1、求函数的高阶导数常用方法 （一）逐阶整理法 例1、 求() sinxf xe x=的n阶导数（解略） （二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式 （1）()() ( 1)( 1)nnx nx = +“ （2）()() (ln)x nx naaa=， ()(e ) ex nx= （3）()(sin( ) sin ( )2nnax b a ax b n+= +， ()(cos( ) cos ( )2nnax b a ax b n+= +（4）()11()!nnnnxx+=， ()11(1)!()nnnnnaax b ax b+ =+（5）1()(1) ( 1)!(l
2、n )nnnnxx =， 1()(1) ( 1)!(ln( )()nnnnnaax bax b +=+例2、求下列函数的n阶导数 （1）1()(1 )fxx x=（2）()1nxfxx=（3）2221()fxabx=（4）() cos cos2f xxx= （三）利用莱布尼茨公式 例3、求函数ln()xfxx=的n阶导数 例4、求函数2() (1 )nf xx=的n阶导数 （提示：() (1 ) (1 )nnf xxx= +） （四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式 例5 、设arctany x=，求()0nxy=解：由211yx=+， 得 2(1
3、) 1yx += 对上式两边求n阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得 (1) 2 () (1)(1)(1 ) 2 2 02nn nnnyxnyx y+ + + = 即 2(1) () (1)(1 ) 2 ( 1) 0nn nxy nxy nn y+= （高阶导数的递推公式） 令0x =，得 (1) (1)00(1)nnx xynny+= = 又由(0) 0y =，(0) 1y =，故 ()00 , 2(1) (2)!, 2 1nkxnkyknk= =+当当例6 、设arcsinyx=，求()0nxy=解：由211yx=，3 2222111(1 )xxyyxxx =，则 2(1 )y xyx =
4、对上式两边求n阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得 (2) 2 (1) () (1) ()(1)(1 ) ( 2 ) ( 2) 12nn nnnnny x ny x y y x ny+ + + + = + 整理，得 2(2) (1) 2()(1 ) (2 1) 0nnnxy n xy ny+= 令0x =，得 (2) 2()nny ny+= （高阶导数的递推公式） 又由(0) 0y =，(0) 0y =，故 ()200 , 2(2 1)! , 2 1nxnkyknk= =+当当（五）分段函数分界点处的高阶导数用定义 例7、研究3()f xx=在0x =处的各阶导数 （提示33, 0( ) 0, 0, 0xxfx xxx = =）
