1、第四课时 椭圆的简单几何性质教学目标 1、进一步理解并掌握椭圆的定义、标准方程 2、能根据条件求出椭圆的标准方程 3、进一步理解 a、b、c、e 的几何意义，会用几何性质解决有关问题 4、在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程教学过程1、复习回顾A 组 椭圆的定义运用：ABC 的周长为 20，且 B(4,0),C(4,0)，则点 A 的轨迹方程是 _.x2/36+y2/20=1(y0)已知 A(1,0),B(1,0)，线段 CA、AB、CB 的长成等差数列，则点 C 的轨迹方程是_. x2/4+y2/3=1过点 A(0,2)，且与圆 B：x 2(y2) 236
2、 内切的动圆圆心 C 的轨迹方程是_.x2/5+y2/9=1一动圆与圆 A：(x3) 2y 21 外切，与圆 B：(x3) 2y 281 内切，试求动圆圆心的轨迹方程。x2/25+y2/16=1椭圆 x2/12y 2/31 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，求点 M 的坐标。 )3,(P 是椭圆 x2/100y 2/641 上的一点，F 1、F 2分别是焦点.如果F 1PF260，求F 1PF2的周长及面积；|PF 1|PF2|的最大值。分析：考虑到F 1PF260 和三角形的面积 SabsinC/2，只要求出|PF 1|PF2|问题就可以解决了.|P
3、F 1|PF2|如何求？如果设 P(x,y)，由点 P 在椭圆上且F 1PF260，利用这两个条件，列出关于 x、y 的两个方程，解出 x、y，再求 F 1PF2的面积，虽然思路清晰，但运算量过大，考虑到这是一个几何问题，能否利用图形的几何性质呢？椭圆的定义。考虑到|PF 1|PF 2|20，要求|PF 1|PF2|的最大值，应用算术平均数与几何平均数定理即可。解：|F 1F2|12，|PF 1|PF 2|20，F 1PF2的周长为 32设|PF 1|m，|PF 2|n,根据椭圆定义有 mn20，在 F 1PF2中，F 1PF260，由余弦定理得：m 2n 22mncos60144m 2n 2
4、mn144，(mn) 23mn144，mn256/3又 SF1PF2 |PF 1|PF2|sin60/2， 364351S|PF 1|PF 2|20102| 2121 PFPF当且仅当|PF 1|PF 2|10 时等号成立，|PF 1|PF2|的最大值是 100。已知点 P 为椭圆 x2/25y 2/91 上的一点，F 1、F 2 为椭圆的左焦点与右焦点，点 P到左准线的距离为 d1, 点 P 到右准线的距离为 d2。若|PF 1|3.5，则 d2_；若|PF 1|PF 2|23，则点 P 的坐标是_；若 d24.5，则 d1_；若 P(3,y)，则|PF 1|_；若|PF1|PF 2|，则点
5、 P 的坐标是_；若点 M(3,2)在椭圆内部，则|PM|5|PF 2|/4的最小值是_。小结：点 P(x0,y0)是椭圆 x2/a2y 2/b21 上的一点，F 1、F 2 为椭圆的左焦点与右焦点，点 P 到左准线的距离为 d1, 点 P 到右准线的距离为 d2，则 d1a 2/cx 0, d2a 2/cx 0,|PF1|ed 1aex 0，|PF 1|ed 2aex 0。充分利用定义 acdF21|设椭圆 x2/a2y 2/b21 的两焦点为 F1、F 2，A 1、A 2 为长轴的两个端点。P 是椭圆上的一点，且F 1PF260，求 F 1PF2的面积；若椭圆上存在一点 Q，使A 1QA2
6、120，求椭圆离心率的范围。分析：在 F 1PF2中，F 1PF260，|F 1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cos60即 4c2|PF 1|2|PF 2|2|PF 1|PF2，又|PF1|PF 2| 2a.|PF 1|PF2|4(a 2c 2)/34b 2/3设 Q(x0,y0)，则 x02/a2y 02/b21 ，A 1QA2120，不妨设 A1(a.0),A 2(a,0),点 Q 在 x 轴上方，又 ，312tan 2020000 ayxayx 2020ybax，y 0b, ,即)(320bay322b)2解得 ，e 2=1-(b/a)22/3, 。3a 13
7、6e求经过点 M(1,2)，以 y 轴为准线，离心率为 1/2 的椭圆左顶点的轨迹方程。分析：设左顶点的坐标为 P(x,y)，则由椭圆的第二定义可得左焦点为(3x/2,y),又椭圆经过点 M(1,2)，以 y 轴为准线，离心率为 1/2，211)()23(x整理得： 4)3(92yxB 组 利用图形及图形性质解题若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍，则这个椭圆的离心率是（ ）D41.A2.B2.C21.D已知椭圆 的一条准线方程是 y9/2,则 m 等于（ ）A192ymxA、1 B、2 C、3 D、7椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴连线的夹角是（ ）CA、45 B、6
8、0 C、90 D、120椭圆 x2/100y 2/361 上的点 P 到它的左准线的距离是 10，则点 P 到右焦点的距离是（ ）BA、15 B、12 C、10 D、8中心在原点，离心率为 ，且一条准线的方程是 y3 的椭圆方程是3/6_。x 2/2y 2/61点 M 与定点 F(8,0)的距离和它到定直线 x25/2 的距离之比为 45，则点 M 的轨迹方程是_。x 2/100y 2/361归纳总结 数学思想：数形结合、类比的思想、特殊到一般 数学方法：图象法、化归法、待定系数法、换元法、辅助圆法 知识点：椭圆的定义、标准方程、椭圆中的最值问题作业 设椭圆的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，
9、离心率 ，已知点 P(0，3/2)到这2/3e个椭圆上的点的最远距离为 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 P 的距离为 的7 7点的坐标。)21,3(),(142yx第五课时教学目标1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系2、熟练地求弦长、面积、对称等问题3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力教学过程1、复习回顾椭圆的定义、几何性质判断直线与圆的位置关系的方法2、探索研究直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的 )，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当 0 时，直线与椭圆相切；当 0时，直线与椭圆相交；当 0 时，直
10、线与椭圆相离。3、反思应用例 1 当 m 为何值时，直线 l：yxm 与椭圆 9x216y 2144 相切、相交、相离？分析：将直线方程 yxm 代入椭圆 9x216y 2144 中，得 9x216(xm) 2144，整理，得 25x232mx16m 21440，(32m) 2425(16m 2144)576m 214400当 0 即 m5 时，直线与椭圆相切；当 0 即5m5 时，直线与椭圆相交；当 0 即 m5 或 m5 时，直线与椭圆相离。例 2 已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 x24y 24 的右焦点交椭圆于 A、B 两点，求弦长|AB|。分析：设 A(x1,y1),B(x2,y
11、2)，由椭圆方程知：a 2=4,b2=1,c 2=3,右焦点 ,)03(F直线 l 的方程为 ，代入椭圆得3xy 0835x58)(2|2|,58, 212112121 xABx小结：弦长公式 | 12xk例 3 过椭圆 x2/16y 2/41 内一点 M(2,1)引一条弦 AB，使 AB 被点 M 平分，求弦 AB 所在直线的方程。解一：当弦 AB 的斜率不存在时，弦 AB 的方程为 x=2，不合题意舍去设弦 AB 所在直线的方程为：y 1k(x2)，代入椭圆方程并整理得(4k 21)x 28(2k 2k)x4(k 21) 2160，又设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1、x 2
12、为方程的两个根，于是 ，又 M 为 AB 的中点， ，解之得14)(221kx 4(221kxk1/2，故所求弦 AB 的方程是 x2y40解二：设 A(x1,y1),B(x2,y2)，M(2,1)为 AB 的中点，x 1x 24,y 1y 22又A、B 两点在椭圆上，x 124y 1216，x ,224y 2216 ，两式相减得 x12x 224(y 12y 22)0,故所求弦 AB 的方程是 x2y4021,)(42121 ABkyxxy解三：设 A(x,y)，由 M(2,1)为 AB 的中点得 B(4x,2y)A、B 两点在椭圆上，x 2 4y216，(4x) 24(2y) 216 ，两
13、式相减得 x2y40,由于过 A、B 的直线只有一条，故所求弦 AB 的方程是 x2y40小结：解一常规解法；解二是解决有关中点弦问题的常用方法；解三利用曲线系解题。例 4 试确定实数 m 的取值范围，使椭圆 x2/4y 2/31 上存在两点关于直线 l：y2xm对称。解一：设存在 A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线 l：y2xm 对称，故可设直线 AB 的方程为y2xt，代入椭圆方程 x2/4y 2/31，并整理得 x2txt 230，则t 24(t 23)0。解得2t2。x 1x 2t，AB 的中点 M 为(t/2,3t/4),M 在直线 l 上，3t/42t/2m,即mt/4,
14、从而1/2m1/2.解二：设存在 A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线 l：y2xm 对称，,则 ABl，且 AB 的中点 M在 l 上，设 AB 的中点 M(x0,y0)，则 x1x 22x 0,y1y 22y 0，又A、B 两点在椭圆上，3x 124y 1212，3x ,224y 2212，两式相减得 3(x12x 22)4(y 12y 22)0,即 y03x 0/2,又 y02x 0m，解得,43(432121yx02m，y 03m，点 M 在椭圆内， ，即 m23m 21，解得1/2m1/2.3420yx例 5 椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， ，过椭圆左焦点 F 的直线
15、交椭圆于/3eP、Q 两点，且|PQ| 20/9 ，OP OQ，求此椭圆的方程。解：设椭圆方程为 x2/a2y 2/b21(ab0)，左焦点 F(c,0)当 PQx 轴时，|FP|FQ|b 2/a，由 OPOQ 知|FO|FQ|，即 cb 2/a,aca 2c 2，即 e2e10，解得 ，15,15e这与条件 不符，PQ 不垂直 x 轴/3设 PQ：yk(xc)，P(x 1,y1),Q(x2,y2)， ，设 a2t, ，则 bt2/3ec3椭圆方程可化为 x24y 24t 2(t0)，将直线 PQ 的方程代入椭圆方程得，则 x1、x 2为方程的根0438)41(2tktk2212438ktxO
16、POQ，x 1x2y 1y20，即 0)3()(2121 txktxk整理得： 03)(3)( 2tk，整理得 k24/11，4141222tkt此时 97321txt|PQ|20/9， 920|12xk即 ,6)732)(14ttt所以所求椭圆方程为 x2/4y 214、归纳总结数学思想：数形结合、函数与方程知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题作业：1、直线 l 与椭圆方程为 4x2 9y236 交于 A、B 两点，并且 AB 的中点 M(1,1)，求直线 l的方程。2、求焦点 ，截直线 l：y2x1 所得弦中点的横坐标为 2/7 的椭圆的标准方程。)5,0(F答案：4x9y130； x 2/75y 2/251
