C D3 （2016攀枝花）如图，点 D（0，3） ，O （0，0） ，C （4，0）在A 上，BD 是A 的一条弦，则 sinOBD= （ ）A B C D4 （2016西宁）如图，在 ABC 中，B=90，tanC= ，AB=6cm 动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B
2、以 1cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，在运动过程中，PBQ 的最大面积是（ ）A18cm 2 B12cm 2 C9cm 2 D3cm 2第 2 页（共 16 页）5 （2016绵阳）如图， ABC 中 AB=AC=4，C=72 ，D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，DEAB，则 cosA 的值为（ ）A B C D6 （2016福州）如图，以圆 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点，P 是 上一点（不与 A，B 重合） ，连接 OP，设POB= ，则点 P 的坐标是
3、（ ）A （sin，sin） B （cos， cos） C （cos ，sin） D （sin，cos ）7 （2016重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角 是 45，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i=1： ，则大楼 AB 的高度约为（ ） （精确到0.1 米，参考数据： 1.41， 1.73， 2.45）A30.6 B32.1 C37.9 D39.48 （2016苏州）如图，长 4m 的楼梯 AB 的倾斜角ABD 为 60，为了改善楼梯的安全性能，准备重
4、新建造楼梯，使其倾斜角ACD 为 45，则调整后的楼梯 AC 的长为（ ）A2 m B2 m C （2 2）m D （2 2）m第 3 页（共 16 页）9 （2016重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树 CD 的高度约为（参考数据：sin36 0.59，cos36 0.81，tan360.73） （ ）A8.1 米 B17.2 米 C19.7
5、米 D25.5 米10 （2015扬州）如图，若锐角ABC 内接于O ，点 D 在O 外（与点 C 在 AB 同侧） ，则下列三个结论：sin CsinD；cos C cos D ； tanC tanD 中，正确的结论为（ ）A B C D二填空题（共 4 小题）11 （2016枣庄）如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接AC，BD，若 AC=2，则 tanD= 12 （2016新疆）如图，测量河宽 AB（假设河的两岸平行） ，在 C 点测得ACB=30 ，D点测得ADB=60，又 CD=60m，则河宽 AB 为 m（结果保留根号） 13 （2016舟山）如图
6、，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为（1 ，0 ） ，ABO=30，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿OBA 的边按 OBAO 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 PQ= ，那么当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为 第 4 页（共 16 页）14 （2016岳阳）如图，一山坡的坡度为 i=1： ，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了200 米到达点 B，则小辰上升了 米三解答题（共 1 小题）15 （2016厦门）如图，在四边形 ABCD 中，BCD 是钝角，AB=AD，BD 平分ABC，若 CD=3，BD= ，
7、sin DBC= ，求对角线 AC 的长第 5 页（共 16 页）初三三角函数试题精选参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1 （2016安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则ABC 的正切值是（ ）A2 B C D【分析】根据勾股定理，可得 AC、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案【解答】解：如图： ，由勾股定理，得AC= ，AB=2 ，BC= ，ABC 为直角三角形，tanB= = ，故选：D【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出 AC、AB 的长，再求正切函数2 （2016乐山）如图，在 RtABC 中，BAC=90，ADBC 于点
8、 D，则下列结论不正确的是（ ）A B C D【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答【解答】解：在 RtABC 中，BAC=90，sinB= ，ADBC，第 6 页（共 16 页）sinB= ，sinB=sinDAC= ，综上，只有 C 不正确故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义3 （2016攀枝花）如图，点 D（0，3） ，O （0，0） ，C （4，0）在A 上，BD 是A 的一条弦，则 sinOBD= （ ）A B C D【分析】连接 CD，可得出OBD=OCD ，根据点 D（ 0，3） ，C （4，0） ，得OD=3， OC=4，由勾股定理得
9、出 CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sinOBD 即可【解答】解：D（0，3） ， C（4，0） ，OD=3 ，OC=4，COD=90，CD= =5，连接 CD，如图所示：OBD=OCD，sinOBD=sinOCD= = 故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键第 7 页（共 16 页）4 （2016西宁）如图，在 ABC 中，B=90，tanC= ，AB=6cm 动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动若 P
10、，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，在运动过程中，PBQ 的最大面积是（ ）A18cm 2 B12cm 2 C9cm 2 D3cm 2【分析】先根据已知求边长 BC，再根据点 P 和 Q 的速度表示 BP 和 BQ 的长，设PBQ的面积为 S，利用直角三角形的面积公式列关于 S 与 t 的函数关系式，并求最值即可【解答】解：tanC= ， AB=6cm， = ，BC=8，由题意得：AP=t，BP=6t，BQ=2t，设PBQ 的面积为 S，则 S= BPBQ= 2t（ 6t） ，S=t2+6t=（t 26t+99）=（t 3） 2+9，P：0t6，Q：0t 4，当 t=3 时，S 有最大值为
11、 9，即当 t=3 时， PBQ 的最大面积为 9cm2；故选 C【点评】本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间速度） ；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围5 （2016绵阳）如图， ABC 中 AB=AC=4，C=72 ，D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，DEAB，则 cosA 的值为（ ）第 8 页（共 16 页）A B C D
12、【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出EBC=36 ，BEC=72 ，AE=BE=BC再证明BCEABC，根据相似三角形的性质列出比例式= ，求出 AE，然后在ADE 中利用余弦函数定义求出 cosA 的值【解答】解：ABC 中，AB=AC=4 ，C=72，ABC=C=72 ，A=36，D 是 AB 中点，DEAB，AE=BE，ABE=A=36，EBC=ABCABE=36 ，BEC=180 EBC C=72，BEC=C=72，BE=BC，AE=BE=BC设 AE=x，则 BE=BC=x，EC=4x在BCE 与 ABC 中，BCE ABC， = ，即 = ，解得 x=22
13、（负值舍去） ，AE=2+2 在ADE 中， ADE=90，cosA= = = 故选 C【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中证明BCEABC 是解题的关键6 （2016福州）如图，以圆 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点，P 是 上一点（不与 A，B 重合） ，连接 OP，设POB= ，则点 P 的坐标是（ ）第 9 页（共 16 页）A （sin，sin） B （cos， cos） C （cos ，sin） D （sin，cos ）【分析】过 P 作 PQOB，交 OB 于点 Q，在
14、直角三角形 OPQ 中，利用锐角三角函数定义表示出 OQ 与 PQ，即可确定出 P 的坐标【解答】解：过 P 作 PQOB，交 OB 于点 Q，在 Rt OPQ 中， OP=1，POQ= ，sin= ，cos= ，即 PQ=sin，OQ=cos，则 P 的坐标为（cos，sin） ，故选 C【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键7 （2016重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角 是 45，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20米，梯坎坡长 BC 是 12
15、米，梯坎坡度 i=1： ，则大楼 AB 的高度约为（ ） （精确到0.1 米，参考数据： 1.41， 1.73， 2.45）A30.6 B32.1 C37.9 D39.4【分析】延长 AB 交 DC 于 H，作 EGAB 于 G，则 GH=DE=15 米，EG=DH，设 BH=x米，则 CH= x 米，在 RtBCH 中，BC=12 米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6 米，CH=6 米，得出 BG、EG 的长度，证明AEG 是等腰直角三角形，得出AG=EG=6 +20（米） ，即可得出大楼 AB 的高度【解答】解：延长 AB 交 DC 于 H，作 EGAB 于 G，如图所示：则 GH=
16、DE=15 米，EG=DH，梯坎坡度 i=1： ，BH：CH=1 ： ，设 BH=x 米，则 CH= x 米，在 Rt BCH 中，BC=12 米，第 10 页（共 16 页）由勾股定理得：x 2+（ x） 2=122，解得：x=6，BH=6 米，CH=6 米，BG=GHBH=15 6=9（米） ，EG=DH=CH+CD=6 +20（米） ，=45，EAG=90 45=45，AEG 是等腰直角三角形，AG=EG=6 +20（米） ，AB=AG+BG=6 +20+939.4（米） ；故选：D【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出 BH，得出 EG 是解决
17、问题的关键8 （2016苏州）如图，长 4m 的楼梯 AB 的倾斜角ABD 为 60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD 为 45，则调整后的楼梯 AC 的长为（ ）A2 m B2 m C （2 2）m D （2 2）m【分析】先在 RtABD 中利用正弦的定义计算出 AD，然后在 RtACD 中利用正弦的定义计算 AC 即可【解答】解：在 RtABD 中，sinABD= ，AD=4sin60=2 （m） ，在 Rt ACD 中，sin ACD= ，AC= =2 （m） 故选 B第 11 页（共 16 页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高
18、度 h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i 表示，常写成i=1：m 的形式把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度 i 与坡角 之间的关系为：i=tan9 （2016重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树 CD 的高度约为（参考数据：sin36 0.59，cos36 0.81，tan360.73） （ ）A8
19、.1 米 B17.2 米 C19.7 米 D25.5 米【分析】作 BFAE 于 F，则 FE=BD=6 米，DE=BF ，设 BF=x 米，则 AF=2.4 米，在 RtABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 DE=BF=5 米，AF=12 米，得出 AE 的长度，在 Rt ACE 中，由三角函数求出 CE，即可得出结果【解答】解：作 BFAE 于 F，如图所示：则 FE=BD=6 米，DE=BF，斜面 AB 的坡度 i=1：2.4，AF=2.4BF，设 BF=x 米，则 AF=2.4x 米，在 Rt ABF 中，由勾股定理得：x 2+（2.4x） 2=132，解得：x=5，DE=BF=
20、5 米，AF=12 米，AE=AF+FE=18 米，在 Rt ACE 中， CE=AEtan36=180.73=13.14 米，CD=CEDE=13.14 米5 米8.1 米；故选：A【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键10 （2015扬州）如图，若锐角ABC 内接于O ，点 D 在O 外（与点 C 在 AB 同侧） ，则下列三个结论：sinC sinD ；cos C cos D； tanC tan D 中，正确的结论为（ ）第 12 页（共 16 页）A B C D【分析】连接 BE，根据圆周角定理，可得 C= AEB，因为 AEB=D
21、 +DBE，所以AEBD，所以CD，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断【解答】解：如图，连接 BE，根据圆周角定理，可得C=AEB，AEB=D +DBE，AEBD，CD，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sinCsin D ，故正确；cosCcosD，故错误；tanCtanD，故正确；故选：D【点评】本题考查了锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出CD二填空题（共 4 小题）11 （2016枣庄）如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接AC，BD，若 AC=2，则 tanD= 2 【分析】连接 BC 可得 RT ACB，由勾股定理求得 BC 的长，进而
22、由 tanD=tanA= 可得答案【解答】解：如图，连接 BC，第 13 页（共 16 页）AB 是O 的直径，ACB=90，AB=6，AC=2，BC= = =4 ，又D= A，tanD=tanA= = =2 故答案为：2 【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接 BC 构造直角三角形是解题的关键12 （2016新疆）如图，测量河宽 AB（假设河的两岸平行） ，在 C 点测得ACB=30 ，D点测得ADB=60，又 CD=60m，则河宽 AB 为 30 m（结果保留根号） 【分析】先根据三角形外角的性质求出CAD 的度数，判断出ACD 的形状，再由锐角三角函数的定义即可
23、求出 AB 的值【解答】解：ACB=30，ADB=60，CAD=30，AD=CD=60m，在 Rt ABD 中，AB=ADsinADB=60 =30 （m ） 故答案为：30 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中13 （2016舟山）如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为（1 ，0 ） ，ABO=30，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿OBA 的边按 OBAO 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 PQ= ，那么
24、当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为 4 第 14 页（共 16 页）【分析】首先根据题意正确画出从 OBA 运动一周的图形，分四种情况进行计算： 点 P 从 OB 时，路程是线段 PQ 的长；当点 P 从 BC 时（QCAB ，C 为垂足） ，点Q 从 O 运动到 Q，计算 OQ 的长就是运动的路程； 点 P 从 CA 时，点 Q 由 Q 向左运动，路程为 QQ；点 P 从 AO 时，点 Q 运动的路程就是点 P 运动的路程；最后相加即可【解答】解：在 RtAOB 中，ABO=30，AO=1，AB=2，BO= = ，当点 P 从 OB 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的路程为
25、 ，如图 3 所示，QCAB，则ACQ=90 ，即 PQ 运动到与 AB 垂直时，垂足为 P，当点 P 从 BC 时，ABO=30BAO=60OQD=90 60=30cos30=AQ= =2OQ=2 1=1则点 Q 运动的路程为 QO=1，当点 P 从 CA 时，如图 3 所示，点 Q 运动的路程为 QQ=2 ，当点 P 从 AO 时，点 Q 运动的路程为 AO=1，点 Q 运动的总路程为： +1+2 +1=4故答案为：4第 15 页（共 16 页）【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动
26、问题14 （2016岳阳）如图，一山坡的坡度为 i=1： ，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了200 米到达点 B，则小辰上升了 100 米【分析】根据坡比的定义得到 tanA = ，A=30 ，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系求解【解答】解：根据题意得 tanA= = = ，所以A=30 ，所以 BC= AB= 200=100（m） 故答案为 100【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i 表示，常写成 i=1：m 的形式三解答题（共 1 小题）第 16 页（共 16 页）15
27、 （2016厦门）如图，在四边形 ABCD 中，BCD 是钝角，AB=AD，BD 平分ABC，若 CD=3，BD= ，sin DBC= ，求对角线 AC 的长【分析】过 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于 E，得到E=90，根据三角形函数的定义得到 DE=2 ，推出四边形 ABCD 是菱形，根据菱形的性质得到ACBD，AO=CO，BO=DO= ，根据勾股定理得到结论【解答】解：过 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于 E，则E=90 ，sinDBC= ，BD= ，DE=2 ，CD=3，CE=1，BE=4，BC=3，BC=CD，CBD=CDB，BD 平分ABC ，ABD=DBC，ABD=CDB，ABCD ，同理 ADBC，四边形 ABCD 是菱形，连接 AC 交 BD 于 O，则 ACBD ，AO=CO，BO=DO= ，OC= = ，AC=2 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键
