1、2019 高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题检测（带答案）验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。以下是函数的奇偶性与周期性专题检测，请大家仔细进行检测。一、选择题1. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数 . 当 x0 时，f(x)=2x+2x+b(b为常数 ) ，则 f(-1)等于 ().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由 f(-0)=-f(0)，即 f(0)=0.则 b=-1 ，f(x)=2x+2x-1， f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2. 已知定义在R 上的奇函数， f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，则f(6) 的值为 ().A.-1 B.0 C.1
2、 D.2( 构造法 ) 构造函数 f(x)=sin x，则有 f(x+2)=sin=-sinx=-f(x) ，所以 f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0 ，故选 B.答案 B3. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，当 x3,5时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ff B.f(sin 1)f(sin 2)解析当 x-1,1时， x+43,5，由第 1页f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当 x-1,0时， f(x)为增函数 ; 当 x0,1时， f(x)为减函数， cos
3、=- ， sin = ，又 f=ff，所以 ff.答案 A4. 已知函数 f(x)= 则该函数是 ().A. 偶函数，且单调递增B. 偶函数，且单调递减C. 奇函数，且单调递增D. 奇函数，且单调递减解析当 x0 时， f(-x)=2-x-1=-f(x);当 x0 时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当 x=0 时， f(0)=0 ，故 f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在 0 ， +) 上为增函数， f(x)=2x-1在 (- ，0) 上为增函数， 又 x0 时 1-2-x0 ，x0 时 2x-10 ，故 f(x)为 R 上的增函数 .答案 C. 已知 f(x) 是
4、定义在 R 上的周期为 2 的周期函数，当 x0,1) 时， f(x)=4x-1 ，则 f(-5.5) 的值为 ()A.2 B.-1 C.- D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 . 设函数 D(x)= 则下列结论错误的是().A.D(x) 的值域为 0,1 B.D(x)是偶函数C.D(x) 不是周期函数D.D(x) 不是单调函数解析显然 D(x) 不单调，且 D(x) 的值域为 0,1 ，因此选项 A、D 正确 . 若 x 是无理数， -x ， x+1 是无理数 ; 若 x 是有理数，-x ， x+1 也是有理数 .D(-x)=D(x)， D(
5、x+1)=D(x).则 D(x) 是第 2页偶函数， D(x) 为周期函数， B 正确， C 错误 .答案 C 二、填空题. 若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=_.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)， 1-|1+a|=1-|-1+a|， a=0.答案 0. 已知 y=f(x)+x2 是奇函数，且 f(1)=1. 若 g(x)=f(x)+2 ，则 g(-1)=_.解析因为 y=f(x)+x2是奇函数，且 x=1 时，y=2，所以当 x=-1时， y=-2 ，即 f(-1)+(-1)2=-2，得 f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-
6、1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为 -5,5，当 x0,5时，函数 y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0 的 x 的取值集合为 _. 解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在-5,5上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在0,5上的图象，得它在 -5,0上的图象，如图所示. 由图象知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为 (-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5)10. 设 f(x) 是偶函数，且当 x0 时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有 x 之和为 _.解析 f(x)是偶函数， f(2x)=f，f(|2x|)=f，又 f(x)在 (0 ，+) 上
7、为单调函数，第 3页|2x|= ，即 2x=或 2x=- ，整理得 2x2+7x-1=0 或 2x2+9x+1=0，设方程 2x2+7x-1=0 的两根为x1，x2，方程 2x2+9x+1=0 的两根为 x3， x4.则 (x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8 三、解答题. 已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y).(1) 求 f(1) ，f(-1) 的值 ;(2) 判断函数 f(x) 的奇偶性 .解 (1)因为对定义域内任意x，y， f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令 x=y=1 ，得 f
8、(1)=0 ，令 x=y=-1 ，得 f(-1)=0.(2) 令 y=-1 ，有 f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入 f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以 f(x) 是 (-，+) 上的奇函数 . 已知函数 f(x) 对任意 x，yR，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0 时， f(x)0， f(1)=-2.(1)求证 f(x)是奇函数 ;(2)求 f(x) 在-3,3 上的最大值和最小值 .(1)证明 令 x=y=0，知 f(0)=0;再令 y=-x ，则 f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以 f(x)为奇函数 .第 4页(2) 解 任取 x10，所以f(x2-
9、x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0，所以f(x)为减函数 . 而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.所以 f(x)max=f(-3)=6， f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是 (- ，+) 上的奇函数， 且 f(x)的图象关于x=1对称，当x0,1时， f(x)=2x-1，(1) 求证： f(x) 是周期函数 ;(2) 当 x1,2 时，求 f(x) 的解析式 ;(3) 计算 f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)的值 .(1) 证明函数 f(x)为奇函数，则f(-x)=-
10、f(x)，函数 f(x)的图象关于x=1 对称，则 f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f(2+x)+2=-f(2+x)=f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数 .(2)当 x1,2时， 2-x0,1，又 f(x)的图象关于x=1 对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x1,2.(3)f(0)=0， f(1)=1 ， f(2)=0 ，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又 f(x) 是以 4 为周期的周期函数 .f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.第 5页. 已知函数f(x)的定义域
11、为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1) 求证： f(x) 是周期函数 ;(2) 若 f(x) 为奇函数，且当 01 时， f(x)=x ，求使 f(x)=- 在0,2 014上的所有x 的个数 .(1) 证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数.(2) 解 当 01 时， f(x)=x ，设 -10 ，则 01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数， f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即 f(x)=x.故 f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题检测及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望对考生复习函数的知识有帮助。第 6页
