1、绝密 启用前 江苏省 2017年普通高校专转本选拔考试 高等数学 试题卷 注 意事项 ： 1 本 试卷分为 试题卷 和答 题卡两 部分 试题 卷共 3 页， 全卷 满分 150 分 ，考试 时间 120 分钟 2 必须在 答题 卡上作 答， 作答 在试题 卷上无 效， 作答 前务必 将自己 的姓 名和准 考证 号准确 清 晰 地 填写在 试题 卷和答 题卡 上的指 定位 置 3 考 试结束时 ，须将 试题 卷和答 题卷 一并交 回 一、选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答 题卡上将所选的字母标号涂黑） 1设 () f x 为连续函数，则
2、0 ()0 fx 是 () f x 在点 0 x 处取得极值的（ D ） A充分条件 B必要条件 C 充分必要条件 D非充分非必要条件 2当 0 x 时，下列无穷小中与x等价的是（ B ） A tan sin x x B11 x x C 11 x D1c o s x 3 0 x 为函数 e1 0 20 () 1 sin 0 x x x fx xx x 的（ A ） A可去间断点 B跳跃间断点 C 无穷间断点 D连续点 4曲线 2 2 68 4 xx y x x 的渐近线共有 ( C ) A1 条 B2 条 C 3 条 D4 条 5设函数 () f x 在点 0 x 处可导，则有（ D ） A
3、0 () ( ) lim (0) x fx f x f x B 0 (2 ) (3 ) lim (0) x fxfx f x C 0 ()( 0 ) lim (0) x fxf f x D 0 (2 ) ( ) lim (0) x fxfx f x 6若级数 1 (1 ) n p n n 条件收敛，则常数 p的取值范围为（ C ） A 1 ) ， B (1 ) ， C (0 1 ， D (0 1) ， 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 7设 1 lim( ) e d a xx x x x x ，则常数a 1 a 1 11 lim( ) lim(1 ) e xx x
4、x x x x ， ed e e a a x xa x ，所以 1 a 8设函数 () yfx 的微分为 2 ded x yx ，则 () f x 2 () 2 e x fx 2 () e x fx ， 2 () 2 e x fx 9设 () yyx 是由参数方程 3 31 1s i n xtt yt 确定的函数，则 (1 , 1) d d y x 1 3由 1 x ， 1 y 得 0 t ， (1 , 1) d d y x 2 00 dc o s1 d333 tt yt xt 10设 () c o s Fxx 是函数 () f x 的一个原函数，则 () d xfxx cos sin x x
5、xc ( )d dcos cos cos d cos sin xfxxxxxx xxxx xc 11设a 与b 均为单位向量，a 与b 的夹角为 3 ，则ab 3 1 | | c o s (,) 2 ab ab ab ， 22 2 ( ) 2 111 3 ab ab a abb 12幂级数 1 4 n n n n x 的收敛半径为 4 1 1 111 4 lim lim 44 4 n nn n n n n n ，所以，收敛半径 4 R 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分） 13 求极限 2 0 0 (e 1)d lim tan x t x t x x 解 2 2 2
6、0 22 000 (e 1)d e1 lim lim lim 1 tan sec 1 tan x t x xxx t x xx x x 14 设 (,) zzxy 是由方程 ln 0 zzx y 确定的二元函数，求 2 2 z x 解 1 0 zz y x zx ， 1 zy z x z ， 22 2 22 2 11 () 0 zzz xzxz x ， 22 2 23 1 () (1 ) (1 ) zzy z xz z xz 15求不定积分 2 d 3 x x x 解 2 d 3 x x x 2 3 3 x t xt 令 22 42 (3 ) 2d 2 ( 6 9 ) d t tt t t t
7、 t 531 53 222 12 2( 2 9 ) ( 3) 4( 3) 9( 3) 55 tttcx x x c 16计算定积分 1 2 0 arcsin d x xx 解 11 1 1 22 2 22 2 2 0 00 0 11 arcsin d arcsin d ( arcsin d arcsin ) 22 x xx xx x x x x 11 1 2 2 22 2 000 2 11 ( arcsin d arcsin ) ( d ) 22 2 4 1 x x xxx x x sin x t 令 2 66 00 11 1 c o s 2 (s i n d )( d ) 22 4 22 4
8、 2 t tt t 6 0 111 1133 3 (s i n 2 ) )() ) 22 4 2 2 22 4 26 4 4 8 tt 17设 2 () zy fyx y ， ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z x y 解 设 2 uy ，vx y ，则 () zy fuv ， ，于是有 2 2 zffv yyy f x xv x ， 2 22 222 22 22() fff zu v yf y yf y xyyu y v y 23 2 2 21 22 2 21 22 2( 2) 22 yf y yf xf yf y f xy f 18 求通过点 (1 , 1 , 1) 且与直线
9、111 121 x yz 及直线 43210 50 xyz xyz 都垂直的直线方程 解 依题意直线 111 121 x yz 的方向向量 1 (1 , 2 ,1 ) s ，直线 43210 50 xyz xyz 的方向向量 2 432( 5 ,2 ,7 ) 111 ijk s ，则所求直线的方向向量 1 2 1 ( 16, 12, 8) 4(4,3, 2) 527 ijk s ， u x f v y 故所求直线方程为 111 432 x yz 19求微分方程 233 yyyx 通解 解 对应齐次方程的特征方程为 2 230 rr ，特征根为 1,2 12 ri ，所以对应齐次方程通解 12
10、e( c o s 2 s i n 2) x ycxcx ， 又 0 不是特征根， 设原方程的特解 * yA xB ， 则有 * ,0 yAy ， 于是有23 ( )3 AA xBx ，得 2 1, 3 AB ，即有 * 2 3 yx ，原方程通解 * 12 2 e( c o s 2 s i n 2) 3 x yyy c xc xx ，其中 12 , cc为任意常数 20 计算二重积分 2 dd D x x y y ，其中D是由曲线 1 x y 与两直线 3 xy ， 1 y 围成的平面闭 区域 解 23 2 2 111 211 dd d 2d ( 3 ) ( 1 ) d y y D x xyy
11、x xyyy yyy 2 2 2 1 1 10 1 11 (7) d( 1 0 l n7 )1 0 l n 2 22 yy yy y y 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21证明：当 0 x 时， sin 2cos 2 xx x 证明 设 () s i n 2 c o s 2 fx x x x ， () s i n c o s 2 s i n c o s s i n fxx xxx xxx ， () c o s s i n c o s s i n 0 fx xxx xxx （ 0 x ） ，因而当 0 x 时， () f x 为单调减少函数， 即有 () ( 0
12、 ) 0 fxf ，从而有 () ( 0 ) 0 fx f ，即 sin 2cos 2 0 xx x ，即有 sin 2cos 2 xx x 22设函数 () f x 在闭区间, aa 上连续，且 () f x 为奇函数，证明： （1） 0 0 () d () d a a f xx fxx ； （2） () d 0 a a fxx 证明 （1） 0 () d a f xx x t 令 00 00 () d () () d () d () d aa aa f ttf ttf ttfxx ； （2）由（1）得 0 000 () d () d () d () d () d 0 aaa a aa fx
13、x fxx fxx fxx fxx 五、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 23设平面图形D由曲线 e x y 与其过原点的切线及 y轴围成，试求 （1）平面图形D的面积； （2）平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积 解 设切线的切点为(,e) t t ，则切线方程为 ee () tt yx t ， 因为原点 (0,0)在切线上，故有 1 t ，即切点为 (1, e ) ，切线 方程为 ee (1 ) yx ，即 e yx （1）平面图形 D的面积 1 1 2 0 0 1e 2 (e e )d (e e ) 22 xx Ax xx （2）平面图形D绕x轴旋转一
14、周所形成的旋转体的体积 1 2 1 2222 0 0 11( e 3 ) ee e 3236 xx Vd xe 24已知曲线 () yfx 通过点(1 ,5 ) ，且函数 () f x 满足方程 5 3 3()8()1 2 xfx fx x ，试求： （1）函数 () f x 的解析式； （2）曲线 () yfx 的凹凸区间与拐点 解 （1） 5 3 3()8()1 2 xfx fx x 可化为 2 3 8 () () 4 3 fxf xx x ，则有 8 () 3 px x ， 2 3 () 4 qx x ， 828 () d () d () d () d 33 3 () e ( () e
15、d ) e (4 e d ) xx pxx pxx xx fxq xx cxx c 85 8 33 3 2 4 (d)4 x xc xc x x ， 又 () yfx 通过点(1 ,5 ) ，得 1 c ，因而所求函数 85 33 () 4 fxxx （2） 52 33 82 0 () 33 fxxx ， 21 33 3 40 40 40( 1) () 99 9 x fx x x x ，令 () 0 fx 的 1 x ，又当 0 x 时 () f x 不存在 x (, 0 ) 0 (0,1) 1 (1, ) () f x + 不存在 0 + () f x 凹 拐点 (0,0) 凸 拐点 (1, 3) 凹 由表可知：曲线 () f x 在(, 0 ) ， (1, ) 上是凹的；在 (0,1)上是凸的，拐点为 (0,0)， (1, 3)
