1、 全等三角形提高练习1. 如图所示，ABCADE，BC 的延长线过点 E，ACB=AED=105，CAD=10，B=50，求DEF 的度数。2. 如图，AOB 中，B=30，将AOB 绕点 O 顺时针旋转 52，得到AOB，边 AB与边OB 交于点 C（A不在 OB 上） ，则ACO 的度数为多少？3. 如图所示，在ABC 中，A=90，D、E 分别是 AC、BC 上的点，若ADBEDBEDC，则C 的度数是多少？4. 如图所示，把ABC 绕点 C 顺时针旋转 35，得到 ABC，AB交 AC 于点 D，若ADC=90，则A= 5. 已知，如图所示，AB=AC，ADBC 于 D，且 AB+AC
2、+BC=50cm,而 AB+BD+AD=40cm，则 AD 是多少？6. 如图，RtABC 中，BAC=90，AB=AC，分别过点 B、C 作过点 A 的垂线 BC、CE，垂足分别为D、E，若 BD=3，CE=2，则 DE= 7. 如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是 E、F，连接 EF，交 AD 于 G，AD 与 EF垂直吗？证明你的结论。8. 如图所示，在ABC 中，AD 为BAC 的角平分线，D EAB 于 E，DFAC 于 F，ABC 的面积是28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求 DE 的长。EFA CBDCAO BA B BACDE DBB CA
3、ADA CB BD ECA GB CADE FB CADE F9. 已知，如图：AB=AE，B=E，BAC=EAD，CAF=DAF，求证：AFCD10. 如图，AD=BD ，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于点 H，则 BH 与 AC 相等吗？为什么？11. 如图所示，已知，AD 为ABC 的高，E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC，FD=CD，求证：BEAC12. DAC、EBC 均是等边三角形，AF、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，求证：（1）AE=BD （2）CM=CN （3）CMN 为等边三角形 （4）MNBC13. 如图所
4、示，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，下列结论：AE=CD；BF=BG；BH 平分AHD；AHC=60；BFG 是等边三角形；FGAD，其中正确的有（ ）A3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个14. 已知：BD、CE 是ABC 的高，点 F 在 BD 上，BF=AC，点 G 在 CE 的延长线上，CG=AB，求证：AGAF15. 如图：在ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF 的延长线上截取CG=AB，连结 AD、AG求证：（1）AD=AG（2）AD 与 AG 的位置关系如何C DAB EF HB CADEFB CADEN
5、MA BDECHGFA DC EBEB CAG DFHFB CAG ED17如图，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且DAE=FAE求证：AF=AD-CF18如图所示，已知ABC 中，AB=AC，D 是 CB 延长线上一点，ADB=60，E 是 AD 上一点，且 DE=DB，求证：AC=BE+BC19如图所示，已知在AEC 中，E=9 0，AD 平分EAC ，DFAC，垂足为 F，DB=DC，求证：BE=CF20已知如图：AB=DE，直线 AE、BD 相交于 C，B+D=180，AFDE，交 BD 于 F，求证：CF=CD21如图，OC 是AOB 的平分线
6、，P 是 OC 上一点，PDOA 于 D，PEOB 于 E，F 是 OC 上一点，连接 DF和 EF，求证：DF=EF22已知：如图，BFAC 于点 F，CEAB 于点 E，且 BD=CD，求证：（1）BDECDF （2） 点 D 在A 的平分线上23如图，已知 ABCD，O 是ACD 与BAC 的平分线的交点，OEAC 于 E，且 OE=2，则 AB 与 CD 之间的距离是多少？24如图，过线段 AB 的两个端点作射线 AM、BN，使 AMBN，按下列要求画图并回答：画MAB、NBA 的平分线交于 E（1）AEB 是什么角？AB CDEF DAB CE AECDB CB DA EF ABCF
7、 OPDE DA CBFE BDAC OE（2）过点 E 作一直线交 AM 于 D，交 BN 于 C，观察线段 DE、CE，你有何发现？（3）无论 DC 的两端点在 AM、BN 如何移动，只要 DC 经过点 E，AD+BC=AB；AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。25如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40，其三条角平分线将ABC 分为三个三角形，则 SABO ：S BCO ：S CAO 等于？26正方形 ABCD 中，AC、BD 交于 O，EOF=90，已知 AE=3，CF=4，则 SBEF 为多少？27如图，在 RtABC 中，ACB=45，BAC=90，AB
8、=AC，点 D 是 AB 的中点，AFCD 于 H，交 BC 于F，BEAC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE28在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系。MNAB EDC C ABOOA DB CEFPEFB CAEDM 图1AC NED N图2AC BDEM
9、 DN图3ACBME1 解：ABCAEDD= B=50ACB=105ACE=75CAD=10 ACE=75EFA=CAD+ACE=85（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）同理可得DEF= EFA-D=85-50=352 根据旋转变换的性质可得B=B，因为AOB 绕点 O 顺时针旋转 52，所以BOB=52 ，而ACO是BOC 的外角，所以ACO=B+BOB，然后代入数据进行计算即可得解解答： 解：AOB是由AOB 绕点 O 顺时针旋转得到，B=30，B=B=30，AOB 绕点 O 顺时针旋转 52，BOB=52，ACO 是BOC 的外角，ACO=B+BOB=30+52=82故选 D
10、3 全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理分析： 根据全等三角形的性质得出A=DEB=DEC，ADB=BDE=EDC，根据邻补角定义求出DEC、EDC 的度数，根据三角形的内角和定理求出即可解答： 解：ADBEDBEDC，A= DEB=DEC，ADB=BDE=EDC，DEB+DEC=180，ADB+BDE+EDC=180，DEC=90，EDC=60 ，C=180-DEC- EDC，=180-90-60=304 分析：根据旋转的性质，可得知ACA=35，从而求得A的度数，又因为A 的对应角是A ，即可求出A 的度数解答：解：三角形ABC 绕着点 C 时针旋转 35，得到ABCACA=
11、35，ADC=90A=55，A 的对应角是A，即A=A，A=55；故答案为：55点评： 此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变解题的关键是正确确定对应角5 因为 AB=AC 三角形 ABC 是等腰三角形所以 AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因为 AD 垂直于 BC 于 D，所以 BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6 解：BDDE，CEDED=EBAD+BAC+
12、CAE=180又BAC=90，BAD+CAE=90在 RtABD 中，ABD+BAD=90ABD=CAE在ABD 与CAE 中ABD=CAED=EAB=ACABDCAE（AAS ）BD=AE，AD=CEDE=AD+AEDE=BD+CEBD=3 ，CE=2DE=57 证明：AD 是BAC 的平分线EAD FAD又DEAB，DFACAED AFD90边 AD 公共RtAEDRtAFD （AAS）AEAF即AEF 为等腰三角形而 AD 是等腰三角形 AEF 顶角的平分线AD底边 EF（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）8 AD 平分BAC，则EAD= FA
13、D ，EDA=DFA=90 度，AD=AD所以AED AFDDE=DFSABC=SAED+SAFD28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE)DE=29AB=AE，B=E，BAC=EAD则ABCAEDAC=ADACD 是等腰三角形CAF=DAFAF 平分CAD则 AFCD10 解：ADBCADBADC90CAD+C90BEACBEC ADB 90CBE+C90CADCBEADBDBDHADC （ASA）BHAC11 解：（1）证明：ADBC（已知），BDA=ADC=90 （垂直定义），12=90（直角三角形两锐角互余）. 在 Rt BDF 和 RtADC 中， RtB
14、DFRtADC（H.L ）. 2=C（全等三角形的对应角相等）. 12=90（已证），所以1C=90. 1CBEC=180（三角形内角和等于 180）， BEC=90. BEAC（垂直定义）； 12 证明：（1）DAC、EBC 均是等边三角形，AC=DC，EC=BC，ACD=BCE=60，ACD+DCE=BCE+ DCE，即ACE=DCB 在ACE 和DCB 中，AC=DC ACE= DCB EC=BC ACEDCB（SAS）AE=BD（2）由（1）可知：ACEDCB，CAE=CDB，即CAM=CDN DAC、EBC 均是等边三角形，AC=DC，ACM=BCE=60又点 A、C、B 在同一条直
15、线上，DCE=180- ACD-BCE=180-60-60=60，即DCN=60ACM=DCN在ACM 和DCN 中， CAM=CDN AC=DC ACM=DCNACMDCN （ASA）CM=CN(3)由（2）可知 CM=CN,DCN=60CMN 为等边三角形(4)由(3)知CMN=CNM= DCN=60CMN+MCB=180MN/BC13 分析： （1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由 SAS 得到CANMCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得CAN=CMB，进而得出 MCF=ACE，由 ASA 得出CAECMF，即 CE=CF，又 ECF=60，所以 CEF 为等边
16、三角形解答： 证明：（1）ACM，CBN 是等边三角形，AC=MC，BC=NC，ACM=60，NCB=60 ，在CAN 和MCB 中，AC=MC，ACN=MCB ，NC=BC，CANMCB（SAS），AN=BM（2）CANCMB，CAN=CMB，又MCF=180- ACM-NCB=180-60-60=60，MCF= ACE，在CAE 和CMF 中，CAE=CMF，CA=CM，ACE=MCF，CAECMF（ASA），CE=CF，CEF 为等腰三角形，又ECF=60，CEF 为等边三角形点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用14 考点： 等边三角形
17、的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析： 由题中条件可得ABECBD，得出对应边、对应角相等，进而得出BGDBFE，ABF CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论解答： 解：ABC 与BDE 为等边三角形，AB=BC ，BD=BE，ABC=DBE=60，ABE=CBD，即 AB=BC，BD=BE，ABE=CBDABECBD，AE=CD，BDC=AEB，又DBG=FBE=60，BGDBFE ，BG=BF，BFG=BGF=60，BFG 是等边三角形，FGAD，BF=BG，AB=BC，ABF=CBG=60，ABF CGB，BAF=BCG，CAF+ACB+BCD=CAF+
18、ACB+BAF=60+60=120，AHC=60，FHG+ FBG=120+60=180，B、G、H、F 四点共圆，FB=GB，FHB=GHB，BH 平分GHF ，题中都正确故选 D点评： 本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握15 考点：全等三角形的判定与性质分析：仔细分析题意，若能证明ABFGCA，则可得AG=AF在 ABF 和GCA 中，有 BF=AC、CG=AB 这两组边相等，这两组边的夹角是ABD 和ACG，从已知条件中可推出ABD= ACG在 RtAGE 中，G+ GAE=90，而G= BAF，则可得出GAF=90，即 AGAF解答：解：AG=AF
19、 ，AGAFBD、CE 分别是ABC 的边 AC，AB 上的高ADB=AEC=90ABD=90- BAD，ACG=90-DAB，ABD=ACG在ABF 和 GCA 中 BF=AC ABD=ACG AB=CG ABF GCA（SAS）AG=AFG= BAF又G+ GAE=90 度BAF+GAE=90 度GAF=90AGAF点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广16 1、证明：BEACAEB90ABE+BAC90CF ABAFC AFG90ACF+BAC90，G+BAG
20、90ABEACFBDAC ，CGABABDGCA （SAS）AGAD2、AGAD证明ABDGCABADGGADBAD+ BAG G+BAG90AGAD17 过 E 做 EG AF 于 G，连接 EFABCD 是正方形D= C=90AD=DCDAE=FAE，EDAD，EGAFDE=EGAD=AGE 是 DC 的中点DE=EC=EGEF=EFRtEFGRtECFGF=CFAF=AG+GF=AD+CF18 因为：角 EDB=60DE=DB 所以：EDB 是等边三角形，DE=DB=EB 过 A 作 BC 的垂线交 BC 于 F 因为：ABC 是等腰三角形 所以：BF=CF，2BF=BC 又：角 DAF
21、=30 所以：AD=2DF 又：DF=DB+BF 所以：AD=2 （ DB+BF）=2DB+2BF=【2DB+BC】 （AE+ED）=2DB+BC，其中 ED=DB 所以：AE=DB+BC，AE=BE+BC19 补充：B 是 FD 延长线上一点；ED=DF（角平分线到两边上的距离相等）；BD=CD；角 EDB=FDC（对顶角）；则三角形 EDB 全等 CDF；则 BE=CF；或者补充：B 在 AE 边上；ED=DF（角平分线到两边上的距离相等）；DB=DC则两直角三角形 EDB 全等 CDF（HL ）即 BE=CF20 解：AF/DED=AFCBD=180, ，AFC AFB=180B=AFB
22、AB=AF=DEAFC 和EDC 中：B=AFB,ACF=ECD( 对顶角）,AF=DEAFCEDCCF=CD21 证明：点 P 在AOB 的角平分线 OC 上，PEOB， PDAO ，PD=PE，DOP=EOP，PDO=PEO=90，DPF=EPF，在DPF 和EPF 中PD=PE DPF=EPF PF=PF （SAS），DPFEPFDF=EF22 考点： 全等三角形的判定与性质专题： 证明题分析： （1）根据全等三角形的判定定理 ASA 证得BEDCFD；（2）连接 AD利用（1）中的BEDCFD，推知全等三角形的对应边 ED=FD因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点 D 在A
23、的平分线上解答： 证明：（1）BFAC， CEAB，BDE=CDF（对顶角相等），B=C （等角的余角相等）；在 Rt BED 和 RtCFD 中，B=CBD=CD(已知)BDE=CDF，BEDCFD（ASA）；（2）连接 AD由（1）知，BEDCFD，ED=FD（全等三角形的对应边相等），AD 是EAF 的角平分线，即点 D 在A 的平分线上点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质常用的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS ，HL 等，做题时需灵活运用23 考点： 角平分线的性质分析： 要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点 O 作 FGAB，可以得到 FGCD，根据角平分线的性质
24、可得，OE=OF=OG，即可求得 AB 与 CD 之间的距离解答： 解：过点 O 作 FGAB，ABCD ，BFG+FGD=180，BFG=90，FGD=90，FGCD ，FG 就是 AB 与 CD 之间的距离O 为BAC， ACD 平分线的交点， OEAC 交 AC 于 E，OE=OF=OG（角平分线上的点，到角两边距离相等），AB 与 CD 之间的距离等于 2OE=4故答案为：4点评： 本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出 AB 与 CD 之间的距离是正确解决本题的关键24 考点： 梯形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质专题： 作图题；探究型分
25、析： （1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出1+3=90，再由三角形内角和等于 180，即可得出 AEB 是直角的结论；（2）过 E 点作辅助线 EF 使其平行于 AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系；（3）由（2）中得出的结论可知 EF 为梯形 ABCD 的中位线，可知无论 DC 的两端点在 AM、BN 如何移动，只要 DC 经过点 E，AD+BC 的值总为一定值解答： 解：（1）AMBN，MAB+ABN=180，又 AE，BE 分别为MAB、NBA 的平分线，1+3=12（MAB+ABN）=90，AEB=180- 1-3=90，即AEB 为直角
26、；（2）过 E 点作辅助线 EF 使其平行于 AM，如图则 EFADBC，AEF=4， BEF= 2，3=4，1= 2，AEF=3， BEF= 1，AF=FE=FB，F 为 AB 的中点，又 EFADBC，根据平行线等分线段定理得到 E 为 DC 中点，ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论 DC 的两端点在 AM、BN 如何移动，只要 DC 经过点 E，总满足 EF 为梯形 ABCD 中位线的条件，所以总有 AD+BC=2EF=AB点评： 本题是计算与作图相结合的探索对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较
27、高的要求25 如图，ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将ABC 分为三个三角形，则 SABO ：S BCO ：S CAO 等于（ ）A1：1：1 B1：2：3 C2：3：4 D3：4：5考点： 角平分线的性质专题： 数形结合分析： 利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是 2：3：4解答： 解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选 C故选 C点评： 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的2
28、6 解：正方形 ABCDABBC，AOBOCO，ABCAOBCOB90，ABOBCO45BOF+COF90EOF90BOF+BOE90COF BOEBOECOF （ASA）BECFCF 4BE4AE3ABAE+BE3+47BF BC-CF7-4 3SBEFBEBF/243/2627 考点： 线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质专题： 证明题分析： 证明出DBPEBP，即可证明 BC 垂直且平分 DE解答： 证明：在ADC 中，DAH+ADH=90 ，ACH+ ADH=90，DAH=DCA，BAC=90，BEAC，CAD=ABE=90又AB=CA，在ABE 与CAD 中，DAH=DCAC
29、AD=ABEAB=ACABECAD（ASA ），AD=BE，又AD=BD，BD=BE，在 Rt ABC 中，ACB=45 ，BAC=90，AB=AC，故ABC=45BEAC，EBD=90，EBF=90-45=45，DBP EBP（SAS），DP=EP，即可得出 BC 垂直且平分 DE点评： 此题关键在于转化为证明出DBPEBP通过利用图中所给信息，证明出两三角形相似，而证明相似可以通过证明角相等和线段相等来实现28 1）证明：ACB=90，ACD+BCE=90，而 ADMN 于 D，BEMN 于 E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE在 Rt ADC 和 RtCEB 中，ADC=CEB ACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在ADC 和CEB 中， ADC= CEB=90ACD=CBE AC=CB，ADCCEB（AAS ），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；（3）DE=BE-AD证明的方法与（2）相同已赞同 9| 评论(2)
