1、第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔( Rolle )定理 第一节 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章目录 上页 下页 返回 结束 费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 , ) ( 0 有定义 在 x U 且 ) ( 0 x f 存在 , ) ( ) ( 0 x f x f ) ( 或 0 ) ( 0 x f 证:设 , ) ( ) ( , )
2、 ( 0 0 0 0 x f x x f x U x x 则 ) ( 0 x f x x f x x f x ) ( ) ( lim 0 0 0 ) 0 ( x ) ( 0 x f ) 0 ( x ) ( 0 x f 0 0 0 ) ( 0 x f ) (x f y 费马 证毕 x y O 0 x目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（ Rolle）定理 ) (x f y 满足: (1) 在区间 a , b 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) , 使 . 0 ) ( f 证: ， 上连续 在 因 , ) ( b a x f 故在 a , b
3、上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 , , , ) ( b a x M x f 因此 . 0 ) ( , ) , ( f b a 在( a , b ) 内至少存在一点 x y a b ) (x f y O目录 上页 下页 返回 结束 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 , ) (a f M 则至少存在一点 , ) , ( b a 使 , ) ( M f . 0 ) ( f 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 成立. 1 , 0 1 0 , ) ( x x x x f 则由费马引理得 1 , 1 ) ( x x x f 1 ,
4、 0 ) ( x x x f x 1 y O x 1 y 1 O x 1 y O x y a b ) (x f y O 不连续 在 1 , 0 不可导 在 ) 1 , 0 ( ) 1 ( ) 0 ( f f 例如,目录 上页 下页 返回 结束 使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 ) (x f y 在 ( a , b ) 内可导, 且 ) ( lim x f a x ) ( lim x f b x 在( a , b ) 内至少存在一点 , . 0 ) ( f 证明提示: 设 证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . ) (x F a x a f , ) ( b x a x f
5、 , ) ( b x b f , ) (目录 上页 下页 返回 结束 例1.证明方程 0 1 5 5 x x , 1 5 ) ( 5 x x x f . 3 ) 1 ( , 1 ) 0 ( f f , 0 ) ( 0 x f , , ) 1 , 0 ( 0 1 1 x x x ) 1 ( 5 ) ( 4 x x f ), 1 , 0 ( , 0 x 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 ) (x f 在 0 , 1 连续 , 且 由介值定理知存在 , ) 1 , 0 ( 0 x 使 即方程有小于 1 的正根 . 0 x 2) 唯一性 . 假设另有 , 0 ) ( 1
6、x f 使 在以 ) (x f 1 0 , x x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 之间 在 1 0 , x x 至少存在一点 , . 0 ) ( f 使 但 矛盾, 故假设不真! 设目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 ) ( (1) 在区间 a , b 上连续 ) (x f y 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 , ) , ( b a 使 . ) ( ) ( ) ( a b a f b f f 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , ) (x 在a, b 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为
7、证 ) (x ) (x f x a b a f b f ) ( ) ( ) (a 由罗尔定理知至少存在一点 , ) , ( b a , 0 ) ( 使 即定理结论成立 . , ) (b a b b f a a f b ) ( ) ( 拉氏 0 ) ( ) ( ) ( a b a f b f f 证毕 x y a b ) (x f y O x y a b a f b f ) ( ) (目录 上页 下页 返回 结束 ) , ( , ) ( ) ( ) ( b a a b a f b f f 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I上满足 , 0 ) ( x f 则 ) (x f
8、 在 I 上必为常数. ) (x f 证:在 I上任取两点 , ) ( , 2 1 2 1 x x x x 上用拉 在 , 2 1 x x 格朗日中值公式 , 得 0 ) ( ) ( 1 2 x f x f ) )( ( 1 2 x x f ) ( 2 1 x x ) ( ) ( 1 2 x f x f 由 的任意性知, 2 1 , x x ) (x f 在 I上为常数 . ) 1 0 ( ) ( 0 x x x f y , , 0 0 x x b x a 令则 目录 上页 下页 返回 结束 例2.证明等式 . 1 , 1 , 2 arccos arcsin x x x 证:设 , arcco
9、s arcsin ) ( x x x f 上 则在 ) 1 , 1 ( ) (x f 由推论可知 C x x x f arccos arcsin ) ( (常数) 令 x = 0 , 得 . 2 C 又 , 2 ) 1 ( f 故所证等式在定义域 上成立. 1 , 1 自证: ) , ( x , 2 cot arc arctan x x 2 1 1 x 2 1 1 x 0 经验: 欲证 I x 时 , ) ( 0 C x f 只需证在 I上 , 0 ) ( x f , 0 I x 且 . ) ( 0 0 C x f 使目录 上页 下页 返回 结束 例3.证明不等式 证:设 , ) 1 ln(
10、) ( t t f 上满足拉格朗日 在 则 , 0 ) ( x t f 中值定理条件, 即 因为 故 . ) 0 ( ) 1 ln( 1 x x x x x ) 0 ( ) ( f x f ) 1 ln( x x x 0 , 1 1 x x x 1 x ) 0 ( ) 1 ln( 1 x x x x x x x f 0 , ) 0 )( ( 因此应有目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西(Cauchy)中值定理 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f F a F b F a f b f ) ( 分析: ) (x f 及 (1) 在闭区间 a , b 上连续 (2) 在开区间 (
11、 a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 , ) , ( b a 使 . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F f a F b F a f b f 满足 : ) (x F 0 ) ( x F ) ( ) ( a F b F ) )( ( a b F b a 0 问题转化为证 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x F a F b F a f b f x 柯西 构造辅助函数目录 上页 下页 返回 结束 证:作辅助函数 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x F a F b F a f b
12、f x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b a F b F b F a f a F b f a , ) , ( , , ) ( 内可导 在 上连续 在 则 b a b a x 且 , ) , ( b a 使 , 0 ) ( 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F f a F b F a f b f 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? ) , ( , ) )( ( ) ( ) ( b a a b f a f b f ) , ( , ) )( ( ) ( ) ( b a a b F a F b F 两个 不 一定相同
13、 错! 上面两式相比即得结论. 目录 上页 下页 返回 结束 柯西定理的几何意义: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F f a F b F a f b f ) ( F ) (a F ) ( ) ( t f y t F x ) (a f ) (b F ) (b f ) ( ) ( d d t F t f x y 注意: 弦的斜率 切线斜率 x y O目录 上页 下页 返回 结束 ) 0 ( ) 1 ( f f ) 0 ( ) 1 ( F F 例4. 设 ). 0 ( ) 1 ( 2 ) ( f f f 2 ) ( 0 1 ) 0 ( ) 1 ( f f f x x x f ) (
14、 ) ( 2 , ) ( 2 x x F , ) 1 , 0 ( , 1 , 0 ) ( 内可导 在 上连续 在 x f 至少存在一点 ), 1 , 0 ( 使 证:问题转化为证 设 则 ) ( , ) ( x F x f 在 0, 1 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使 ) ( f ) ( F 0 1 2 即 ) 0 ( ) 1 ( 2 ) ( f f f 证明目录 上页 下页 返回 结束 1 1 ln cos 1 ln lne 1 ln sin lne sin ) e , 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ( (e) ) 1 ( (e) F f
15、 F F f f 例5.试证至少存在一点 ) e , 1 ( 使 . ln cos 1 sin ln cos 1 sin 证: 法1 用柯西中值定理 . x x F x x f ln ) ( , ln sin ) ( 则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令 因此 1 1 ln cos ln cos 1 sin 即 分析:目录 上页 下页 返回 结束 例5.试证至少存在一点 ) e , 1 ( 使 . ln cos 1 sin 法2 令 x x f ln sin ) ( 则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, , e) , 1 ( 使 0 )
16、 ( f x ln cos ) (x f 1 sin x 1 ln cos 1 sin 因此存在 x 1 x ln 1 sin 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 ) ( ) ( a f b f x x F ) ( ) ( ) ( a f b f x x F ) ( 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 费马引理目录 上页 下页 返回 结束 4 4 1 2 3 4 1 2 思考与练习 1. 填空题 1) 函数 4 )
17、( x x f 在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 . _ 2) 设 有 个根 , 它们分别在区间 3 4 15 3 0 ) ( x f ) 4 , 3 ( , ) 2 , 1(, ) 3 , 2 ( 上. , ) 4 )( 3 )( 2 )( 1 ( ) ( x x x x x f 方程目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 , , 0 ) ( C x f 且在 ) , 0 ( 内可导, 证明至少存 在一点 , ) , 0 ( 使 . cot ) ( ) ( f f 提示: 由结论可知, 只需证 0 cos ) ( sin ) ( f f 即 0 sin ) ( x x x
18、 f 验证 ) (x F 在 , 0 上满足罗尔定理条件. 设 x x f x F sin ) ( ) ( 目录 上页 下页 返回 结束 3. 若 ) (x f 可导, 试证在其两个零点间一定有 ) ( ) ( x f x f 的零点. 提示: 设 , , 0 ) ( ) ( 2 1 2 1 x x x f x f 欲证: , ) , ( 2 1 x x 使 0 ) ( ) ( f f 只要证 0 ) ( ) ( f f e e 亦即 0 ) ( e x x x f 作辅助函数 , ) ( e ) ( x f x F x 验证 ) (x F 在 , 2 1 x x 上满足 罗尔定理条件.目录
19、上页 下页 返回 结束 4. 思考: 在 0 , 0 0 , sin ) ( 1 2 x x x x f x , 0 x ) , 0 ( , ) 0 )( ( ) 0 ( ) ( x x f f x f 即 x x 1 2 sin 1 sin 2 ( , ) cos 1 x ) , 0 ( x x x 1 1 1 sin sin 2 cos 当 , 0 0 x 时 . 0 cos 1 问是否可由此得出 ? 0 cos lim 1 0 x x 不能 ! 因为 ) (x 是依赖于 x的一个特殊的函数. 因此由上式得 表示 x从右侧以任意方式趋于 0 . 0 x 应用拉格朗日中值定理得 上对函数目录
20、 上页 下页 返回 结束 备用题 求证存在 , ) 1 , 0 ( . 0 ) ( ) ( f f n 使 1.设 1 , 0 可导，且 , 0 ) 1 ( f 在 连续， ) 1 , 0 ( ) (x f 证: 设辅助函数 ) ( ) ( x f x x n , ) 1 , 0 ( 因此至少存在 显然 ) (x 在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0 ) ( 即 0 ) ( ) ( f f n 使得 ) ( ) ( 1 f f n n n 0 目录 上页 下页 返回 结束 0 ) 0 ( , 0 ) ( f x f 设 证明对任意 0 , 0 2 1 x x 有 ) ( ) ( ) ( 2 1
21、 2 1 x f x f x x f 证： 2 1 0 x x ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 x f x f x x f 1 2 ) ( x f 0 ) )( ( 1 2 1 f x ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 x f x f x x f , ( 2 1 2 2 x x x 2. 不妨设 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 f x f x f x x f ) ( 2 1 ) 0 1 1 x 1 1 ) ( x f 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 洛必达法则 第三章目录 上页 下页 返回 结束 )
22、 ( ) ( lim x g x f 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 0 0 ( 或型 ) ) ( ) ( lim x g x f 本节研究: 洛必达法则 洛必达目录 上页 下页 返回 结束 一、 0 ) ( lim ) ( lim ) 1 x F x f a x a x ) ( ) ( lim ) 3 x F x f a x 存在 (或为 ) ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim x F x f x F x f a x a x , ) ( ) ( ) ( ) 2 内可导 在 与 a U x F x f 0 ) ( x F 且 定理 1.
23、型未定式 0 0 (洛必达法则) 目录 上页 下页 返回 结束 ( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 , 0 ) ( ) ( a F a f 在指出的邻域内任取 , a x 则 ) ( , ) ( x F x f 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 0 ) ( lim ) ( lim ) 1 x F x f a x a x 故 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a F x F a f x f x F x f ) ( ) ( F f ) ( ) ( lim x F x f a x ) ( ) ( lim F f a x ) ( ) ( lim x F x f a x ) 3
24、 定理条件: 西定理条件, ) ( ) ( lim ) 3 x F x f a x 存在 (或为 ) , ) ( ) ( ) ( ) 2 内可导 在 与 a U x F x f 0 ) ( x F 且目录 上页 下页 返回 结束 推论1. 定理 1 中 a x 换为下列过程之一: , a x , a x , x x 推论 2. 若 ) ( ) ( lim x F x f 满足定 且 型 仍属 ) ( , ) ( , 0 0 x F x f 理1条件, 则 ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim x F x f x F x f ) ( ) ( lim x F x f 条件 2) 作相应的
25、修改 , 定理 1 仍然成立. , x ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim x F x f x F x f a x a x 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 . 1 2 3 lim 2 3 3 1 x x x x x x 解: 原式 型 0 0 2 3 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 2 6 6 lim 1 x x x 1 6 6 lim 1 x 3 3 2 x 1 2 3 2 x xlim 1 x 洛 2 6 6 lim 1 x x x 洛目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 . arctan lim 1 2 x x x 解: 原式 x l
26、im 型 0 0 2 2 1 lim x x x 1 2 1 1 x 2 1 x 1 1 lim 2 1 x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim ( n为正整数) ? 型 洛目录 上页 下页 返回 结束 二、 型未定式 ) ( lim ) ( lim ) 1 x F x f a x a x ) ( ) ( lim ) 3 x F x f a x 存在 (或为) ) ( ) ( lim x F x f a x 定理 2. ) ( ) ( lim x F x f a x (洛必达法则) , ) ( ) ( ) ( ) 2 内可导 在 与 a U x F x f 0 ) (
27、 x F 且目录 上页 下页 返回 结束 说明: 定理中 a x 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. , a x , a x , x x , x 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 . ) 0 ( ln lim n x x n x 解: 原式 1 1 lim n x x x n n x x n 1 lim 0 例4. 求 解: (1) n为正整数的情形. 原式 0 x n x x n e lim 1 x n x x n n e ) 1 ( lim 2 2 . ) 0 ( e lim , 0 n x x n x 型 型 洛 x n x n e ! lim 洛
28、洛目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 . ) 0 ( e lim , 0 n x x n x (2) n不为正整数的情形. n x 从而 x n x e x k x e x k x e 1 由(1) 0 e lim e lim 1 x k x x k x x x 0 e lim x n x x 用夹逼准则 k x 1 k x 存在正整数 k , 使当 x 1时,目录 上页 下页 返回 结束 例4. . ) 0 ( 0 e lim , 0 n x x n x . ) 0 ( 0 ln lim n x x n x 例3. 说明: 1) 例3 , 例4 表明 x 时, , ln x 后者比前者
29、趋于 更快 . 例如, x x x 2 1 lim 2 1 lim x x x x x x 2 1 lim 事实上 x x x 2 1 lim 1 1 lim 2 x x 1 ) 0 ( e x , ) 0 ( n x n 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 目录 上页 下页 返回 结束 3) 若 , ) ( ) ( ) ( lim 时 不存在 x F x f . ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim x F x f x F x f 例如, x x x x sin lim 1 cos 1 lim x x ) sin 1 ( lim x x
30、x 1 极限不存在 不能用洛必达法则 ! 即目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式: , 0 , , 0 0 , 1 型 0 解决方法: 通分 转化 0 0 0 取倒数 转化 0 0 1 0 取对数 转化 例5. 求 ). 0 ( ln lim 0 n x x n x 型 0 解:原式 n x x x ln lim 0 1 1 0 lim n x x x n 0 ) ( lim 0 n x n x 洛目录 上页 下页 返回 结束 型 . ) tan (sec lim 2 x x x 解: 原式 ) cos sin cos 1 ( lim 2 x x x x x x x cos sin 1
31、 lim 2 x x x sin cos lim 2 0 例6. 求 通分 转化 0 0 0 取倒数 转化 0 0 1 0 取对数 转化 洛目录 上页 下页 返回 结束 例7.求 . lim 0 x x x 型 0 0 解: x x x 0 lim x x x ln 0 e lim 0 e 1 利用例5 例5 通分 转化 0 0 0 取倒数 转化 0 0 1 0 取对数 转化 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求 . sin tan lim 2 0 x x x x x 解: 注意到 x x sin 原式 3 0 tan lim x x x x 2 2 0 3 1 sec lim x x x
32、 2 2 0 3 tan lim x x x x x 2 2 tan 1 sec 3 1 型 0 0 洛目录 上页 下页 返回 结束 例3 n n 1 n n ln 1 e 1 例9. 求 . ) 1 ( lim n n n n 2 1 1 1 lim x x x x 原式 法1. 直接用洛必达法则. 型 0 下一步计算很繁 ! 2 1lim n n 法2. 利用例3结果. ) 1 ( lim 1 2 1 n n n n 1 e ln 1 n n 2 1 lim n n n n ln 1 2 1 ln lim n n n 0 u u 1 e 原式 例3 例3目录 上页 下页 返回 结束 内容小
33、结 洛必达法则 型 0 0 , 1 , 0 型 型 0 型 0 0 型 g f g f 1 f g f g g f 1 1 1 1 f g g f ln e 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 2 0 3 cos 1 lim x x x 3 0lim x x 3. x x x x 1 sin 1 cot lim 0 原式 x sin x 1 cos lim 0 x x x x sin 2 2 2 1 0 3 lim x x x x cos 1 2 2 1 x 6 1 6 1 x x x x x x 2 0 sin ) sin ( cos lim 洛目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函
34、数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用 目的用多项式近似表示函数. 理论分析 近似计算 泰勒公式 第三章目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n阶泰勒公式 . ) (x f 公式 称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒(Taylor)中值定理 : 内具有 的某开区间 在包含 若 ) , ( ) ( 0 b a x x f 1 n 直到 阶的导数 , ) , ( b a x 时, 有 ) (x f ) ( 0 x f ) )( ( 0 0 x x x f 2 0 0 ) ( ! 2 ) ( x x x f n n x x n x f ) ( ! ) (
35、0 0 ) ( ) (x R n 其中 1 0 ) 1 ( ) ( ! ) 1 ( ) ( ) ( n n n x x n f x R 则当 ) 0 ( 之间 与 在 x x 泰勒目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 ) (x f ) ( 0 x f ) )( ( 0 0 x x x f 2 0 0 ) ( ! 2 ) ( x x x f n n x x n x f ) ( ! ) ( 0 0 ) ( ) ( 0 n x x o ) ( ) ( 0 n n x x o x R 注意到 *可以证明: 阶
36、的导数 有直到 在点 n x x f 0 ) ( 式成立目录 上页 下页 返回 结束 特例: (1) 当 n = 0时, 泰勒公式变为 ) (x f ) ( 0 x f ) )( ( 0 x x f (2) 当 n = 1时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 ) (x f ) ( 0 x f ) )( ( 0 0 x x x f 2 0 ) ( ! 2 ) ( x x f 可见 ) (x f ) ( 0 x f ) )( ( 0 0 x x x f 2 0 1 ) ( ! 2 ) ( ) ( x x f x R 误差 ) (x f ) ( 0 x f ) )( ( 0 0 x x x f
37、1 0 ) 1 ( ) ( ! ) 1 ( ) ( n n x x n f 2 0 0 ) ( ! 2 ) ( x x x f n n x x n x f ) ( ! ) ( 0 0 ) ( f d ) 0 ( 之间 与 在 x x ) 0 ( 之间 与 在 x x ) 0 ( 之间 与 在 x x ) 0 ( 之间 与 在 x x 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . , 0 0 x 则有 ) (x f ) 0 ( f x f ) 0 ( 1 ) 1 ( ! ) 1 ( ) ( n n x n x f 2 ! 2 ) 0 ( x f n n x n f
38、 ! ) 0 ( ) ( 在泰勒公式中若取 ) (x f ) ( 0 x f ) )( ( 0 0 x x x f 1 0 ) 1 ( ) ( ! ) 1 ( ) ( n n x x n f 2 0 0 ) ( ! 2 ) ( x x x f n n x x n x f ) ( ! ) ( 0 0 ) ( ) 0 ( 之间 与 在 x x ) (x f ) 0 ( f x f ) 0 ( , ) ( ) 1 ( M x f n 则有误差估计式 1 ! ) 1 ( ) ( n n x n M x R 2 ! 2 ) 0 ( x f n n x n f ! ) 0 ( ) ( 若在公式成立的区间上
39、 麦克劳林 由此得近似公式 , ) 1 0 ( x 记目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 x x f e ) ( ) 1 ( , e ) ( ) ( x k x f ) , 2 , 1 ( 1 ) 0 ( ) ( k f k x e 1 x ! 3 3 x ! n x n ) (x R n ! 2 2 x 其中 ) (x R n ! ) 1 ( n ) 1 0 ( 1 n x x e ) (x f ) 0 ( f x f ) 0 ( 1 ) 1 ( ! ) 1 ( ) ( n n x n x f 2 ! 2 ) 0 ( x f n n x n f ! ) 0 ( )
40、( 麦克劳林公式 ) 1 0 ( 目录 上页 下页 返回 结束 ) sin( 2 1 2 m x ) cos( ) 1 ( x m ) sin( x x x f sin ) ( ) 2 ( ) ( ) ( x f k x sin x ! 3 3 x ! 5 5 x ! ) 1 2 ( 1 2 m x m ) ( 2 x R m 其中 ) ( 2 x R m 2 k 2 sin ) 0 ( ) ( k f k m k 2 , 0 1 2 m k , ) 1 ( 1 m ) , 2 , 1 ( m 1 ) 1 ( m ) 1 0 ( 1 2 m x ! ) 1 2 ( m ) (x f ) 0 ( f x f ) 0 ( 1 ) 1 ( ! ) 1 ( ) ( n n x n x f 2 ! 2 ) 0 ( x f n n x n f ! ) 0 ( ) ( ) 1 0 ( 麦克劳林公式目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林公式 ! ) 2 ( 2 m x m x x f cos ) ( ) 3 ( 类似可得 x cos 1 ! 2 2 x ! 4
