1、(7) 指数与指数函数知识梳理1.指数（1）n 次方根的定义：若 xn=a，则称 x 为 a 的 n 次方根， “ ”是方根的记号.n在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质当 n 为奇数时， =a. 当 n 为偶数时， =|a|=n n).0(,（3）分数指数幂的意义a = （a0，m、n 都是正整数，n1）.na = = （a0，m、n 都是正整数，n1）.n12.指数函数（1）指数函数的定义：一般地，函数 y=ax（a0 且 a1）叫做指数函
2、数.（2）指数函数的图象：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称.（3）指数函数的性质：定义域：R .值域：（0，）.过点（0，1） ，即 x=0时，y=1.当 a1 时，在 R 上是增函数；当 0a1 时，在 R 上是减函数 .点击双基1. 等于（ ）36A. B. C. D. aaaa2.指数函数 的反函数的图象过点（2，1） ，则此指数函数的解析式为（ )(xfy）A. B. C. D.x)( xy2xy3xy103.若函数 y=ax+b1（a0 且 a1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0a1 且 b0 B.a1 且 b0C.0a1 且 b0 D.a1 且 b04.（2
3、008 重庆文 14）若 ，则 _.0x )(4)32()( 214341 xxx5.若直线 y=2a 与函数 y=|ax1|（a0 且 a1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_.6.函数 y= 的递增区间是_.2)1(xO x yO x yy=a x 1 1a ）1 y=a x ( (0 a 1)7. = _ 4837)2710(.)972(50典例剖析【例 1】 下图是指数函数（1）y=a x， （2）y=b x， （3）y=c x， （4）y=d x 的图象，则a、b、c、d 与 1 的大小关系是（ ）A.ab1cdB.ba1dcC.1abc dD.ab1dc【例 2】 已知 2
4、 （ ） x2 ，求函数 y=2x2 x 的值域.x41【例 3】 要使函数 y=1+2x+4xa 在 x（，1上 y0 恒成立，求 a 的取值范围.【例 4】已知 ，求函数 的最大值和最小值。0931xx 2)1(4)(xxyO xy1(1) (2) (3) (4)闯关训练1.已知 f（x）=a x，g（x ）= log bx，且 lga+lgb=0，a1，b1，则 y=f（x）与 y=g（x）的图象（ ）A.关于直线 x+y=0 对称 B.关于直线 xy=0 对称C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称2.下列函数中值域为正实数的是（ ）A.y=5 x B.y=（ ） 1x C.y= D.y
5、=31)2(x x213.（2011 年四川理 7）若 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则 的反)(xf 0)2(xf )(f函数的图象大致是（ ）4.（2011 年四川文 4）函数 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是（ ）1)2(xf5.函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的值为（ )(xf)2,()2,0(x12)(xf )31(log2f）A. B. C. D.2327136.化简 （a0，b0）的结果是_.3421)(ba7.（2008 江西理 14）不等式 的解集是_.213x8.函数 在 上的最小值是_.xxf243)(),09.若定义运算 ，则函数 的值域为_.
6、b,a -x3)(f10.若 a2x+ ax 0（a0 且 a1） ，求 y=2a2x3a x+4 的值域.111.解方程 4x+|12 x|=11.12.若关于 x 的方程 25| x+1|45 |x+1| m=0 有实根，求 m 的取值范围.13.设 且 ，函数 在 上的最大值是 14，求 的值。0a112xay, a(7) 指数与指数函数知识梳理1.指数（1）n 次方根的定义：若 xn=a，则称 x 为 a 的 n 次方根， “ ”是方根的记号.n在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次
7、方根是 0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质当 n 为奇数时， =a. 当 n 为偶数时， =|a|=n n).0(,（3）分数指数幂的意义a = （a0，m、n 都是正整数，n1）.na = = （a0，m、n 都是正整数，n1）.n12.指数函数（1）指数函数的定义：一般地，函数 y=ax（a0 且 a1）叫做指数函数.（2）指数函数的图象：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称.（3）指数函数的性质：定义域：R .值域：（0，）.过点（0，1） ，即 x=0时，y=1.当 a1 时，在 R 上是增函数；当 0a1 时，在 R 上是减函数 .点击双基1. 等于（ ）36 O x
8、 y O x yy=a x 1 1a ）1 y=a x ( (0 a 1)A. B. C. D. aaaa解析： =a （a） =（a） =（a） .36316161321答案：A2.指数函数 的反函数的图象过点（2，1） ，则此指数函数的解析式为（ )(xfy）A. B. C. D.x)( xy2xy3xy10答案：A3.（2004 年湖北，文 5）若函数 y=ax+b1（a0 且 a1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0a1 且 b0 B.a1 且 b0C.0a1 且 b0 D.a1 且 b0解析：作函数 y=ax+b1 的图象.答案：C4.（2008 重庆文 14）若 ，则 _.0
9、x )(4)32()( 2141341 xxx答案：23.5.（2004 年湖南，文 16）若直线 y=2a 与函数 y=|ax1|（a0 且 a1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_.解析：数形结合.由图象可知 02a1，0a .21答案：0a 216.函数 y= 的递增区间是_.)(x解析：y=（ ） x 在（，+）上是减函数，而函数 y=x22x+2=（x1） 2+1 的21递减区间是（，1 ，原函数的递增区间是（，1.答案：（，17. = _ 4837)270(.)972(50答案：100典例剖析【例 1】 下图是指数函数（1）y=a x， （2）y=b x， （3）y=c x
10、， （4）y=d x 的图象，则a、b、c、d 与 1 的大小关系是A.ab1cd B.ba1dcC.1abc d D.ab1dc剖析：可先分两类，即（3） （4）的底数一定大于 1， （1） （2）的底数小于1，然后再从（3） （4）中比较 c、d 的大小，从（1） （2）中比较 a、b 的大小.解法一：当指数函数底数大于 1 时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于 y 轴；当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于 x 轴.得O xy1(1) (2) (3) (4)ba1dc.解法二：令 x=1，由图知 c1d 1a 1b 1，ba1dc.答案：B【例 2】
11、已知 2 （ ） x2 ，求函数 y=2x2 x 的值域.x4解：2 2 2（x2） ，x 2+x42x，即 x2+3x40，得4x1.又xy=2 x2 x 是 4，1上的增函数， 2 4 2 4y 22 1 .故所求函数 y 的值域是， .1653【例 3】 要使函数 y=1+2x+4xa 在 x（，1上 y0 恒成立，求 a 的取值范围.解：由题意，得 1+2x+4xa0 在 x（，1上恒成立，即 a 在x421x（，1上恒成立.又 =（ ） 2x（ ） x=（ ） x+ 2+ ，当x421x（，1时值域为（， ，a .343评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的
12、方法.【例 4】已知 ，求函数 的最大值和最小值。0931xx 2)1()(xxy解：由 ，得 ，解得 ， 。令 ，09xx 093)(1x 93x20xtx)1(则 ，14t，当 即 时， ；当 即 时，1)2(42tty 2t1x1minyt0x2maxy闯关训练夯实基础1.已知 f（x）=a x，g（x ）= log bx，且 lga+lgb=0，a1，b1，则 y=f（x）与y=g（ x）的图象（ ）A.关于直线 x+y=0 对称 B.关于直线 xy=0 对称C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称解析：lga+lgb=0 ab=1.g（x）=log bx=log a1 x=logax.
13、f（x）与 g（ x）的图象关于 y=x 对称.答案：B2.下列函数中值域为正实数的是（ ）A.y=5 x B.y=（ ） 1x C.y= D.y=31)2(x x21解析：y=（ ） x 的值域是正实数，而 1xR，y =（ ） 1x 的值域是正实数.31 3答案：B3.（2011 年四川理 7）若 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则 的反)(xf 0x1)2(xf )(xf函数的图象大致是（ ）【答案】A【解析】当 0x时，函数 ()fx单调递减，值域为 (1,2)，此时，其反函数单调递减且图象在 1与 2之间，故选 A4.（2011 年四川文 4）函数 的图象关于直线 y=x 对称的图
14、象像大致是1)2(xf【答案】A【解析】1()2xy图象过点 (0,2)，且单调递减，故它关于直线 y=x 对称的图象过点(2,0)且单调递减，选 A5.函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的值为)(xf)2,()2,0(x12)(xf )31(log2f（ ）A. B. C. D.23713答案：A6.化简 （a0，b0）的结果是_.3421)(ba解析：原式= = = = .31223)(ab3716ba372460ba答案： ba7.（2008 江西理 14）不等式 的解集是_.213x答案： 1,0(3,(8.函数 在 上的最小值是_.xxf24),0答案：29.若定义运算 ，
15、则函数 的值域为_.b,a -x3)(f答案： 1,0(10.若 a2x+ ax 0（a0 且 a1） ，求 y=2a2x3a x+4 的值域.解：由 a2x+ ax 0（a0 且 a1）知 0a x .1令 ax=t，则 0t ，y =2t23t+4.借助二次函数图象知 y3，4）.111.（2004 年全国，18）解方程 4x+|12 x|=11.解：当 x0 时，12 x0.原方程 4x 2x10=0 2x= 2x= 0（无解）或112x= + 1 知 x0（无解）.当 x0 时，12 x0.原方程 4x+2x12=0 2x= 2x=4（无解）或 2x=3 x=log23（为原方17程的
16、解）.探究创新12.若关于 x 的方程 25| x+1|45 |x+1| m=0 有实根，求 m 的取值范围.解法一：设 y=5|x +1|，则 0y1，问题转化为方程 y24ym=0 在（0，1内有实根.设f（y）= y24ym，其对称轴 y=2，f（0）0 且 f（1）0，得3m0.解法二：m=y 24y，其中 y=5|x+1| （0，1 ，m =（ y2） 243，0）.13.设 且 ，函数 在 上的最大值是 14，求 的值。0a12xa, a解：令 ，则原函数可化为 ，令 ，则函数),(atx且 )0(2)1(tty )(tfy2)(tf的图像的对称轴为 ，开口方向向上。1t当 时，
17、， ，此时， 在 上为增函数，10a,x1,atx)(tf,a ， ， ，又 ， 。42)1()(maxftf 6)(2315或 0a31当 时， ， ，此时， 在 上为增函数。1a1,x,1atx)(tf1,a ，解得 ， 或 。42)()(maftf 舍 去 ）5(33思悟小结1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数 y=ax（a0，a1）的图象和性质受 a 的影响，要分 a1 与 0a1 来研究.3.指数函数的定义重在“形式” ，像 y=23x，y=2 ，y=3 ，y=3 x+1 等函数都不符12x合形式 y=ax（a 0，a1） ，因此，它
18、们都不是指数函数.教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为 a2x+bax+c=0 或 a2x+bax+c0（0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例【例 1】 若 60a3，60 b5.求 12 的值.)1(2ba解：a=log 603， blog 605，1b1log 605log 6012，1ab1log 603log 605log 604， log 124，12log6012 12 12 2.)1(2ba4l122log1【例 2】 方程 2x=2x 的解的个数为_.解析：方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图）.x y O2211由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.
