1、教学设计2 对函数的进一步认识21 函数概念整 体 设 计教学分析 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念三维目标 1会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号 yf(x) 的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识2掌握构成函数的三要素
2、，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性重点难点 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：符号“yf( x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值课时安排 1 课时教 学 过 程导入新课 思路 1.北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整，万众瞩目的“神舟六号”飞船胜利发射升空，5 天后圆满完成各项任务并顺利返回在“神舟六号”飞行期间，我们时刻关注“神舟六号”离我们的距离 y 随时间 t 是如何变化的，本节课就对这种变
3、量关系进行定量描述和研究引出课题思路 2.问题：已知函数 yError!请用初中所学函数的定义来解释 y 与 x 的函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题推进新课 Error!Error!1给出下列三种对应： 幻灯片一枚炮弹发射后，经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m，且炮弹距地面的高度 h单位：m随时间 t单位：s 变化的规律是 h130 t5t 2.时间 t 的变化范围是数集 A t|0t26，h 的变化范围是数集 Bh|0 h845 ，则有对应 f：th130t5t 2，t A ，hB.近几十年来，大气层的臭氧迅速减
4、少，因而出现了臭氧洞问题图 1 中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积 S(单位：10 6 km2)随时间 t(单位：年) 从 19792001 年的变化情况图 1根据图 1 中的曲线可知时间 t 的变化范围是数集 A t|1979t2001 ，臭氧层空洞面积 S 的变化范围是数集 B S|0S26，则有对应：f：tS，tA，SB.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明， “八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间t1991 1992 1
5、993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001恩格尔系数 y53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9根据上表，可知时间 t 的变化范围是数集 A t|1991t2001 ，恩格尔系数 y 的变化范围是数集 BS|37.9S53.8 ，则有对应：f：t y，t A，yB.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义指什么？(5)函数 f：A B 的值域为 C
6、，那么集合 BC 吗？活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性讨论结果：(1)共同特点是：集合 A、B 都是数集，并且对于数集 A 中的每一个元素x，在对应关系 f：A B 下，在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应(2)一般地，设 A，B 都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf (x)，x A，其中 x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫作函数的定义域，函数值的集合 f(x)|xA叫
7、作函数的值域在研究函数时常会用到区间的概念，设 a，b 是两个实数，且 ab，如下表所示：定义 名称 符号 数轴表示x|axb 闭区间 a，bx|axb 开区间 (a，b)x|axb 半开半闭区间 a，b)x|axb 半开半闭区间 (a，bx|xa a，)x|xa (a，)x|xa (，ax|xa (，a)R (，)(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为 0，被开方数为非负数，如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值，等等(5)C B.Error!思路 1例 1 某山海拔 7 500 m，海平面温度为 25 ，气温是高度的函数，而
8、且高度每升高100 m，气温下降 0.6 .请你用解析表达式表示出气温 T 随高度 x 变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域活动：学生思考初中所学函数解析表达式的含义，即用自变量表示因变量，并明确函数的定义域和值域解：当高出海平面 x m 时，温度下降了 0.6()，x100则函数解析式为T(x)25 25 x.0.6x100 3500函数的定义域为0,7 500，值域为20,25 点评：本题考查函数的概念，以及在实际生活中的应用能力例 2 已知函数 f(x) ，x 31x 2(1)求函数的定义域；(2)求 f( 3)，f 的值；(23)(3)当 a0 时，求 f(a)，f(a1) 的值活
9、动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使 和 有意义的自变量的取值范围； 有意义，则x 31x 2 x 3x30， 有意义，则 x 20，转化为解由 x30 和 x20 组成的不等式组1x 2(2)让学生回想 f(3)，f 表示什么含义？f (3)表示自变量 x3 时对应的函数值，(23)f 表示自变量 x 时对应的函数值分别将3， 代入函数的对应法则中得 f(3)，f(23) 23 23的值(23)(3)f(a)表示自变量 xa 时对应的函数值，f(a1) 表示自变量 xa1 时对应的函数值分别将 a，a1 代入函数的对应法则中得
10、 f(a)，f(a 1)的值解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值需满足Error!解得 3x2 或 x2，即函数的定义域是3，2)( 2，) (2)f(3) 1； 3 31 3 2f .(23) 23 3 123 2 38 333(3)a0，a3，2)( 2，) ，即 f(a)，f(a1)有意义则 f(a) ；a 31a 2f (a1) .a 1 31a 1 2 a 2 1a 1点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号 f(x)的理解求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组f(x)是表示关于变量 x 的函数，又可以表示自变量 x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号 f
11、(x)没有什么意义符号 f 可以看作是对“ x”施加的某种法则或运算例如 f(x)x 2x5，当 x2 时，看作 “2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去 2，再加上 5；当 x 为某一代数式 (或某一个函数记号) 时，则左右两边的所有 x 都用同一个代数式(或某一个函数) 来代替如：f(2x1) (2 x1) 2(2x1) 5，f g(x)g( x)2g(x )5 等符号 yf(x) 表示变量 y 是变量 x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示 y 等于 f 与 x的乘积；符号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系，当 m 是变量时，函数 f(x)与函数 f(m)是同一个函数；当 m 是常
12、数时，f(m)表示自变量 xm 对应的函数值，是一个常量已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：(1)如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R.(2)如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合(3)如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合(4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集 )(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.变式训练1求函数 y 的定义域x 12x 1 1
13、x答案：x| x1，且 x1点评：本题容易错解：化简函数的解析式为 yx1 ，得函数的定义域为1 xx|x1其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式2若 f(x) 的定义域为 M，g(x) | x|的定义域为 N，令全集 UR，则 MN 等于( 1x)AM BNC UM D UN分析：由题意得 Mx |x0，NR ，则 MNx| x0M.答案：A3已知函数 f(x)的定义域是1,1 ，则函数 f(2x1)的定义域是_分析：要使函数 f(2x1)有意义，自变量 x 的取值需满足 12x11，0x1
14、.答案：0,1思路 2例 1 已知函数 f(x) ，那么 f(1)f (2)f f (3)f f (4)f _.x21 x2 (12) (13) (14)活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨 f(a)f 的值(1a)解法一：原式 121 12 221 22(12)21 (12)2 321 32(13)21 (13)2 421 42(14)21 (14)2 12 45 15 910 110 1617 117 .72解法二：由题意得 f(x)f 1.(1x) x21 x2(1x)21 (1x)2 x21 x2 11 x2则原式 111 .12 72点评：本题主要考查对函数符号 f(x)的理解对于
15、符号 f(x)，当 x 是一个具体的数值时，相应地 f(x)也是一个具体的函数值本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代数式中含有 f(x)f ，故先探讨 f(x)f 的值，从而使问题简单地获解求含有多个函数符号(1x) (1x)的代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律再求解受思维定势的影响，本题很容易想到求出每个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪费时间，得不偿失其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累.变式训练1已知 a，bN ，f(ab)f (a)f(b)，f(1)2，则 _.f2f1 f3f2 f2 007f2 006分析：令 ax，b1( xN
16、 )，则有 f(x1)f(x )f(1)2f(x )，即有 2(xN )fx 1fx所以，原式 4 012.答案：4 0122设函数 f(n)k(kN )，k 是 的小数点后的第 n 位数字， 3.141 592 653 5，则 等于_分析：由题意得 f(10)5，f(5)9，f (9)3，f(3)1，f(1) 1，则有1.答案：1例 2 已知 Aa，b，c， B 1,0,1 ，函数 f：AB 满足 f(a)f (b)f(c)0，则这样的函数 f(x)有( )A4 个 B6 个 C7 个 D8 个活动：学生思考函数的概念，什么是不同的函数定义域和值域确定后，不同的对应法则就是不同的函数，因此对
17、 f(a)，f(b) ，f (c)的值分类讨论，注意要满足 f(a)f (b)f(c)0.解：当 f(a) 1 时，则 f(b)0，f(c)1 或 f(b)1，f (c)0，即此时满足条件的函数有 2 个；当 f(a)0 时，则 f(b)1， f(c)1 或 f(b)1，f (c)1 或 f(b)0，f(c)0，即此时满足条件的函数有 3 个；当 f(a)1 时，则 f(b)0，f(c)1 或 f(b)1，f (c)0，即此时满足条件的函数有 2 个综上所得，满足条件的函数共有 2327(个) 故选 C.点评：本题主要考查对函数概念的理解，用集合的观点来看待函数.变式训练若一系列函数的解析式相
18、同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数” 那么解析式为 yx 2，值域是1,4 的“同族函数”共有( )A9 个 B8 个C5 个 D4 个分析：“同族函数”的个数由定义域的个数来确定，此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有 1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2 的实数令 x21，得 x1；令 x24，得 x2.所有“同族函数”的定义域分别是1,2，1，2 ，1,2 ，1，2，1， 1,2，1，1，2，1 ，2,2 ，1，2,2，1 ，1，2,2，则“同族函数”共有 9 个答案：AError!1已知函数 f(x)满足：f(pq)f(p) f(q)，f (1)3，则 f21
19、 f2f1 f22 f4f3 _.f23 f6f5 f24 f8f7 f25 f10f9分析：f(pq)f( p)f(q)，f(x x)f(x)f(x )，即 f2(x)f (2x)令 q1，得 f(p1)f( p)f(1)， f(1)3.fp 1fp原式 2f2f1 2f4f3 2f6f5 2f8f7 2f10f92(33333)30.答案：302若 f(x) 的定义域为 A，g(x) f (x1) f (x)的定义域为 B，那么( )1xAAB B BA BCA B DAB 分析：由题意得 Ax| x0，Bx|x0，且 x1 则 ABA，则 A 错；ABB，则 D 错；由于 B A，则 C
20、 错，B 正确答案：BError!问题：已知函数 f(x)x 21，xR.(1)分别计算 f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)的值(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明活动：让学生探求 f(x)f(x)的值分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明解：(1)f(1)f(1)(1 21)(1) 21220；f(2)f(2)(2 21)(2) 21 550；f(3)f(3)(3 21)(3) 21 10100.(2)由(1)可发现结论：对任意 xR，有 f(x)f (x )证明如下：由题意得 f(x )(x) 21x 21f(x)对任意 xR，总有 f(x)f(x)Error!本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号 f(x)的理解Error!练习 1、2.设 计 感 想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要
