1、1第1部分消费者行为理论 第1章消费者的最优决策 第2章比较静态分析 第3章显示偏好理论 第4章需求 第5章消费者的福利变化 第6章库恩-塔克条件 第7章不确定条件下的个人选择2第6章库恩-塔克条件（KuhnTucker condition）一、KT条件 在最优化问题中，若选择变量要求非负约束条件是不等式则需要用KT条件来解决问题。1、KT条件初步理解（1）关于选择变量非负的要求()0Maxyfxstx=()0,0,()0=fxxandfxx3第6章库恩-塔克条件（2）关于约束条件是不等式的要求：在（1）的基础上加入不等约束的要求1231123121232123(,). (,)(,),0xMa
2、xyfxxxstgxxxrgxxxrxxx=（P1）且4第6章库恩-塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第一步：加入两个虚设变量s1、s2 0，将（P1）处理成以下的等价形式（P2）。（即：去掉不等式约束条件）123,11231121232212312(,). (,)(,),0xsMaxyfxxxstgxxxsrgxxxsrxxxss=+=+=（P2）且5第6章库恩-塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第二步：假设去掉选择变量的非负要求，于是有：12312121231 12312212321231212(,)(,)(,)(,).000ZxxxssfxxxrgxxxsrgxxxszzzFOC
3、xxxzzsszzllll=+=（P2）6第6章库恩-塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第三步：加上选择变量非负的要求。于是，.0,001,2,3(1)0,001,2(2)(3)jjiiiFOCzzxandxjxxsandsisszl=改写为：7第6章库恩-塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第四步：再加上不等式约束的要求（即消去si）。00000(4)()0()()00()(5)()000(6iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizssszrgssrgr rgzsrgzzllllllllll=由（2）式得，于是（2）式可改写为： ， 且由（3）式得，于是（4）式可写成： ，
4、 且（ ）=0如果在（P2）中消去，则有于是（5）式可写为 ， 且 )8第6章库恩-塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导最后，将式（1）和（6）结合在一起，便得到非负以及不等式约束下的（P1）最优解的条件，即K-T条件。0,001,2,30,001,2=jjiizzxandxjxxandill边际条件非负条件互补松弛条件9第6章库恩-塔克条件2、KT条件的标准形式 （1）极大值问题：121212(,.,). (,.,)1,2,.,.,0nxininMaxfxxxstgxxxrimxxx=10第6章库恩-塔克条件（1）极大值问题：12112121(,.,.,)(,.,)(,.,)0,001,2
5、,.,0,001,2,.,nmminiinjjjjiiiiZxxxfxxxrgxxxKTzzxxjnxximlllllll=+=拉格朗日函数：条件：且且11第6章库恩-塔克条件（1）极大值问题：数学定理：如果f 函数是凹函数，是凸函数，则K-T条件是极大值的充要条件。ig12第6章库恩-塔克条件（2）极小值问题：121212n(,.,). (,.,)1,2,.,.,0nxininMifxxxstgxxxrimxxx=13第6章库恩-塔克条件（2）极小值问题：12112121(,.,.,)(,.,)(,.,)0,001,2,.,0,001,2,.,nmminiinjjjjiiiiZxxxfxxx
6、rgxxxKTzzxxjnxximlllllll=+=拉格朗日函数：条件：且且14第6章库恩-塔克条件（2）极小值问题：数学定理：如果f 函数是凸函数，是凹函数，则K-T条件是极小值的充要条件。ig15第6章库恩-塔克条件3、对KT条件的理解（1）关于极大值问题的KT条件121212(,.,). (,.,)1,2,.,.,0nxininMaxfxxxstgxxxrimxxx=16第6章库恩-塔克条件3、对KT条件的理解（1）关于极大值问题的KT条件命题如果g(x)是凸函数，则g(x)r的水平集合（即下等值集）必定是一个凸集合。17第6章库恩-塔克条件证明：图示121212121212(x)()
7、,()(x)(1)()(1)()(1)(x)(),(),(1) (x)ggrgrggtttgtgtrtrrggrgrgttrgr+=+1n令x，x为定义域上的任意两点，（其中x=(x,.x)）根据约束条件有 xx（1）因为是凸函数，故有:xxxx说明：对于是凸函数来说，如果 xx则有 xx。凸函数关于的下等值集必定是一个凸集合。18第6章库恩-塔克条件3、对KT条件的理解（1）关于极小值问题的KT条件121212n(,.,). (,.,)1,2,.,.,0nxininMifxxxstgxxxrimxxx=19第6章库恩-塔克条件3、对KT条件的理解（1）关于极小值问题的KT条件命题如果g(x)
8、是凹函数，则g(x)r的水平集合（即上等值集）必定是一个凸集合。20第6章库恩-塔克条件证明：图示121212121212(x)(),()(x)(1)()(1)()(1)(x)(),(),(1) (x)ggrgrggtttgtgtrtrrggrgrgttrgr+=+1n令x，x为定义域上的任意两点，（其中x=(x,.x)）根据约束条件有 xx（1）因为是凹函数，故有:xxxx说明：对于是凹函数来说，如果 xx则有 xx。凸函数关于的上等值集必定是一个凸集合。214、库恩-塔克充分性定理定理：给定非线性规划如果满足以下条件：（a）目标函数f(x)在非负象限连续可微，且为凹函数；（b）每个约束条件
9、g(x)在非负象限连续可微，且为凸函数；（c）点满足KT极大值条件。那么，为=f(x)的整体极大化解。11,2()(). ()0=LLniiimMaxfxxxxstgxxpg且xx22第6章库恩-塔克条件证明：上述极大值问题对应的拉格朗日函数可以写为凹函数 凹函数z(x)为凹函数由凹函数的性质可知：过凹函数z( )点作切线，则在任意的x点上，有1()()imiiiZfxrgxl=+ （1）1j()()=+njjjzZxZxxxxx（） （2）xx23第6章库恩-塔克条件=+=+Qnjjj1 jj12m1jjj212mjjjjxz(x)z(x)xZ(x)zZ(x)Z(x)(xx)x(2 TTzz
10、Tx0(0x0)xxTx0 x0)TT0z(xx)0xz(x)z(x),第一步：给定、，要证明： 。由于 是凹函数，因此有（2）式右边第二部分可以拆分为 ，其中边际条件 。且 。互补松弛条件 (3)241111()()()(),()() ()() (3)()0,()0()()0=+Qmmiii iiiimiiiiiiimiiiixfxfxxzxzxxfxrgxfxrgxx rgxrgxrgxlllll第二步：给定 、，要证明： 。由第一步证明的结果（3）式，即再根据（1）式，可得首先，对于不等式左边的 部分而言，根据不等式约束条件然后，对于111()() 0()()0()(),=Qmiiiim
11、iiiiimiiii rgxzrgxrgxfxfxxlllll不等式右边的 而言，根据互补松弛条件因此，由（1）可得： 251111()()()(),()() ()() (3)()0,()0()()0=+Qmmiii iiiimiiiiiiimiiiixfxfxxzxzxxfxrgxfxrgxx rgxrgxrgxlllll第二步：给定 、，要证明： 。由第一步证明的结果（3）式，即再根据（1）式，可得首先，对于不等式左边的 部分而言，根据不等式约束条件然后，对于111()() 0()()0()(),=Qmiiiimiiiiimiiii rgxzrgxrgxfxfxxlllll不等式右边的 而
12、言，根据互补松弛条件因此，由（1）可得： 26第6章库恩-塔克条件第三步：证明 是整体极大值。整体性定理：如果可行集F是一个闭凸集，并且目标函数在可行集中是一个连续的凹（凸）函数，则（a）任何一个局部极大值（极小值）也将是一个整体极大值（极小值）。且（b）集合F中使得目标函数最优化的点将构成一个凸集。如果目标函数在可行集中恰好是严格凹（凸）函数，那么整体极大值（极小值）将是唯一的。f(x)p =27第6章库恩-塔克条件二、效用最大化问题的KT条件lllll1212x,x1122121212112211111222221122Maxuf(x,x)s.t.pxpxmx,x0(x,x,)f(x,x)
13、(mpxpx)KTfp0x0(1)xxfp0x0(2)mpxpx00(3)条件：=+=+-=- =- =- =28第6章库恩-塔克条件 讨论：求x1,x2case 1: x10, x201112222111222120,000,00,=lQlQxiefpxiefpxfpfforfppplll29讨论：求x1,x2case 2: x1=0, x201111111111111222222211112212200100200000000=0, x2=0fxiefpxpfxiefpxxxpffpxpfxiexpfffpxxppfplllllll=11111122222222222222212111212220,000,0(1)0(0,)(2)0()0,00,0lQllQll。无意义。综合，在 的最优组合时，有
