2017高考一轮复习教案-函数的奇偶性与周期性.doc-道客多多

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1、第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x) ，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x) ，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称易误提醒 1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(x)f(x) ，而不能说存在 x0 使 f(x

2、 0)f( x0)、f (x 0)f (x0)3分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的必记结论 1函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)0，xD，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性2有关对称性的结论：(1)若函数 yf(x a)为偶函数，则函数

3、yf (x)关于 xa 对称若函数 yf(xa)为奇函数，则函数 yf (x)关于点(a,0)对称(2)若 f(x)f(2 ax)，则函数 f(x)关于 xa 对称若 f(x)f(2ax )2b，则函数 f(x)关于点( a，b)对称自测练习1函数 f(x)lg(x 1)lg(x1)的奇偶性是( )A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2(2015石家庄一模)设函数 f(x)为偶函数，当 x(0 ， )时，f(x)log 2x，则 f( )2( )A B.12 12C2 D23若函数 f(x)x 2|xa| 为偶函数，则实数 a_.知识点二函数的周期性1周期函数对于函数 yf(x

4、)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x T)f( x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期必记结论定义式 f(xT)f(x)对定义域内的 x 是恒成立的若 f(xa)f(x b)，则函数 f(x)的周期为 T|ab|.若在定义域内满足 f(xa)f(x)，f(xa) ，f(xa) (a0)则 f(x)为周期1fx 1fx函数，且 T2 a 为它的一个周期对称性与周期的关系：(1)若函数 f(x)的图象关于直线 xa

6、 x2|x 3| 3(5)f(x)Error!函数奇偶性的判定的三种常用方法1定义法：2图象法：3性质法：(1)“奇奇”是奇， “奇奇”是奇， “奇奇”是偶， “奇奇”是偶；(2)“偶偶”是偶， “偶偶”是偶， “偶偶”是偶， “偶偶”是偶；(3)“奇偶”是奇， “奇偶” 是奇考点二函数的周期性|设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2) f (x)当x0,2时，f(x )2xx 2.(1)求证：f(x) 是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2) f(2 017)判断函数周期性的两个方法(1)定义法(2)图

7、象法已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2) ，且当1fxx0,2)时，f(x )log 2(x1)，则求 f(2 015)f(2 017) 的值为_考点三函数奇偶性、周期性的应用|高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查归纳起来常见的命题探究角度有：1已知奇偶性求参数2利用单调性、奇偶性求解不等式3周期性与奇偶性综合4单调性、奇偶性与周期性相结合探究一已知奇偶性求参数1(2015高考全国卷)若函数 f(x)x ln(x )为偶函数，则 a_.a x2探究二利用单调性、奇偶性求解不等式2(2015高考全

8、国卷)设函数 f(x)ln(1| x|) ，则使得 f(x)f(2x1) 成立的 x11 x2的取值范围是( )A. B. (1，)(13，1) ( ，13)C. D. ( 13，13) ( ， 13) (13， )探究三周期性与奇偶性相结合3(2015石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1 Bx|x1 Dx|11，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数答案：C2.解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以 f( )f ( )log 2 ，故选 B.2 2 212答案：B3.解析：f(x )f(x )对于 xR 恒成立，|xa| |xa| 对

9、于 xR 恒成立，两边平方整理得 ax 0 对于 xR 恒成立，故 a0.答案：04.解：f(x2) ，f(x4) f(x)，1fx 1fx 2f(5)f(1)5，f(f(5) f(5) f (3) .1f1 15答案：15考点一解：(1)由Error!得 x1，f(x)的定义域为1,1又 f(1)f(1)0，f(1)f( 1)0，即 f(x)f(x )f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数 f(x) 的定义域为，不关于坐标原点对称，3 2x 2x 3 32函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x) 的定义域为 R，f(x )3 x 3 x(3 x3 x )f(x)，所以 f(x

10、)为奇函数(4)由Error!得2x2 且 x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x) ，4 x2|x 3| 3 4 x2x 3 3 4 x2xf(x )f(x )，f(x) 是奇函数(5)易知函数的定义域为( ，0)(0，) ，关于原点对称，又当 x0 时，f (x)x 2x，则当 x0，故 f(x )x 2x f(x)；当 x0 时，xf(2x1)f(|x|)11 x2f(|2x1|)，| x|2x1| ，解得 f(2)f(3)，即 f(2 017)f(2 016)f(2 015)答案：f(2 017)f(2 016)f(2 015)9解：(1)设 x0，所以 f(x) (x) 2

11、2(x)x 22x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x )f(x)，于是 x0 时，f(x )x 22x x 2mx ，所以 m2.(2)要使 f(x)在1，a2上单调递增，结合 f(x)的图象知Error!所以 1a3，故实数 a 的取值范围是(1,310.解：yf(x )是奇函数，f (1)f(1)0.又yf(x) 在(0，)上是增函数，yf(x) 在(，0)上是增函数，若 f 0f(1)，Error!(x(x 12)即 0x 1，解得 x 或 x0.(x 12) 12 1 174 1 174f 0f( 1)，Error!(x(x 12)x 1，解得 x.(x 12)原不等式的解集是Err

12、or!.1.解析：由题意可知 f(x )f(x)，g( x )g(x)，对于选项 A，f (x)g( x)f (x)g(x)，所以 f(x)g(x)是奇函数，故 A 项错误；对于选项 B，|f(x)|g( x)|f (x)|g(x)|f( x)|g(x)，所以| f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项 C，f(x )|g(x)|f(x)|g(x )|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项 D，| f(x)g( x)| f(x )g(x)|f(x)g( x)|，所以 |f(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选 C.答案：C2.解析：f(x 2)f(x)

13、sin(x) f(x)sin xsin xf(x)，f(x )的周期 T2，又当 0x 时，f( x)0， f 0，(56)即 f f sin 0，( 6 ) ( 6) ( 6)f ，( 6) 12f f f .故选 A.(236) (4 6) ( 6) 12答案：A3.解析：选项 A 中的函数是偶函数；选项 B 中的函数是奇函数；选项 C 为偶函数，只有选项 D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数答案：D4.解析：由 f(x)2 |xm| 1 是偶函数得 m0，则 f(x)2 |x|1，当 x0，)时，f( x) 2 x1 递增，又 af(log 0.53)f (|log0.53|)f(log 23)，cf(0) ，且 0log23log25，则 f(0)f(log23)f(log25)，即 cab.答案：C5.解析：由题意可得，函数 f(x)的定义域为(1,1) ，且 f(x)ln ln ，易知1 x1 x ( 21 x 1)y 1 在(0,1) 上为增函数，故 f(x)在(0,1)上为增函数，又 f(x)ln(1x)ln(1x )21 xf (x)，故 f(x)为奇函数，选 A.答案：A

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