1、1一次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛1. 一次函数表达式：y =kx+b（k ，b 为常数，k0 ）k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为竖直高度，BM 即为水平宽度，则 ，b 是截距，表示直线与 y 轴交点的纵坐标=AMB2. 设直线 l1：y 1=k1x+b1，直线 l2：y 2=k2x+b2，其中 k1，k 20若 k1=k2，且 b1b 2，则直线 l1l 2；若 k1k2=-1，则直线 l1l 23. 一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点通过点
2、的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题二、精讲精练1. 如图，点 B，C 分别在直线 y=2x 和 y=kx 上，点 A，D 是 x 轴上的两点，已知四边形ABCD 是正方形，则 k 的值为_ y=kxy=2xACBDO xyAOCD EBl1 l2xyDyxOBC A第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图2. 如图，直线 l1 交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，OA=m，OB=n，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90得到 CODCD 所在直线 l2 与直线 l1 交于点 E，则 l1_l2；若直线 l1，l 2 的斜率分
3、别为 k1， k2，则 k1k2=_3. 如图，直线 交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点483yC，交 AB 于点 D，则点 C 的坐标为_ MAB24. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y=x 的图象 l 是第一、三象限的角平分线探索：若点 A 的坐标为(3，1)，则它关于直线 l 的对称点 A的坐标为_；猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为(m，n)，则它关于直线 l 的对称点 P的坐标为_；应用：已知两点 B(-2，- 5)，C(-1，-3) ，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 B，C两点的距离之和最小，则此时点 Q 的坐标为_ lA
4、AyOx5. 如图，已知直线 l： 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将AOB 沿直3y线 l 折叠，点 O 落在点 C 处，则直线 CA 的表达式为_ lACBO xyFEACB D(O) xyQPACBDO xy第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图6. 如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，E 是 AB 上的一点，且BE:EA=5:3，EC= ，把BCE 沿折痕 EC 向上翻折，点 B 恰好落在 AD 边上的点1F 处若以点 A 为原点，以直线 AD 为 x 轴，以直线 BA 为 y 轴建立平面直角坐标系，则直线 FC 的表达式为_7. 如图，矩形 ABCD 的边 AB 在
5、 x 轴上，AB 的中点与原点 O 重合，AB=2，AD=1，过定点 Q(0，2)和动点 P(a，0) 的直线与矩形 ABCD 的边有公共点（1）a 的取值范围是_；（2）若设直线 PQ 为 y=kx+2（k0） ，则此时 k 的取值范围是_38. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A(1，1) ，B(3，1)，直线 y=2x+b 交边 AB 于点 E，交边 CD 于点 F，则直线 y=2x+b 在 y 轴上的截距 b 的变化范围是_ 1234y=2x+b4321bEFACBDO xy l2 l1(G)EFA CBDO xy第 8 题图 第 9 题图9. 如图，已知直线 l1： 与直线 l2
6、：y= -2x+16 相交于点 C，直线 l1，l 2 分别交 x283yx轴于 A，B 两点，矩形 DEFG 的顶点 D，E 分别在 l1，l 2 上，顶点 F，G 都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重合，那么 S 矩形 DEFG:SABC =_ 10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 A(4，0)，B(0，-4)，P 为 y 轴上 B 点下方一点，PB= m（m0） ，以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰 RtAPM（1）求直线 AB 的解析式；（2）用含 m 的代数式表示点 M 的坐标；（3）若直线 MB 与 x 轴交于点 Q，求点 Q 的坐标QP MB
7、 xAOy4一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题二、精讲精练1. 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，点 B，已知点 P 是第一象限内3y的点，由点 P，O，B 组成了一个含 60角的直角三角形，则点 P 的坐标为_ yxOB ACBOy Ax2. 如图，直线 y=kx-4
8、 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点，且 .43（1）求点 B 的坐标和 k 的值（2）若点 A 是第一象限内直线 y=kx-4 上的一个动点，则当点 A 运动到什么位置时，AOB 的面积是 6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点 P，使POA 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.53. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的边 OC，OA 分别与 x 轴、y 轴重合，ABOC，AOC=90，BCO= 45，BC= ，点 C 的坐标为( -9，0)62（1）求点 B 的坐标（2）若直线 BD 交 y 轴于点 D，且 OD=3，求直线 B
9、D 的表达式（3）若点 P 是（2）中直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P，使以 O，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 DC BOyAx DC BOyAx4. 如图，直线 y=kx+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点， ，点 C 是直线 y=kx+334O上与 A，B 不重合的动点过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于点 D，是否存在点 C使BCD 与AOB 全等？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 BOyAx6CBOyA x5. 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(-
10、3，0)，12yP(x，y)是直线 上的一个动点（点 P 不与点 A 重合） （1）在点 P 的运动过程中，试写出OPC 的面积 S 与 x 之间的函数关系式（2）当点 P 运动到什么位置时，OPC 的面积为 ？求出278此时点 P 的坐标（3）过 P 作 AB 的垂线与 x 轴、y 轴分别交于 E，F 两点，是否存在这样的点 P，使EOFBOA ？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由7一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；分析运动过程，注意状态转折
11、，确定对应的时间范围；画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：路程即线段长，可根据 s=vt 直接表达已走路程或未走路程；根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 与 x 轴、y 轴分别交于34yA，B 两点点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P的运动时间为t 秒（1）求 OA，OB 的长（2）过点 P 与直线 AB 垂直的直线与 y 轴交于点 E，在点 P 的运动过程中，是否存在这样的点 P，使
12、EOP AOB ？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 yxOBA82. 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，直线 BC 与 x 轴交于点=3+4yC， ABC=60（1）求直线 BC 的解析式（2）若动点 P 从点 A 出发沿 AC 方向向点 C 运动（点 P 不与点 A，C 重合），同时动点 Q 从点 C 出发沿折线 CBBA 向点 A 运动（点 Q 不与点 A，C 重合），动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长度设APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范
13、围（3）当 t=4 时，y 轴上是否存在一点 M，使得以 A，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 CABO xy CABO xy93. 如图，在直角梯形 COAB 中，OCAB，以 O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B，C三点的坐标分别为 A(8， 0)，B (8，11)，C(0，5) ，点 D 为线段 BC 的中点动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线 OAABBD 的路线运动，至点 D 停止，设运动时间为 t 秒（1）求直线 BC 的解析式（2）若动点 P 在线段 OA 上运动，当 t 为何值时，四边形 OPD
14、C 的面积是梯形 COAB面积的 ？4（3）在动点 P 的运动过程中，设OPD 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围 PDC xAOByy BO AxCD104. 如图，直线 与 x 轴交于点 A，与直线 交于点 P34y3yx（1）求点 P 的坐标（2）求OPA 的面积（3）动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 OA 方向向终点 A 运动，过点E 作 EFx 轴交线段 OP 或线段 PA 于点 F，FBy 轴于点 B设运动时间为 t 秒，矩形 OEFB 与OPA 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式 PFE xAOB
15、y5. 如图，直线 l 的解析式为 y=-x+4，它与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，平行于直线 l的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点，设运动时间为 t 秒（0 t 4） （1）求 A，B 两点的坐标；（2）用含 t 的代数式表示MON 的面积 S1；（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN，记MPN 和OAB 重叠部分的面积为 S2，试探究 S2 与 t 之间的函数关系式xyOABml PMN11一次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有
16、以下三种思路：公式法（规则图形） ；割补法（分割求和、补形作差） ；转化法（例：同底等高） 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例割补求面积（铅垂法）： BA hMaPPaMh A B12 APBSa12 APBSa转化求面积： hh l1l2ABC如图，满足 SABP =SABC 的点 P 都在直线 l1，l 2 上二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1，3)， B(3，-2)，则AOB的面积为 _ xAy BO122. 如 图 ， 直 线 y=-x+4与 x轴 、 y轴 分 别 交 于 点 A， 点 B， 点 P的 坐 标 为 (-2， 2)， 则S PAB=_ OByAP
17、 xPDOByACx第2题图 第3题图3. 如图，直线AB：y =x+1与x 轴、y轴分别交于点A，点B ，直线CD ：y =kx-2与x 轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P 若 SAPD =4.5，则k =_4. 如图，直线 经过点 A(1，m)，B (4，n)，点 C 的坐标为(2，5)，求ABC 的面12积 COABxy5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2) ，求四边形OABC的面积 BOyA Cx136. 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，C(1，2)，坐标轴上是否存12y在点 P，使 SABP =SABC
18、？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 xOABCy7. 如图，已知直线 m 的解析式为 ，与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，以线段12yAB 为直角边在第一象限内作等腰 RtABC，且BAC=90，点 P 为直线 x=1 上的动点，且ABP 的面积与 ABC 的面积相等（1）求ABC 的面积；（2）求点 P 的坐标 mOAxCBy148. 如图，直线 PA：y =x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，Q 两点，直线 PB：y=-2x+8 与 x 轴交于点 B（1）求四边形 PQOB 的面积（2）直线 PA 上是否存在点 M，使得PBM 的面积等于四边形 PQOB 的面积
19、？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 Q xAOBPy15【参考答案】一、知识点睛二、精讲精练1 232，-13 7(0)，4(1，3)；(n，m)； 13()5，5 yx6 637 （1）-2a2；（2）k1 或 k-18-3b-198:910 （1）y=x -4；（2）M( m+4，-m-8)；（3）Q( -4，0)【参考答案】一、知识点睛二、精讲精练1 33(3)()44， 或 ， 或 ， 或 ，2 （1）B(3 ，0)， k（2）A (6，4)（3） 123413(0)10(2)0PP， 或 (-， )或 ， 或 ，3 （1）B( -3，6)（2）y =-x+3（3） 1
20、2343)(2)P， 或 (， )或 ， 或 ， )4 64(655， 或 ， 或 ，5 （1）3)(44xS（2） 12791()P， 或 ，（3） 55， 或 -，16【参考答案】1 （1）OA=4，OB=3 ； （2）t=1 或 t=72 （1） 34yx（2）2(04)438ttSt（3） 123(08)()()MM， 或 ， 或 ，43或 ，3 （1） （2）5yxt（3）(08)481924ttS tt4 （1） ()P，（2）（3）2(03)6531244t tSt5 （1） (40)AB， ,，（2） 2St（3） 22(02)84tt【参考答案】二、精讲精练1 283 4 524796 2341(0)()(0)(0)2PP， 或 ， 或 ， 或 ，7 （1） ；（2） 1， 或 ，8 （1）10；（2） 26()()33M， 或 ，
