1、 函数的单调性 知识点1、增函数定义、减函数的定义：（1）设函数 的定义域为 A，区间 M A，如果取区间 M 中的任意两个值 ,)(xfy21x当改变量 时，都有 ，那么就称函数 在0120)(12xffy )(fy区间 M 上是增函数，如图（1）当改变量 时，都有，那么就称)(ff函数 在区间 M 上是减函数，如图（2）xy注意：单调性定义中的 x1、x 2 有什么特征：函数单调性定义中的 x1,x2 有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间1、 根据函数的单调性的定义思考：由 f(x)是增(减) 函数且 f(x1)x2)2、我们来比较一下增函数与减函数定义中 的符号规律
2、，你有什么发现没有？y,3、如果将增函数中的“当 时，都有 ”改为当012x 0)(12ff时，都有 结论是否一样呢？012x)(xffy4、定义的另一种表示方法如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,若 即0)(21xff，则函数 y=f(x)是增函数，若 即 ，则函数 y=f(x)为减0xy 0)(21xffy函数。判断题：已知 因为 ，所以函数 是增函数1()fx()2ff()fx若函数 满足 则函数 在区间 上为增函数3f2,3若函数 在区间 和 上均为增函数，则函数 在区间 上为增()fx(1,2,3)()fx(1,3)函数因为函数 在区间 上都是减函数，
3、所以 在()fx,0)()fx上是减函数.(,0),通过判断题，强调几点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数AB（2）单调区间如果函数 yf （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 yf （x）的单调区间函数单调性的
4、性质：（1）增函数：如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值， 当 时，都有 ， 0)(21xff（2）减函数：如果对于属于定义域 I内某个区间的任意两个自变量的值 ，当时， 都有 ， 0)(21xff（3） 函数的单调性还有以下性质1函数 yf（x）与函数 yf （x）的单调性相反2当 f（x）恒为正或恒为负时，函数 y )(xf与 yf（ x）的单调性相反3在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等4 .如果 k0 函数 k 与函数 具有相同的单调性。fxf如果 kO，函数 与函数 具有相同的单调性。fxfxfx若 1 D.a-20a21a解：f(x ) a.ax
5、 1x 2 a(x 2) 1 2ax 2 1 2ax 2任取 x1，x 2(2，)，且 x10，x 120 ，x 220，12a . 即实数 a 的取值范围是 .12 (12， )题型六：函数单调性的应用11已 知 f(x)在 区 间 ( ， )上 是 增 函 数 ， a、 b R 且 a b 0， 则 下 列 不 等 式 中 正 确 的 是 （ ）Af(a) f( b)f(a)f(b) Bf (a)f(b)f(a) f (b)Cf(a)f(b) f(a)f(b) Df(a) f( b)f(a)f(b)12定 义 在 R 上 的 函 数 y=f(x)在 ( ， 2)上 是 增 函 数 ， 且
6、y=f(x 2)图 象 的 对 称 轴 是 x=0， 则 （ ）Af(1)f(3) B f (0)f(3) Cf (1)= f (3) Df(2)f(3)已知函数 f(x)在区间a，b上单调，且 f(a)f(b)0，则方程 f(x)=0 在区间a，b 内（ ）A至少有一实根 B至多有一实根 C没有实根 D必有唯一的实根题型七：已知函数的单调性，解含函数符号的不等式。7已知函数 f(x)是 R 上的增函数，A(0，1)、B(3，1) 是其图象上的两点，那么不等式 |f(x1)| 1 的解集的补集是 （ ）A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D( ， 1)2，）已知：f(x) 是定义在1
7、，1上的增函数，且 f(x1)f(a)，则实数 a 的取值范围是( )A(，1)(2 ，) B(1,2) C(2,1) D( ，2)(1，)解析：f(x) Error!由 f(x)的图象可知 f(x)在( ，)上是单调递增函数，由 f(2a 2)f(a)得2a 2a，即 a2a2 1，所以 f(y) - f(x) = f(y/x) 9 x9 或 x-9.函数 f(x)对任意的 a、bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x0 时，f(x)1.（1）求证：f(x)是 R 上的增函数；（2）若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)3.（1）设 x1,x2R，且 x1x2,
8、 则 x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. xxy123)2(4)8(ffyfy解 ： xx又 )8(2ff由 题 意 有 820Rx上 的 增 函 数为 4，解 得 f（x2）f(x1). 即 f(x)是 R 上的增函数. （2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3，原不等式可化为 f(3m2-m-2)f(2),f(x)是 R 上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m ,故解集为 . 设 f（x）的定义域为（0，+），且在（0，+）
9、是递增的， )()(yfxyf（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设 f（2）=1，解不等式 。2)31()xf（1）证明： ，令 x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，()(yfxyf。)()()()(1)( yfxyfxffyfxf （2）解： ，)3()1()3() xfxffx )3()(2xfxf2=21=2f（2）=f （2）+f （2）=f（4）， 等价于： ，)1()f )4(2ff且 x0，x-30 由 f（x）定义域为（0，+）可得 ，40，又 f（x）在（0，+）上为增函数，3)(2x 。又 x3，原不等式解集为：x|30，则 f
10、(x)的定义域是_；(2)若 f(x)在区间 (0,1上是减函数，则实数 a 的取值范围是_解析：(1)当 a0 且 a1 时，由 3 ax0 得 x ，即此时函数 f(x)的定义域是 ；3a ( ，3a(2)当 a10，即 a1 时，要使 f(x)在(0,1上是减函数，则需 3a10，此时 10，此时 a0 时，f (x)x2，则 x1x 20，f (x1)f (x2)f(x 1)f(x 2)f(x 1x 2)又x0 时，f(x )0，f(x 1x 2)x2，则 f(x1)f (x2)f (x1x 2x 2)f(x 2)f(x 1x 2)f(x 2)f(x 2)f(x 1x 2)又x0 时，
11、f(x )0，f(x 1x 2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x) 在 R 上为减函数(2)f(x) 在 R 上是减函数，f (x)在3,3 上也是减函数，f(x) 在3,3上的最大值和最小值分别为 f(3)与 f(3)而 f(3)3f (1)2，f (3) f (3)2.f(x) 在3,3上的最大值为 2，最小值为2.17.F(x)是定义在( 0，) 上的增函数，且 f( ) = f(x)f(y) （1）求 f(1)的值（2）若 f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f( ) 2 1解析：在等式中 ，则 f(1)=00yx令在等式中令 x=36，y=6 则 .2)6(3),6()( f
12、f故原不等式为： 即 fx(x3)f(36)，13(fxff又 f(x)在(0，)上为增函数，故不等式等价于： .2315036)(01xx22已知函数 f(x)= ，x 1，a2（1）当 a= 时，求函数 f(x)的最小值；（2）若对任意 x1， ，f (x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围解析： (1)当 a= 时，f(x)=x 2，x1，)设 x2x 11，则 f(x2)f(x 1)=x2 =(x2x 1) =(x2x 1)(11)21xx 2x 11， x2x 10，1 0，则 f(x2)f(x 1)21x可知 f(x)在1，)上是增函数f(x) 在区间1， 上的最小值为 f(1)= 27(2)在区间1， 上，f (x)= 0 恒成立 x22xa0 恒成立a2设 y=x22xa，x1，) ，由 y=(x1) 2a1 可知其在1 ，)上是增函数，当 x=1 时，y min=3a，于是当且仅当 ymin=3a0 时函数 f(x)0 恒成立故a3
