1、 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试 理科 数 学 试卷 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一 、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 若复数 z 满足 ( ) ( )21 1 0- i z i i+ + =，则 z =（ ） A 1122i+B 1122iC 1122i+D 1122i2 已知集合2 1 | l o g 2 , | 2 8 2 xA x x B x= = ，则 AB=（ ） A 1,3 B (0,3 C 1,4) D (0,
2、4) 3 将 420名工人编号为 ： 001， 002， ， 420， 采用系统抽样的方法抽取一个容量为 60的样本 ， 且随机抽得的号码为 005 这 420名工人来自三个工厂，从 001到 200为 A工厂，从 201到 355为 B工厂，从 356到 420为 C工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（ ） A 28， 23， 9 B 27， 23， 10 C 27， 22， 11 D 28， 22， 10 4 已知公差不为 0的等差数列 na 的首项 1 3a= ，若 2 3 6a,a,a 成等比数列，则 na 的前 5项之和为（ ） A 23 B 25 C 43 D 45 5 设曲线
3、2 lny ax b x= 在 1x= 处的切线方程为 52yx=，则 a,b 的值分别为（ ） A 2,1 B 2, 1 C 3,1 D 3, 1 6 在平行四边形 ABCD中， O为 AC与 BD的交点，若 2AE ED= ，则 =OE （ ） A 1126BA BC+B 1126BA BCC 1126BA BC+D 1126BA BC7 已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为 （ ） cm2 A 9 2 9+ B 9 2 18+ C 18 D 27 8 设抛物线 C： xy 42= 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 ,AB两点若 163AB，且 AF BF
4、，则AFBF =（ ） A 3 B 25 C 2 D 4 9 若实数 x,y 满足+101042xyxyx ，则22 12xy+的取值范围是（ ） A 2,1 B 2,45 C 417,45D 417,110 在 4,4 上随机地取一个数 m ，则事件 “ 直线 0=+ myx 与圆 ( ) 21 22 =+ yx- 有公共点 ” 发生的概率为 （ ） A 41 B 31 C 21 D 32 11 已知 P 为双曲线 22:1xyCab（ 00 ,ba ）右支上一点， A 为其左顶点， F(4 3,0) 为其右焦点，满足, 6 0A F P F P F A，则点 F到 PA 的距离为（ ） A
5、 532B 72 C 732D 152 12 在三棱锥 A-BCD 中， 10B C B D A C A D= = = =， 6AB= ， 16CD= ，点 P在平面 ACD内，且 30BP= ，设异面直线 BP 与 CD 所成角为 ，则 sin 的最小值为 （ ） A 31010B 1010C 255D 55二 、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13 已知函数 2 2 , 0()2 6 ln , 0xxfx x x x，则 ()y f x x=的零点个数为 _ 14 已知数列 na 满足 21=a ， 1( 1 ) ( 1 ) ( 2 )nnn a n a n n n
6、= + ，则 na 的通项公式为 _ 15 某校开设 A类选修课 4门， B类选修课 3门，一位同学从中选 3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 _种 16 已知函数 ( ) ln ( 1)( 0 )f x x x= + 与 ( ) 2xg x a=的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是 _ 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 三、解答题：共 70分 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 60分 17 （ 12分）在 ABC 中， 3AB
7、= ， 1AC= ， 60A= （ 1） 求 sin ACB ； （ 2） 若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长度 18 （ 12分）如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD为矩形， E是 PD的中点， M是 EC的中点，点 Q在线段 PC上且 PQ=3QC （ 1）证明 QM/平面 PAB； （ 2）当 PBA 为多大时，在线段 PC 上存在点 F 使得 EF 平面 PAD且 EF与平面 PBC所成角为 45 同时成立？ 19 （ 12分）设盒子中装有 6个红球， 4个白球， 2个黑球，且规定：取出一个红球得 a 分，取出一个白球得 b 分，取出一个黑球
8、得 c 分，其中 a， b， c都为正整数 （ 1） 当 1a= ， 2b= ， 3c= 时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等） 2个球，记随机变量 为取出此 2球所得分数之和，求 的分布列； （ 2） 当 1a= 时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等） 1个球，记随机变量 为取出此球所得分数 若53E= ， 59D= ，求 b 和 c 20 （ 12分）设椭圆 2 2:14xCy+=的右焦点为 F ，过点 ( ,0)m （ | | 1m ）作直线 l 与椭圆 C 交于 ,AB两点，且坐标原点 O (0,0) 到直线 l 的距离为 1 （ 1） 当 1m= 时，求直线 AF
9、的方程； （ 2） 求 ABF 面积的最大值 21 （ 12分）已知函数 23( ) l n ( 1 ) 2 l n 222axf x a x x= + +（ 0a ， a 为常数， 0x ) （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）当 30 2a 时，求证： ( ) 0fx （二）选考题：共 10 分 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 作答时请写清题号 22 选修 44： 坐标系与参数方程 （ 10 分 ） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为222242xtyt = + = +（ t 为参数），点 ( 2, 4)M .以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2s in 2 c o s 0 ( 0 )aa = （ 1） 当 1a= 时，求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2） 设曲线 C 与直线 l 交于点 ,AB，若 2| | | | | |AB MA MB=，求 a的值 23 选修 45： 不等式选讲 （ 10 分 ） 已知 ( ) | 2 | | 3 |f x x ax= + （ 1） 当 2a= 时，求不等式 ( ) 2fx 的解集； （ 2） 当 03a时，若 (0,2)x ，求证： ( ) 1f x x 第 18题
