1、11.1 班 沈阳 14 号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=ax 2+bx+c(a0,a、b、c 为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b/4a) ;顶点式：y=a(x-h)+k(a0,a、h、k 为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为 x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数 y=ax的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 仅限于与 x 轴即y=0 有交点 A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线 ,即 b2-4ac0 ：由一般式变为交点式的步骤：X1+x2=-b/
2、a x1x2=c/a y=ax+bx+c=a(x+b/ax+c/a)=ax;-(x1+x2)x+x1x2=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线 x = h 或者 x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点 P。特别地，当 h=0 时，二次函数图像的对称轴是 y 轴(即直线 x=0);a,b 同号，对称轴在 y 轴左 b=0,对称轴是 y 轴;a,b 异号，对称轴在 y 轴右侧2. 二次函数图像有一个顶点 P，坐标为 P ( h,k ) 当h=0 时，P 在 y 轴上;当 k=0 时，P 在 x 轴上。h=-b/2a k=(4a
3、c-b2)/4a3.二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大小。当 a0 时，二次函数图像向上开口;当 a0设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1， x2，即x1、 x2为方程 ax2+bx+c=0 的两个根，由题设 x1x20，故 b0， b2 ac|OA|=| x1|0， a(1) 2+b(1)+ c0，即 a+cb b， a+c 都是整数， a+c b+1 由，得 a+c2 +1，( )21，又由知，acca1， +1，即 a( +1)2( +1)2=4c1 a5，又 b2 2 4， b5c15取 a=5， b=5， c=1 时，抛物线 y=5x2+5x+1 满足题意故
4、a+b+c 的最小值为 5+5+1=11例 4 如果 y=x2( k1) x k1 与 x 轴的交点为 A，B，顶点为 C，那么ABC 的面积的最小值是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解：由于=( k1) 2+4(k+1)=(k+1)2+40，所以对于任意实数 k，抛物线与 x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1， x2，则：|AB|= 524)()( 212121 kxxx又抛物线的顶点 c 坐标是( )，4,k因此 SABC = 521k 322 )5(815k因为 k2+2k+5=(k+1)2+44，当 k=1 时等于成立，所以，S ABC ，故选 A1483例 5已知二次函
5、数 y=x2 x2 及实数 a2求：(1)函数在20 (1)设与 x 轴交点分别为 x1，x2则 x1+x2=-（k+2 ）0 （2）x1*x2=k+50 （3 ）解得-50，且 =b2 ac，求ac42b24 ac 的最小值解：令 y=ax2+bx+c，由于a0，则=b24 ac0，所以，此二次函数的图像是如图 2 所示的一条开口向下的抛物线，且与 x 轴有两个不同的交点 A(x1，0)，B( x2，0)因为 x1x2= 0，不妨设 x1x2，则 x10x2，对称轴acx= 0，于是b|x1|= ，cabac2424故 c= b4 a2 b24 ac4，当 a=1， b=0， c=1 时，等号成立因此， b24 ac 的最小值为 4A BOx1 x2yxC(0，c)图 21O1xy图 3
