1、教学设计3 函数的单调性整 体 设 计教学分析 在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节
2、教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解三维目标 1函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质2理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力3能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性重点难点 教
3、学重点：函数的单调性教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成课时安排 1 课时教 学 过 程导入新课 德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909)，他以自己为实验对象，共做了 163 次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准他经过对自己的测试，得到了一些数据时间间隔 t 0 分钟 20 分钟 60 分钟8 9小时1 天 2 天 6 天 一个月记忆量y(百分比)100% 58.2% 44. 2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1%观察这些数据，可以看出：记忆量 y 是时间
4、间隔 t 的函数当自变量(时间间隔 t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量 y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线 )从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像)学生：先思考或讨论，回答：记忆量 y 随时间间隔 t 的增大而增大；以时间间隔 t 为横轴，以记忆量 y 为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线如图 1 所示图 1遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新
5、知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆教师提示、点拨，并引出本节课题推进新课 Error!Error!如图 2 所示的是一次函数 yx，二次函数 yx 2 和 yx 2 的图像，它们的图像有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？图 2函数图像上任意点 P(x，y)的坐标有什么意义？如何理解图像是上升的？对于二次函数 yx 2，列出 x，y 的对应值表(如下表) 完成下表并体会图像在 y 轴右侧上升x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 f(x)x 2 在数学上规定：函数 yx 2 在区间(0，)上是增函数谁能给出增函数的定义？增函数的定义中，把“当 x1x 2 时，都有 f(x1
6、)f (x2)”改为“当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)”，这样行吗？增函数的定义中， “当 x1x 2 时，都有 f(x1)f (x2)”反映了函数值有什么变化趋势？增函数的几何意义是什么？类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？函数 yfx 在区间 D 上具有单调性，说明了函数 yfx在区间 D 上的图像有什么变化趋势？讨论结果：函数 yx 的图像，从左向右看是上升的；函数 yx 2 的图像在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的；函数 yx 2 的图像在 y 轴左侧是上升的，在 y 轴右侧是下降的函数图像上任意点 P 的坐标(x，y)的意义：横坐标 x 是自
7、变量的取值，纵坐标 y 是自变量为 x 时对应的函数值的大小按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大在区间(0，)上，任取 x1，x 2，且 x1x 2，那么就有 y1y 2，也就是有 f(x1)f(x 2)这样可以体会用数学符号来刻画图像上升一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数
8、f(x)在区间 D 上是增函数可以增函数的定义：由于当 x1x 2 时，都有 f(x1)f (x2)，即都是相同的不等号“”，也就是说前面是“ ” ，后面也是 “”，步调一致；“当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)”都是相同的不等号“ ”，也就是说前面是“ ”，后面也是“”，步调一致因此我们可以简称为：步调一致增函数函数值随着自变量的增大而增大从左向右看，图像是上升的一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数简称为：步
9、调不一致减函数减函数的几何意义：从左向右看，图像是下降的函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小总结：如果函数 yf(x) 在区间 D 上是增函数(或减函数) ，那么就说函数 yf (x)在这一区间具有(严格的 )单调性，区间 D 叫作 yf(x)的单调递增(或减)区间函数 yf(x) 在区间 D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图像是上升(下降) 的Error!思路 1例 1 说出函数 f(x) 的单调区间，并指明在该区间上的单调性1x活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间解：(，0)和(0 ，)都是函数的单调区间，在这两个区间上函
10、数 f(x) 是减少1x的点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像法判断函数单调性图像法判断函数的单调性适合于选择题和填空题如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断单调性函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性图像法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图像；第二步，观察图像，利用函数单调性的几何意义写出单调区间变式训练图 3 是定义在区间5,5上的函数 yf (x)的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图 3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义学生先思考或讨论
11、后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生图像上升则在此区间上是增函数，图像下降则在此区间上是减函数解：函数 yf(x )的单调区间是5，2) ，2,1)，1,3)，3,5 其中函数 yf (x)在区间 5，2)，1,3)上是减函数，在区间2,1) ，3,5上是增函数.例 2 画出函数 f(x)3x2 的图像，判断它的单调性，并加以证明活动：学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤图 4解：作出 f(x)3x2 的图像(如图 4)由图看出函数的图像在 R 上是上升的，函数是R 上的增函数下面进行证明：任取 x1
12、、x 2R，且 x1x 2，则 x1x 20.所以 f(x1)f(x 2)(3x 12) (3x 22)3( x1x 2)0，即 f(x1)f(x 2)由单调函数的定义，可知函数 f(x)3x2 是 R 上的增函数点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取两个自变量x1 和 x2，通常令 x1x 2；第二步，比较 f(x1)和 f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再归纳结论定义法的步骤可以总结为：一“取(去)” 、二“比” 、三“再(赛) ”，因此简称为
13、“去比赛” 变式训练1证明函数 y 在区间2,6上是单调递减的2x 1证明：设 x1、x 2 是区间2,6上任意两个值，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2) 2x1 1 2x2 1 .2x2 1 x1 1x1 1x2 1 2x2 x1x1 1x2 1由 2x 1x 26，所以 x2x 10，(x 11)(x 21) 0.所以 0.2x2 x1x1 1x2 1于是 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2)所以函数 y 在区间2,6上是单调递减的2x 12画出函数 y2x 1 的图像，判断它的单调性，并加以证明解：作出函数 y2x 1 的图像(如图 5)由图 5 可以看出函数 y
14、2x1 的图像在 R 上是下降的，即函数是 R 上的减函数图 5证明：设 x1、x 2 是 R 上任意两个值，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2)(2x 11)( 2x 21)2(x 1x 2)，因为 x1x 2，所以 x1x 20，2(x 1x 2)0.于是 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2)所以函数 y2x 1 在 R 上是减函数.思路 2例 1 (1)画出已知函数 f(x)x 22x3 的图像；(2)证明函数 f(x)x 22x3 在区间(，1 上是增函数；(3)当函数 f(x)在区间 (，m 上是增函数时，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)x 22x
15、3 的图像如图 6 所示图 6(2)设 x1、x 2(，1，且 x1x 2，则有f(x1)f (x2)(x 2x 13)( x 2x 23)21 2(x x )2(x 1x 2)2 21(x 1 x2)(2x 1x 2)x 1、x 2(，1，且 x1x 2，x 1x 20，x 1x 22.2x 1x 20.f(x 1)f(x 2)0.f (x1)f (x2)函数 f(x)x 22x 3 在区间 (，1上是增函数(3)函数 f(x) x22x3 的对称轴是直线 x1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间( ，m 位于对称轴的左侧时满足题意，则有 m1，即实数 m 的取值范围是(， 1点评：本题主要
16、考查二次函数的图像、函数的单调性及其应用讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图像的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间 D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内判断函数单调性时，通常先画出其图像，由图像观察出单调区间，最后用单调性的定义证明判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图像，观察图像，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图像来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函
17、数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型变式训练已知函数 f(x)是 R 上的增函数，设 F(x)f(x)f(ax)(1)用函数单调性定义证明 F(x)是 R 上的增函数；(2)证明函数 yF(x)的图像关于点 成中心对称图形(a2，0)活动：(1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法证明；(2) 证明函数yF (x)的图像上的任意点关于点 的对称点还是在函数 yF(x) 的图像上即可(a2，0)解：(1)设 x1、x 2R，且 x1x 2.则F(x1)F (x2)f( x1)f( ax
18、 1) f(x2)f (ax 2)f(x 1)f( x2)f( ax 2)f(ax 1)又函数 f(x)是 R 上的增函数， x1x 2，ax 2ax 1.f(x 1)f(x 2)， f(ax 2)f(ax 1)f(x 1)f( x2)f( ax 2)f(ax 1)0.F(x 1)F (x2)F(x) 是 R 上的增函数(2)设点 M(x0，F (x0)是函数 F(x)图像上任意一点，则点 M(x0，F (x0)关于点 的对(a2，0)称点 M( ax 0，F(x 0)又F(ax 0)f(ax 0)f(a (ax 0)f(ax 0)f(x 0)f(x 0)f(ax 0)F(x 0)，点 M(
19、ax 0，F(x 0)也在函数 F(x)图像上，又点 M(x0，F(x 0)是函数 F(x)图像上任意一点，函数 yF( x)的图像关于点 成中心对称图形.(a2，0)例 2 (1)写出函数 yx 22x 的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数 y|x |的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在4,8上的函数 yf (x)的图像关于直线 x2 对称，yf(x)的部分图像如图 7所示，请补全函数 yf( x)的图像，并写出其单调区间，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？图 7(4)由以上你发
20、现了什么结论？试加以证明活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示：(1)画出二次函数 yx 22x 的图像，借助于图像解决； (2)类似于(1)；(3) 根据轴对称的含义补全函数的图像，也是借助于图像写出单调区间；(4) 归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明解：(1)函数 yx 22x 的单调递减区间是 (，1)，单调递增区间是 (1，)；对称轴是直线 x1 ；区间( ，1) 和区间(1，)关于直线 x1 对称，而单调性相反(2)函数 y|x| 的单调递减区间是( ，0)，单调递增区间是(0，)；对称轴是 y 轴即直线 x0；区间( ，0) 和区间(0
21、，)关于直线 x 0 对称，而单调性相反(3)函数 yf(x)，x 4,8的图像如图 8.函数 yf(x) 的单调递增区间是4，1 ，2,5；单调递减区间是 5,8，1,2 ；区间4， 1和区间 5,8关于直线 x2 对称，而单调性相反，区间1,2 和区间2,5关于直线 x2 对称，而单调性相反图 8(4)可以发现结论：如果函数 yf(x)的图像关于直线 xm 对称，那么函数 yf( x)在直线 xm 两侧对称单调区间内具有相反的单调性证明如下：不妨设函数 yf( x)在对称轴直线 xm 的右侧一个区间a，b 上是增函数，区间a，b关于直线 xm 的对称区间是2 mb,2ma由于函数 yf(x
22、 )的图像关于直线 xm 对称，则 f(x)f(2m x)设 2mbx 1x 22ma，则 b2mx 12m x 2a，f(x1)f (x2)f(2mx 1)f(2mx 2)又函数 yf(x )在 a，b上是增函数，f (2mx 1)f(2mx 2)0.f (x1)f(x 2)0.f( x1)f(x 2)函数 yf (x)在区间2mb,2m a 上是减函数当函数 yf(x )在对称轴直线 xm 的右侧一个区间a，b 上是增函数时，其在a，b关于直线 xm 的对称区间2 mb,2ma上是减函数，即单调性相反因此有结论：如果函数 yf(x )的图像关于直线 xm 对称，那么函数 yf(x) 在对称
23、轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性点评：本题通过归纳猜想证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征本题作为结论记住，可以提高解题速度图像类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图像也能观察出函数的性质特征这需要有细致的观察能力变式训练函数 yf(x) 满足以下条件：定义域是 R；图像关于直线 x1 对称；在区间2 ，)上是增函数试写出函数 yf( x)的一个解析式 f(x)_( 只需写出一个即可，不必考虑所有情况) 活动：根据这三个条件，画出函数 yf (x)的图像简图(只要能体现这三个条件即
24、可)，再根据图像简图，联系猜想基本初等函数及其图像和已有的解题经验写出解：定义域是 R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图像关于直线 x1对称的函数解析式满足：f(x )f (2x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由想到了二次函数；结合二次函数的图像，在区间2， ) 上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线 x1 不在区间2， ) 内，故函数的解析式可能是 ya( x1) 2b( a0)结合二次函数的图像和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如 ya(x1) 2b( a0)，或为 ya|x 1|b(a0) 等都可以，答案不唯一.Error!1
25、利用图像法写出基本初等函数的单调性解：正比例函数：ykx( k0)当 k0 时，函数 ykx 在定义域 R 上是增函数；当 k0 时，函数 ykx 在定义域 R上是减函数反比例函数：y (k0)kx当 k0 时，函数 y 的单调递减区间是 (，0)，(0，) ，不存在单调递增区间；kx当 k0 时，函数 y 的单调递增区间是 (，0)，(0， ) ，不存在单调递减区间kx一次函数：ykxb( k0)当 k0 时，函数 ykxb 在定义域 R 上是增函数；当 k0 时，函数 ykx b 在定义域 R 上是减函数二次函数：yax 2bx c(a0)当 a0 时，函数 yax 2bxc 的单调递减区
26、间是 ，单调递增区间是( ， b2a； b2a， )当 a0 时，函数 yax 2bxc 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 b2a， ).( ， b2a点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度2已知函数 ykx2 在 R 上是增函数，求实数 k 的取值范围答案：k(0 ，)3二次函数 f(x)x 22ax m 在(，2) 上是减函数，在 (2，)上是增函数，求实数 a 的值答案：a2.4已知 f(x)是定义在(0，) 上的减函数，若 f(2a2a1)f(3a 24a1) 成立，则a 的取值范围是_解析：f(x) 的定义域是(0，) ，Error!解得 a 或 a1.13f(x)在(0，)上是减函数，2a 2a13a 24a1.a 25a0.0a5.0a 或 1a5，即 a 的取值范围是 (1,5)13 (0，13)答案： (1,5)(0，13)点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式解与函
