1、1数学教育概论目录第一章 绪论：为什么要学习数学教育学第一节 数学教育成为一个专业的历史第二节 数学教育成为一门科学学科的历史第三节 数学教育研究热点的演变第四节 几个数学教育研究的案例理论篇第二章 与时俱进的数学教育第一节 20 世纪数学观的变化第二节 作为社会文化的数学教育第三节 20 世纪我国数学教育观的变化第四节 国际视野下的中国数学教育第五节 改革中的中国数学教育附录：我国影响较大的几次数学教改实验第三章 数学教育的基本理论第一节 弗赖登塔尔的数学教育理论第二节 波利亚的解题理论第三节 建构主义的数学教育理论第四节 我国“双基” 数学教学第四章 数学教育的核心内容第一节 数学教育目标
2、的确定第二节 数学教学原则第三节 数学知识的教学第四节 数学能力的界定第五节 数学思想方法的教学第六节 数学活动经验第七节 数学教学模式第八节 数学教学的德育功能第五章 数学教育研究的一些特定课题第一节 数学教学中数学本质的揭示第二节 学习心理学与数学教育第三节 数学史与数学教育2第四节 数学教育技术第五节 数学优秀生的培养与数学竞赛第六节 数学学差生的诊断与转化附录：数学学差生诊断与转化个案第六章 数学课程的制定与改革第一节 中外数学课程改革简史第二节 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）的制定与实验第三节 关于义务教育数学课程标准的争论与修订第四节 普通高中数学课程标准（实验）的基本理念第
3、五节 普通高中数学课程标准（实验）对有关数学内容的取舍和处理第六节 数学建模与数学课程第七节 研究性学习与数学课程第八节 社会主义市场经济与中学数学第七章 数学问题与数学考试第一节 数学问题和数学解题第二节 数学应用题、情境题、开放题第三节 数学问题解决的教学第四节 数学考试中的命题探讨第八章 数学教育研究第一节 数学教育研究的有关认识第二节 数学教育论文习作实践篇第九章 数学课堂教学观摩与评析第一节 师范生走向课堂执教时的困惑第二节 案例学习 数学弄懂了还要知道怎么教第三节 一些特定类型的课例赏析第四节 一些案例（课堂教学片段）的评析第十章 数学课堂教学基本技能训练第一节 如何吸引学生第二节
4、 如何启发学生第三节 如何与学生交流第四节 如何组织学生第五节 形成教学艺术风格第十一章 数学教学设计第一节 教案三要素第二节 数学教学目标的确定3第三节 设计意图的形成第四节 教学过程的展示第五节 优秀教学设计的基本要求第一章 绪论:为什么要学习数学教育学一、数学教育的沿革与发展 （一）专业培养目标 本专业主要培养学生掌握数学科学的基本理论与基本方法，能够运用数学知识解决实际中的一些问题，具有现代教育观念，适应教育改革需要，以及具有良好的知识更新能力。 就业面向 九年制义务教育阶段中学数学师资和教育、教学管理工作人员、教学研究人员及其他教育工作者。 数学教育作为一门专业培养的是教师。它是随着
5、数学课程在学校教育中所占的地位越来越重要而产生的。在文明古国，经世致用的数学是学校启蒙教育中一个必不可少的内容。在西方，数学教育的目的主要是 为了训练学生的心智，在七艺教育（文法、修辞、 逻辑学、算 术、几何、天文、音乐）中，算术和几何的地位排在第三以后）而中国则主要是为了经世致用，地位不高。 直到 19 世纪初，西方国家的科学技术迅速发展，但传统的人文学科依然在学校教育中占领着统治地位。坚持古典教育的人自诩其教学几门课程便能给人的以智以一般的训练，并使得能力能够迁移到后来的学习中去。他们攻击科学教育课程只重视琐碎的事实担负不起道德培养的重任。而倡导科学教育的人则强烈要求将近代科学引进学校教育
6、，坚持自然科学知识应占最重要的地位，应以实用的知识代替那些不切实际的装饰性知识。总于在产业革命的发祥地英国科学教育思想战胜了古典教育思想，接着在其它的工业大国也相继建立起以科学为中心的学校课程体系。数学因其与自然科学密不可分，从此也在学校教育中占有了重要的地位。 在这一段时间里，中国古代数学教育虽然也在不断地发展经历了四次高峰。如隋唐时期，建立了数学专门学校，高置算学博士和算学助教，学制 6 年；并以皇帝的名字钦定数学教科书，共十本，史上称 为算经十书（周髀算经、九章算术、孙子算经、海岛算经、 张丘建算经、五曹算经、五经算术、夏侯阳算经 、缀术4、辑古算经） 。宋元时期出 现我国古代数学和数学
7、教育的新高峰，产生了一大批杰出的数学家和数学教育家。这些数学家的成果把我国传统的实用性算法体系提升到了抽象性算法的高度，这些开拓性的工作和科研成果达到了当时世界的最高水平。但到了明（1368-1683）清两代，知识分子只攻四书五经，数学几乎停止 发展，数学教育更谈不上了。直到辛亥革命，特别是“五四” 运动（1919 年，20 世纪前期）以后，数学才真正在学校中普及。 随着数学教育在中学的地位的不断提升，如何培养优秀的数学教师也就提上了议程。从事数学教育的人一般是数学家或是数学优秀者。但根据 Jeremy Kilpatrick(杰里米基尔帕特里克)在一份数学教育研究的历史中的介绍，除了数学还要懂
8、得教学法才能胜任数学教师工作，这一点直到 19 世纪末才被人们充分认识到。 在一些国家的大学里，除了要求未来的教师学习数学课程，还安排他们学习数学教学法，了解一些 课堂教学的原理、课堂管理的技能等。进入 20 世纪，各国培养教师计划中重视和加强教学法培训的倾向更加明显了，数学教育逐渐成长为一个需要具备一定特殊技能的专业。 （二）数学教育成为一门科学学科的历史 专业人员对学校数学教育的有关现象开始研究大约起于 100 年前，主要是研究数学教学活动和内容。在这一百年里，形成了它的理论基础，明确它的研究 对象、任务和问题，具有它特有的研究方法，慢慢形成一 门学科。 1.学科定义 | 数学教学论是研究
9、数学教学 过程中教和学的联系、相互作用及其统一的科学。它是数学教育学的一个重要 组成部分。 | 具体地说，数学教学论是以一般教学论和教育学的基本理论为基础，从数学教育的实际出发，分析数学教学过程的特点，总结长期以来数学教学的历史经验，揭示数学教学过程的规律，研究数学教学 过程中的诸要素（教学方法、教学组织形式、教学的物质条件等）及其相互间的关系，帮助教 师端正教学思想和形成教学技能，并对数学教学的效果开展科学的评价。 2.学科发展历史 (1)数学教育的萌芽时期 5中国是数学的发祥地之一。远在公元 6 世纪我国古算家已完成算经十书这样的伟大著作，成为长达近二千年流传着的算学教材，作为我国数学教育
10、（初期）的媒介，起着巨大作用，直至清末算学教育也以此为借鉴。我国早期的数学教育，实际上是来自田园、作坊、家庭，其教学形式不外是父教子、师带徒的个别传授。后来才进而发展为私塾、家馆及学社式的教学。 这一时期的数学教育，严格地说，只是一种教学行为，因 为它并没有明确的教育制度、教学目的，甚至缺乏必要的教学手段。 (2)近代数学教育时期 18 世纪欧洲工业革命以后，西方传教士东来中国，设立教会学校，西算开始 输入中国。至 20 世纪末，我国改学堂为学校，数学也被列入教学课程，开始使用翻 译的西书及国人编篡的数学教科书及讲究教学方法。 我国最早的数学教育理论学科，叫做“数学教授法”。在清末，京师大学堂
11、里开始设有“ 算学教授法”课程。1897 年，清朝天津海关道盛宣怀创办南洋公学，内设师范院，首开“ 教授法”课。 20 世纪 20 年代前后，任 职于南京高等师范学校的陶行知先生，提出改“教授法”为“教学法 ”的主张，虽被校方拒绝，但这一思想却逐渐深入人心，得到社会的承认。30 年代至 40 年代，我国曾 陆续出版了几本数学教学法的书，但 这些书多半是对前人或外国关于教学法研究所得，并根据自己教学实践进行修补而总结的经验，但教育理论并未成熟。在 50 年代，我国的 中学数学教学法，用的是从前苏联翻译的伯拉基斯的数学教学法，其内容主要介绍中学数学教学大纲的内容和体系，以及中学数学中的主要课题的教
12、学法， 这些内容虽然仍停留在经验上，但比以往只学一般的教学方法有所进步，毕竟变成了专门的中学数学教学方法。无论是“ 数学教授法”还是“数学教学法” ，实际上只是讲授各学科通用的一般教学法， 这一时期的教学基本上是注入式的，除教科书外，也很少有可供教 师和学生阅读、参考的读物，人们还普遍认为，教 师能不能教好书，主要是方法问题，谈不上什么理论，也够不上一门“学”。 (3)数学教育发 展成为独立的科学 70 年代，我国的数学教学法或数学教材教法一直是高师院校数学系科体现师范特色的一门专业基础课。1979 年，北京师大等全国 13 所高等师范院校合作编写的中学数学教材教法（总论和分论）一套书，作为高
13、等师范院校的数学教育理论学科的教材，是我国在数学教学论建设方面的重要标志。 620 世纪 80 年代， 我国的数学教学论不仅与国际数学教育共同发展，而且无论在数学教学活动还是数学教育理论研究方面都形成了自己的特色。在数学教学法的基础上，开始出现数学教学的新理论。国 务院学位委员会公布的高等学校“ 专业目录”中，在 “教育学” 这个门类下设“教材教法研究”一科，使学科教育研究的学 术 地位得到确认。 1983 年“教材教法 ”改为“学科教学论”从此学科教学 论有了较大的发展。 | 把 “教材教法”改为“ 学科教学论” 是一次理论上的飞跃，教材教法只是教育学的一个部分，学科教学论则变成了教育科学中
14、的一个重要分支学科。 | 1985 年，原苏联著名数学教育学家 A.A.斯托利亚尔的数学教育学一书中译本由人民教育出版社出版发行。数学教育学的名字在我国不胫而走。 | 我国在 80 年代也编写了 数学教育研究导引一书 。 | 1990 年，曹才翰教授编著的中学数学教学概论问世，标志着我国数学教育理论学科已由数学教学法演 变为数学教学论，由经验实用型转为理论应用型。 | 1991 年出版张奠宙等著的 数学教育学，把中国数学教育置于世界数学教育的研究之中，结合中国 实际对数学教育领域内的许多问题提出了新的看法，对数学教育工作者涉及的若干专题，加以分析和评论， 这是数学教育学研究的一个突破。 | 1
15、992 年， 数学教育学报创刊，由天津师范大学主办，对数学教育理论研究与实践探索发挥了重要作用。 | 十几年来，涌现了一批优秀的科研成果，出版了一系列数学教育学著作， 研究内容包括“ 数学教学理论”、“数学学习理论” 、“数学思维”、“数学方法论” 、“数学课程与数学教育评价”、“ 数学习题理论”等多个方面，其内容已远远超过上述教材所包含的知识领域。 | 2003 年 4 月，高等教育出版社出版了由张奠宙、李士錡、李俊编著的数学教育学导论，是基 础教育新课程教师教育系列教材之一，本书用新的观点阐述了中小学数学教育的理论，构建了新的数学教育体系，并与正在实验的国家数学课程标准相适应，这是数学教育
16、学研究的一个新发展。 3.对学科发展影响至深的两门学科 7在这个过程中，有两门学科对数学教育研究有过根本性的影响，数学和心理学。 随着数学的发展，数学教学内容不断更新，从而使得研究如何进行数学课程教学的问题也不断变更，即数学教育研究的内容不断更新。数学家对数学教育的影响主要体现在教学内容的选取和安排上，而且经常是通过亲自编写教材来实现。 我国心理学工作者曹子方曾经运用这皮亚杰的方法，对幼儿计数的认知发展做地具体研究。数数这么一个每个人都经历过的概念发展过程，在使用科学方法加以研究之后才变得如此清晰。这些结果是我们把自己关在书房里做思辨式的研究所不可能发现的。 此外之外，随着时代的发展，数学教育
17、学的理 论基础包括了更广阔的学科领域，如生理数、 脑科学、社会学、经济学、政治学、人类学等等。 4.学科研究问题及对象的演变 丹麦 Roskilde（罗斯基勒）大学 Dr.Mogens Niss（尼斯）在 2000 年第九届国际数学教育大会上作了题为数学教育研究的主要问题与趋势的报告，提出了数学教育研究和几个变化： （1）关注的对象年龄范围逐渐扩大，从主要关注中学教育到小学和中学以后的教育，到教师教育、学前教育、大学教育，再到研究生教育，研究已经涉及到各个年龄层次和群体的数学教育问题。 （2）关注的问题从课程问题到教师教育问题，到学习问题，到课堂教学问题，到社会、文化、语言问题和评价问题。 （
18、3）数学教育研究方法呈多样性。可以通过说理来阐明观点、想法和计划，可以展示来自教学 实际的经验，可以对自己或别人的经验和印象作系统的反思，可以作逻辑和哲学层面的观念分析，可以通过经实录像收集数据等等。具体方法有：教育实验法（访谈法，用 录像带分析实例等）， 调查研究法，经验总结法，统计法等等。(课本四个案例） (三)作为人类 活动的数学教育 1.数学教育的本质 8| 狭义的数学教育是指教育者利用数学科学文化知识作为基本内容，按照一定的社会要求，向受教育者的身心施加有目的、有计划、有组织的影响，以使受教育者发生预期变化的活动。 | 数学教育活动三要素： 教育者、受教育者、教育中介 2.数学教育系
19、统的主要矛盾：数学教育要求与学生身心发展特点及水平之间的矛盾。 对立性：（1）数学教育的要求高于学生的现有心理水平。 （2）双方相互制约。 统一性：数学教育要求总是以学生身心发展的实际客观趋势、确实存在的未来因素和发展的可能性为依据的。 在数学教育这一主要矛盾的两个方面中，矛盾的主要方面应是数学教育的要求。因为一方面，学生的身心发展尤其是其数学素养水平统一于数学教育的要求，它是沿着数学教育要求所规定的方向发展的；另一方面，数学教育的要求在矛盾的两个方面来说，一般是比较积极、活跃的，它具有前瞻性和 预测性。例如，九年 义务教育新课程改革提出的数学课程理念、目标和要求是以广泛深入的调查研究为基础的
20、，它充分考虑了国际数学教育改革的发展趋势及 21 世纪国际社会的发展方向特别是充分考虑了我国未来社会发展对人才培养的要求。数学教育要求的前瞻性体现在数学教育肩负着促进社会发展的有历史使命。 除了上述主要矛盾外，还有教育中介与教师、学生之间的矛盾，如新数学 课程与教师的个体经验、知识结构之间的矛盾，教育改革提倡的教学方法与教师、学生的矛盾等。 3.数学课程价值 要了解数学课程的价值，应该对数学的价值有个正确的认识，即树立正确的数学观。 对数学意义的本质认识，是随着数学的发展而发展的。数学发展有四个高峰阶段：欧氏几何（古希腊的公理化数学），微积分（无穷小算法数学），（现代）公理化数学，信息时代数学
21、。人们对数学的认识的变化： 1964 年，恩格斯给出 9 20 世纪以来，数学的对象可以包括现实中的任何形式和关系。“数量”已从数扩展到复数、向量、张量、甚至以代数结构的抽象集合中的元素为“数量” ；“空间”已从欧氏空间扩展到非欧空间、高 维或无限维空间，甚至具有某种结构的抽象空间。 近 30 年来，数学的性质及其应用的途径发生的巨大的变化，其中最显著的是计算机及其应用的爆炸性发展。计算机技术和用广泛应用性的统一概念处理现实世界的各种模式已成为当今数学发展的一个决定性特点。数学的研究对象已从原来的算术、代数、几何扩展到科学中的数据、测量、观测资料，推断、演绎、证明，自然现象、人类行为、社会系统
22、的数学模型等。无 论是数学中的概念和命 题，或是问题和方法，事实上都应该看成是一种具有普遍意义的模式。现在，数学的研究 领域和对象已不仅是数量关系和空间形式，而是数、机会、形状、算法和变化。数学的过程就是“抽象、符号变换和应用研究”。 香港中文大学黄毅英教授对数学教师的数学观进行了深入调查后指出：“尽管教师认为数学与社会实践、日常生活之间有联系，但却把在日常生活中有广泛应用的数学(如估算、记录、 观察、数学决定等)看成是与数学无关的。于是在实际教学中学生所体验到的数学仍是一堆法则的集合” 。虽然在中国当前的特定的社会 结构和经济模式条件下，上述数学观有其必然性和合理性，然而，在我 们看来，仅仅
23、停留在这样的数学观定位上，是不能适应可持续发展的社会战略目标和数学课程改革需要的 对数学价值的认识： | 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具 | 数学为其他科学提供了 语言、思想和方法 | 数学是人类的一种文化，它的内容、思想和方法和语言是现代文明的重要组成部分。 全日制义务教育数学课程标准（实验稿） | 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具 | 数学是人类文化的重要 组成部分 高中 数学课程标准（实验稿） 数学课程的价值： 10| 数学课程的基础性、工具性价值 | 数学课程的应用价值 | 数学课程的人文价值 4.数学教育的改革与发展 二、数学
24、教学论的内容及学习意义与方法 （一）研究的对象与任务 数学教学论是研究数学教学理论、教学过程和教学规律、方法的学科。 即就是研究“教什么”和“怎样教”的问题。 苏联数学教育专家斯托利亚尔把教学过程分成以下几个要素： 教学目的（为什么教？）、教学对象（教给谁？）、教学内容（教什么？）、教学方法（如何教？ ）、学习方法（如何学？） （二）课程特点 数学教学论是一门边缘性学科 数学教学论是一门实践性很强的理论学科 数学教学论是一门发展中的理论学科 （三）课程目标 通过该学科的学习要使学生达到以下几个目标： | 知识目标：了解数学教育 发展的历史和现状；掌握中学数学教育的基本理 论和方法；理解中学数学
25、课程的制定与改革的历史与现状。 | 能力与技能目标：掌握中学数学概念、命题、解题教学的基本方法和技能；具备应用中学数学教育理 论和方法于中学数学教学实践的能力；提高中学数学教育研究的能力。 | 态度与情感目标：克服对 中学数学教学工作的畏难 心理，激发学习兴趣。扩大数学视野，培养数学思维品质； （四）学习方法 11重视理论学习，加强实践活动； 勤于交流反思，善于总结提高。 第二章 与时俱进的数学教育 课题： 20 世纪数学观、数学教育观的变化 内容提要： 1、20 世纪数学观的变化。 2、20 世纪数学教育观的变化。 教学目标： 通过本节的学习使学生了解数学教育的历史发展(纵向)和国际视野(横
26、向)， 并对某些基本问题作一些初步的理论性探讨，增强对数学教育的理性认识，建立正确的数学观和数学教育观。 教学重点、难点： 对数学观和数学教育观的理解 教学方法： 讲授法、讨论法 教学过程： 一、20 世纪数学观的变化 （一）数学发展史上的四个高峰 2000 年 8 月，在日本东京举行了国际数学教育大会，大会主席藤田宏教授提到数学发展史上的四个高峰（引用时有所修改）： 几何原本 为代表的古希腊的公理化数学（公元前 700-300）； 牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学 （17-18 世纪）； 以希尔伯特为代表的现代公理化数学（19-20 世纪中叶）； 12 以现代计算机技术为代表的信息时代数
27、学（20 世纪中叶 今天）。 各个数学高峰的特征：古希腊数学比较注重严密性； 无穷小算法数学十分有用； 现代公理化数学注重形式化； 信息时代数学 注重联系与应用。（二）20 世纪的数学观 数学不等于逻辑。 数学不等于形式。 3、注重数学的应用性。 4、注重数学的文化价值。 二、 20 世纪数学教育观的变化 （一）由关心教师的“ 教” 转 向也关注学生的“学” 1951 年,新中国首个中学数学课程标准草案中把课堂教学等同于“讲授” ，而对课堂教学的基本要求是：“ 讲授须依教案进行，并须随时注意班情，加以变通。口齿 要清楚，板书要整齐，画图要正确而有普遍性。多发问题，随机开导。上堂时须照顾前课，下
28、堂 时须总结大纲。” 1963 年，全日制中学数学教学大纲（草案）发表，教学大纲主要论述教的问题，很少直接 论述学生的数学学习问题，以“ 教”为主的思想比较突出。 1982 年，从我国公布全日制六年制重点中学数学教学大纲（征求意见稿）中可见，当时我国教育界已经对学生的学习积极性、认识规律以及能力的发展表示了较大的关注。 1996 年，我国发表全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用），由该大纲可见， 20 世纪末，学生在教学中的主体地位已经明确。 （二） 从“双基 ” 与“三力”观点的形成， 发展到更宽广的能力观和素质观 20 世纪 50 年代，我国重视讲授“数量计算，空 间形式及其相互关系之
29、普通知识为主”， 1954 年发表的 中学数13学教学大纲（修订草案）指出，重视“双基”。 从 60 年代开始，“双基”和“三力” 一直成为我国大陆数学教学的基本要求。 1982 年全日制六年制重点中学数学教学大纲（征求意见稿），明确地指出了“ 双基”和“三力” 的关系，我国不但要求学生掌握“ 双基” 和“三大能力”，对数学思想方法的学习，也提出了明确的要求。 1996 年，我国全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）对“ 基础知识” 和“基本技能” 的学习要求分别给予了明确的界定，该大纲中增加了培养学生“分析和解决 实际问题的能力”的提法。 进入 21 世纪，我国全日制义务教育数学课程标准
30、（实验稿）于 2001 年发表，普通高中数学课程标准（实验）于 2003 年问世，上述两个标准提出了数学教学的许多新理念。提出了新的数学能力观。 （三）从听课、阅读、演题，到提倡 实验、 讨论、探索的学习方式 1、重视解题训练，要求逐步明确 20 世纪 5090 年代，我国一直把解题训练视为数学教学的重要组成部分。 1951 年，我国中学数学课程标准草案关于“演题 ”的要求是：“演题是透彻理论，熟练方法，触 类旁通，学以致用的不二法门，学者必须认真耐烦，及 时演就，妥善保存”。 1963 年，我国全日制中学数学教学大纲（草案）对于数学练习的处理作了更详细的说明。 明确了数学练习的目的； 指出了
31、数学 练习 的分量应该适当控制； 阐述了练习的组织安排，即先复习，再练习；循序渐进，先作基本题，再做综合题；提出了保证练习收到效果的要领，包括仔细审题，独立思考，格式规范，认真批改，及时纠正。 2、提倡实验与探索，鼓励合作与交流 进入 21 世纪以来，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了显著的变化，开始注重创新意识和探索能力的培养。 （四）从看重数学的抽象和严谨，到关注数学文化、数学探究和数学应用 1951 年，我国中学数学课程标准草案对数学的应用价值以及它的思维训练价值都给予同样的重视。 1963 年，我国全日制中学数学教学大纲（草案）对于数学教学中理论联系实际的问题作了适当的调整，是对1
32、41958-1962 年间勉强盲目地联系实际的一种批评与反思。 在 1966-1976 年间，我国教育面临一场浩劫。直到 1976 年文化革命结束， 1977 年恢复高考，学校的教学秩序才得以正常。 1992 年九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲反映了人们对理论联系实际的新认识。 2001 年全日制义务教育数学课程标准（实验稿）把“应用意识” 作为该标准中的关键词，要求在中小学数学教学中予以贯彻实施。 2003 年普通高中数学课程标准（实验）把“数学应用意识” 作为高中数学课程的基本理念之一。该大纲把发展数学应用意识和提高实践能力结合起来，作为对数学学习的基本要求。 第三章 数学教育的基本
33、理论 课题: 数学教育的基本理论 内容提要： 1. 弗赖登塔尔的数学教育理论 2. 波利亚的解题理论 3. 建构主义的数学教育理论 4. 我国“双基 ”数学教学的成功与不足 教学目标：通过本章的学习，使学生掌握数学教育的一些基本理论,并形成对我国“ 双基”数学教学的正确认识，能用辨证思维方法分析问题。 教学重、难点：重点掌握弗赖登塔尔的数学教育理论，确定我国“ 双基”数学教学的成功与不足为本章的教学 难点。教学方法：讲授法 教学过程： 一、弗赖登塔尔的数学教育理论 （一）“数学现实 ”原则 弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于 现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数1
34、5学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学 过程中，教 师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。在运用“ 现实的数学” 进行教学时，必须 明确认识以下几点： 第一，数学教学内容来自于现实世界把那些最能反映现代生产、 现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容 第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“ 现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中
35、去 第三，数学教育应该为所有的人服务， 应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。 （二）“数学化 ”原则 弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。 现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。 对于前者，基本流程是： 1、确定一个具体问题中包含的数学成分； 2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系； 3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化； 4、找出蕴含其中的关系和规则； 5、考虑相
36、同数学成分在其他数学知识领域方面的体现； 6、作出形式化的表述。 对于后者，基本流程是： 1、用数学公式表示关系； 2、对有关规则作出证明； 163、尝试建立和使用不同的数学模型； 4、对得出的数学模型进行调整和加工； 5、综合不同数学模型的共性，形成功能更 强的新模型； 6、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法； 7、作一般化的处理、推广。 （三）“再创造 ”原则 弗赖登塔尔说的“ 再创造”，其核心是数学过程再现。学生“再创造” 来学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程，这也是目前数学教育的一个重要观点。需要特别注意的是，弗赖登塔
37、尔的数学教育理论不是“ 教育学+ 数学例子” 式的论述， 而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有 “数学现实” 、“数学化”、“ 数学反思”、“ 思辩数学”等诸多特有的概念。他的著作多数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经历，思辩性的论述比较多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实，他的许多研究成果尚未被大家仔细研究，有兴趣的读者不妨阅读他的著作。 二、波利亚的解题理论 （一）波利亚对数学教育的基本看法 波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考” ，这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维。数学教
38、育中注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感体验等非智力品质的重要性。要成为一个好的解题者，如果“头脑不活动起来,是很 难学到什么东西的,也肯定学不到更多的东西”。“学东西的最好途径是亲自去发现它”, 最富有成效的学习是学生自己去探索、去“发现”。 教学是一门艺术。教学过程本身应该遵循一些规律性的东西,并尤其强调兴趣对学生学习数学的重要性。 （二）波利亚关于解题的研究 波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成怎样解题一书。这本书的核心是他分解解题的思维过17程得到的一张“ 怎样解题”表，并以例题表明这张表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表，是对该表的进一步阐述和注释。 怎样解题表包
39、括“ 弄清问题 ”、“拟定计划” 、“实现计划” 和“回顾”四个阶段。 “弄清问题”是认识、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；“ 拟定计划”是关键环节和核心内容；“实现计划” 较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置；“回顾” 是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来。其中，他对第二步即“拟定计划” 的分析是最为引人入胜的。 他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接 联系，你可能不得不考 虑辅助问题。最终得出一个求解计划。 ”他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和 23 个具有启发 性的问题，它们就好比
40、是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头” ，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。 三、 建构主义的数学教育理论 （一）建构主义概述 建构主义(constructivism)有时候也译作结构主义，理论根源可追溯到 2500 多年前。 现代建构主义主要是吸收了杜威的经验主义和皮亚杰的结构主义与发生认识论等思想，并在总结 60 年代以来的各种教育改革方案的经验基础上演变和发展起来的。 在教育领域中常常谈论的建构主义具有认知理论和方法论的双重身份。 1. 构主义理论关于数学教育的一些基本认识 1、数学知识是什么 数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征，它
41、只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说。它不是 问题的最终答案，它必将随着人 们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。 数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来的，取决于特定情况下的学习活动过程。否 则，就不叫理解，而是叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式18的学习。 2、学生如何学习数学 学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无法由他人来代替的。 学习不是被 动接收信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背景
42、,对外部信息进行主动地 选择、加工和处理，从而获得自己的意义。外部信息本身没有什么意义，意 义是学习者通过新旧知识经验间的反复的、双向的相互作用过程而建构成的。因此，学习不是象行为主义所描述的“ 刺激反应”那样。 学习意 义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解。在这一过程中，学习者原有的知识经验因为新知识经验的进入而发生调整和改变。3、教师如何开展课堂教学 与传统教学的三个假设相对应的是，建构主义指导下的课堂教学是基于如下三个基本假设： 教师必 须建立学生理解数学的模式。教师应该建立反映每个同学建构状况的“卷宗” ，以便判定每个学生建构能力的强
43、弱； 教学是师生、生生之间的互动； 学生自己决定建构是否合理。 根据上述教学目的和假设，一个数学教师在建构主义的课堂上就需要做以下六件事： 加强学生的自我管理和激励他们为自己的学习负责； 发展学生的反省思维； 建立学生建构数学的“ 卷宗 ”； 观察与参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动； 反思与回顾解题途径； 明确活动、学习材料的目的。 19需要强调的是：对于建构主义学说， 我们应当吸取精华，拒绝一些“ 极端的”、“ 唯心”的成分， 以便真正有助于我国的教育改革。 四、 我国“ 双基”数学教学的成功与不足 （一） “双基”“数学基础知识”和“数学基本技能” “双基”数学教学理论的基本内容可以
44、概括 为：一个 统一，两个基础，三大能力，四个 结合，五个 环节。 1、全国统一的课程与考试制度 2、打好两个基础：基础知识和基本技能 3、培养三大能力：基本运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力 4、提倡四个结合：教师主导作用和学生的主体作用相结合；抽象理论和具体实践相结合；有效讲授和变式演练相结合；（4）逻辑严密和淡化形式相结合。 1. 课堂教学实行 5 个环节的模式：复习旧课导入新课讲授讨论巩固练习布置作业。 （二） “双基”数学教学理论 的独特认识 1、运算速度 2、知识的记忆 3、适度形式化的逻辑要求 4、重复训练 （三） “双基”数学教学理论 的形成 1、“双基数学教学”是中国传统文
45、化的一种传承。 2、中国千余年“考试文化”下的教育评价体系， 是形成“双基” 数学教学理论的重要动因。 （四）“双基”数学教学过程 （1）“启发式”教学 （2）“精讲多练 ” （3）“变式练习 ” （4）“小步走，小转弯， 小坡度” 的三小教学法 20（5）“大容量、快节奏、高密度” 的复习课 近年来， 我国数学教学在“双基”数学教学的基础上已经有所发展。 例如， 开展数学思想方法的教学，倡 导数学开放题的教学，提倡“研究性学习”， 加强数学建模的教学， 进行数学应用题的解题训练等等， 这对提升中国“双基”数学教学的品位有很大帮助。但是， 这些新的教学策略， 应该和“ 双基”教学密切结合，而不
46、应该互相对立，互不联系，各搞一套。 问题与思考： 1、简述各数学教育基本理论的主要观点。 2、我国的“ 双基”教学是否能成为一种理论？如何才能使它成为一种科学的理论？第四章 数学教育的核心内容课题：数学教育目标的确定和数学能力的界定 教学目的： 通过本课题的学习使学生了解数学教育目标、数学能力观的历史变迁,掌握确定中学数学教育目标的主要依据，树立正确的数学能力观。 内容提要： 1、数学教育目标的确定 2、数学能力观 教学重点、难点： 确定中学数学教育目的的主要依据、数学能力观的界定 教学方法： 讲授法、讨论法 教学过程： 一、 数学教育目标的确定 （一）数学教育的基本功能 思考与讨论：“ 为什
47、么要学 习数学” ？ 可能回答是： 21答案 A：“数学有用 ”。 俗话说：“学了语文会写信，学了数学会算帐。” 答案 B：“数学能训练人的思维”。 一句名言说：“数学是思想的体操。” 答案 C：“数学是升学的主课”。 常言道：“数学是筛选人才的过滤器” 。 这是很有代表性的关于数学教育目标的回答。代表着三种对数学教育功能的不同看法： 1、实用性功能。强调数学教育的实用性目标。 2、思维训练功能。强调数学教育的思维训练和公民素质养成的目标。 3、选拔性功能。 强调数学教育在选拔人才中的特殊目标。 对于“教育目 标” 这个词，许多教育文件和论著都会提到，但提法却并非一致。 无论“ 教育目标”，
48、还是“教学目标”，“课 程目标” ，提法上大同小异。 这里不把目标与目的加以区分。数学教育目的则指数学教育的总目标，表现出普遍的、总体的、终极的价值。 （二）我国 20 世纪数学教育目标的变迁 1、1922 年 11 月 1 日北京政府公布学校系统改革令，1923 年 6 月刊布初级中学算学课程纲要，其中规定的教学目的是： 1. 使学生依据数理关系， 推出事物的当然结果； 2. 供给研究自然科学的工具； （3）? 适应社会上生活的需要； （4）? 以数学的方法 发展学生的 论理能力。 2、1951 年的数学教学大纲规定的教学目的是： （1）形数知识：本科讲授数量计算、空间形式及其相互关系之普通
49、知识为主； （2）科学习惯：本科教学须因数理之严谨以培养学生观察、分析、归纳、判断、推理等科学 习惯，以及探 讨的精神，系统的好风尚 （3）辩证思想： 本科教学须相机指示因某数量(或形式)之变化所引起之量变质变；藉以启发学生之辩证思想 （4）应用技能： 本科教学须训练学生熟悉工具(名词、记号，定理、公式、方法)使能准确计算、精密绘图，稳健地22应用它们去解决(在日常生活，社会经济及自然环境所遇到的)有关形与数的实际问题 分析：这一提法强调数学的实用功能。 3、1963 年，中国数学教育的重点有 变化。 数学教学的目的是： “使学生牢固地掌握代数、平面几何、立体几伺、三角和平面解析几何的基础知识，培养学生正确而且迅速的计算能力，逻辑推理能力和空间想象能力，以适 应参加生产劳动和进一步学习的需要” 分析：这一提法重点突出“三大能力” ，加 强了思维培养的功能，但却削弱了实用功能。 4、20 世纪
