1、第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。例如：图 13-1 和图 13-2 就是全等图形图 13-1图 13-2（2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如：图 13-3 和图 13-4 中的两对多边形就是全等多边形。图 13-3 图 13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例如：图 13-5 中的两个五边形是全等的，记作五边形 ABCDE五边形 ABCDE（这里
2、符号“”表示全等，读作“全等于” ） 。图 13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。2.全等三角形的识别（1）根据定义A BDCEBACDE若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据 SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为 1 时，就成为全等三角形。（3）根据 SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这
3、两个三角形全等。相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为 1 时，即为全等三角形。（4）根据 ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（5）根据 AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。3.直角三角形全等的识别（1）根据 HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（2）SSS、SAS、ASA、AAS 对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。4.证明三
4、角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS” 、 “SAS”、 “ASA”、 “AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：已知条件 可选择的判定方法一边对应一角对应相等 SAS AAS ASA两角对应相等 ASA AAS两边对应相等 SAS SSS具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为
5、什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图 13-6，可以看出ABC 不全等于ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图 13-7，AB=AB,AC=AD, B=B，但ABC 与ABD 不全等图 13-6 图 13-7ABD ECADCBA E 6 54 B D C 5.证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全
6、等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。二、经典例题例 1：（1）已知一个三角形有两边的长分别为 2cm，13cm，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。（2）在ABC 中，已知A+C=2B,C-A=80，求 C。考点透视 （1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理参考答案
7、解：（1）设第三边为 xcm，则321x即 5周长 Lx的范围是 1515x即 70又 L 为偶数28x153即第三边长为 13cm（2） ACBB()23180B60210又 8由 AC得201C例 2：已知，在ABC 中，AD 是角平分线， B6， C54， DE于 E，求： DB和ADE考点透视 考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质参考答案 解：由三角形内角和定理，得BB1801806540()又 AD 平分 ACD230548（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）在 RtADE中C909036（直角三角形的两个锐角互余）例 3：已知：在 B和 A中DB， ， 于
8、D， CAB于 D，且 C求证： A A D D B C B C 考点透视 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。参考答案 证明：在 RtA和 t中ADC90RttCAS()A（全等三角形对应边相等）在 B和 中CABAS()三适时训练（一）精心选一选1在ABC 中，A:B:C=1:2:3，且ABCDEF，BC=EF，点 A 的对应顶点是 D，下列说法正确的是（ ）A. C 与F 互余 B. C 与D 互余 C. B 与F 互余 D. A 与E 互余2如图，ABC 中，AB=AC，CE、BD 分别是 AB、AC 边上的中线，AMCE 于 M，ANBD 于 N，
9、则图中全等三角形共有（ ）A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对3如图，ACD 中，ABCD 且 BDCB，BCE 和ABD 都是等腰 Rt，下列结论 ABCDBE； ACBABD； CBEBED； ACEADE；正确的是（ ）A. B. C. D. 4如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿 AB，AC 边翻折 180形成的，若1:2:3=28:5:3，则度数为（ ）A. 60 B. 70 C. 80 D. 905下列命题正确的是（ ）A. 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个
10、三角形全等D. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个 Rt全等6. 在ABC 内部取一点 P 使得点 P 到ABC 的三边距离相等，则点 P 应是ABC 的哪三条线交点 （ ）（A）高 （B）角平分线 （C）中线 （D）垂直平分线已知7. 下列条件能判定ABCDEF 的一组是 （ ）（A）A=D， C=F， AC=DF （B） AB=DE， BC=EF， A=D （C）A=D， B= E， C=F （D）AB=DE，ABC 的周长等于DEF 的周长（二）细心填一填1如图 2-1，一长方形 ABCD 纸片，以 EF 为折痕折叠，点 B 落在点 M，EN 是MEC 的角平分线，则FEN= 2如图
11、2-2，在ABC 中，BAC:ABC:ACB=3:5:10，且ABC，则1:2= 3如图 2-3，若ABCADE，E=C，1=20，则2= 4如图 2-4，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 中点，F 是 BA 延长线上一点，AB=2AF，在图中可通过 （填“平移” ， “翻折” ，或“旋转” ）使ABE 变到ADF 的位置，这时 BE 与 DF 之间的位置关系是 5如图 2-5，ABC 中，C=90，AC=BC，AD 平分CAB，DEAB 于 E，若 AB=4cm，则BDE 的周长是 图 2-1 图 2-2 图 2-3图 2-4 图 2-5 三、认真答一答1如图，AB=AD，AC=AE，且
12、DAB=CAE，BE 与 CD 交于点 P，AP 的延长线交 BC 于 F，试判断BPF 与CPF 的关系，并加以证明。2如图，AM 为ABC 的中线，AEAB，AFAC，且 AE=AB，AF=AC，MA 的延长线交 EF 于点 P，求证：APEF。3. 已知：如图，C 为 BE 上一点，点 A 分别在 BE 两侧.ABED,AB=CE,BC=ED.求证:AC=CD.4已知：如图，OP 是AOC 和BOD 的平分线，OA= OC，OB=OD.求证：AB= CDAC EDBA E D 2 4 B F C 31 6. 已知：如图，BD 为平行四边形 ABCD 的对角线，O 为 BD 的中点，EFB
13、D 于点 O，与 AD、BC 分别交于点 E、F。求证：DE=DF。7如图，在O 中，D、E 分别为半径 OA、OB 上的点，且 ADBE点 C 为弧 AB 上一点，连接 CD、CE、CO，AOCBOC求证：CDCE8如图，已知在ABC 中 AB=AC，D 为 BC 边的点 D 作 DEAB,DFAC, 垂足分别为 E、F。（1）求证：BEDCFD;（2）若A=90，求证：四边形 DFAE 是正方形。9如图，已知ABC 为等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F(1)求证：ABE CAD； (2)求BFD 的度数11. 已知，如图 AB/C
14、D，BE、CE 分别是 ABC、 D的平分线，点 E 在 AD 上，求证：BCAD12. 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示形式，使点B，F ，C，D 在同一条直线上（1）求证：ABED （2）若 PBBC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明13如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O. 请找出图中的一对全等三角形，并给予证明.14. 如图，直线 l 切O 于点 A，点 P 为直线 l 上一点，直线 PO 交O 于点 C、B，点 D 在线段 AP 上，连结 DB，且 AD=DB（1）求证：DB 为O 的切线（2）若 AD
15、=1，PB=BO，求弦 AC 的长15. 已知：如图，直径为 OA的 M 与 x轴交于点OA、 ，点 BC、 把 A分为三等份，连接 C并延长交 y轴于点 (03)D， （1）求证： DB ； （2）若直线 l： ykxb把 的面积分为二等份，求证： kbEFMB CPNDABEDCF03，AB CDO16. 如图，四边形 ABCD 是矩形，PBC 和QCD 都是等边三角形，且点 P 在矩形上方，点 Q 在矩形内求证：（1）PBA=PCQ=30 ；（2）PA=PQ17. 如图， 是 的外接圆，点 在 上， ，点 是垂足， ，连接 O RtABC OABDBODAC求证： 是 的切线CD18.
16、是等边三角形，点 是射线 上的一个动点（点 不与点 重合） ， 是以 为边ABC DBCDBC、 ADE的等边三角形，过点 作 的平行线，分别交射线 于点 ，连接 EA、 FG、（1）如图（a）所示，当点 在线段 上时求证： ；A 探究四边形 是怎样特殊的四边形？并说明理由；G（2）如图（b）所示，当点 在 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？DBC（3）在（2）的情况下，当点 运动到什么位置时，四边形 是菱形？并说明理由BCGEyxC BAMO42 1 3DBA OCAGCDBFE图（a）ADCBF E G图（b）ACBDPQ19. 如图， CF、 在 BE上， ADCFBEC
17、， ， 求证： AD20. 如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE 交于点 O.求证：(1) ABCAED；(2) OBOE .21. 如图，在 RtABC 中，C=90，以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，取 AC 的中点 E，连结 DE、OE（1）求证：DE 是O 的切线；（2）如果O 的半径是 1.5cm，ED=2cm，求 AB 的长22. 如图 ，ABCD 是正方形G 是 BC 上的一点，DEAG 于 E，BFAG 于 F （1）求证： ； ABFDE （2）求证： 23. 如图 9，若 ABC 和ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点
18、，易证：CD=BE，AMN 是等边三角形（1）当把ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4 分）（2）当ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时，AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，ADE 与 ABC 及AMN 的面积之比；若不是，请说明理由。AB C F EOCEBDABADOCA DEFCG24. 如图 9，P 是 BAC 内的一点， PEABFC， ，垂足分别为点 EF， ， A求证：（1） FE；（2）点 P 在 BAC 的角平分线上 25. 已知：如图，在 RtABC 和 Rt
19、BAD 中，AB 为斜边，AC=BD ，BC ，AD 相交于点 E(1) 求证：AE=BE；(2) 若AEC=45 ，AC=1，求 CE 的长 参考答案（一）精心选一选1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6.B 7.A（二）细心填一填1. 90 2. 1:4 3. 20 4. 旋转；垂直 5. 4cm 6.3 7.AD，C，808. CAB=DAB，CBA= DBA ，AC=AD，BC=BD 9. 5 厘米 10. 三角形的稳定性，不稳定性（三）认真答一答1. 相等，过 A 作 AMDC，ANBE，证明DACBAE ，所以利用全等三角形的对应高相等得到AM=AN，所以BPF= C
20、PF2. 延长 AM 至 N，使 MN=AM，证明AMC NMB ，所以 AC=NB，再证明EAFABN，得到E=BAN，因为BAN+EAP=90，所以E+EAP=90，所以 APEF3证明： ， ABED 在 和 中，C ，ABED E DCBAACD4、 证明： OP 是AOC 和BOD 的平分线， ,OPCBPDO A在 和 中，,OBD AC 5、解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可（2）与A 相等的角是 BOD（或COE）四边形 DBCE 是等对边四边形.（3）此时存在等对边四边形 DBCE.证明 1：如图，作 CGBE 于 G 点，作 BFCD 交 CD 的延长线于 F
21、点. DCB= EBC= A ，BC 为公共边12BGC CFBBF=CGBDF=ABC+ DCB= ABE+EBC+DCB= ABE+AGEC=ABE+ABDFCEGBD=CE故四边形 DBCE 是等对边四边形.证明 2：如图，在 BE 上取一点 F，使得 BF=CD，连接 CF.易证BCDCBF，故 BD=CF，FCB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+ CBF= ABE+2CBF=ABE+ACEF=ABE+ACF=CEBF=CE故四边形 DBCE 是等对边四边形.6证法一：在平行四边形 ABCD 中，AD/BCOBF=ODEO 为 BD 的中点 OB=OD在BOF 和DOE 中
22、BFDEBOFDOE OF=OEEFBD 于点 O DE=DF证法二：O 为 BD 的中点 BO=DOEFBD 于点 O BF=DFBFO=DFO在平行四边形 ABCD 中，AD/BCBFO=DEO DEO=DFODE=DF7证明：OA=OB AD=BEOA-AD=OB-BE 即 OD=OE在ODC 和OEC 中OCEDODCOECCD=CE8 （1）DEAB,DFAC,BED=CFD=90,AB=AC,B=C,D 是 BC 的中点,BD=CDBEDCFD.（2）DEAB,DFACAED=AFD=90 A=90四边形 DFAE 为矩形BEDCFDDE=DF四边形 DFAE 为正方形9。 （1）
23、证明：ABC 为等边三角形BAC=C=60, AB=CA,在ABE 和CAD 中AB=CA, BAE=C, AE=CDABECAD（2）解 BFD=ABE+BAD又ABECADABE= CADBFD=CAD+ BAD=BAC=6010 （1）可以；（2）可以；（3）构造三角形全等，可以11. AB/CDABCD180又 BE、CE 平分 ABCD，EEB1212，1809()BC90（三角形内角和定理）在 BC 上取 BFBA，连结 EF在 AE和 F中BAEFS()12（全等三角形对应角相等）3180C90BE又 ， 4923（等量代换）在 FE和 D中C()角 平 分 线 定 义43FEA
24、S()CD（全等三角形对应边相等）BBCD12. （1 ）由于 ABC 与DEF 是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以ABCDEF，所以A D，在ANP 和DNC 中，因为ANP DNC，所以APN DCN，又DCN90，所以APN90 ，故 ABED（2）答案不唯一，如ABCDBP；PEM FBM；ANPDNC 等等以ABCDBP 为例证明如下：在ABC 与DBP 中，因为A D， BB，PB BC，所以 ABCDBP13. 例：AOBCOD. 证明：四边形 ABCD 为平行四边形，OA=OC，OB=OD， 又AOB=COD，AOBCOD. 14 （1）证明: 连结 OD PA
25、为O 切线 OAD = 90 OA=OB，DA=DB ，DO=DO ， OADOBD ACBDPQ OBD=OAD = 90， PA 为O 的切线 （2）解：在 RtOAP 中， PB=OB=OA OPA=30 POA=60=2C ， PD=2BD=2DA=2 OPA=C=30 AC=AP=315. 证明： （1）连接 ， 把 三等分， ，BMC、 AO1560又 ， ， O12530又 OA 为 直径， ， ， ， 9AB12OAM360 ， ， 130DMO在 和 中， O BA13.AB， ， （ASA） D （2）若直线 把 的面积分为二等份， lM则直线 必过圆心 ， ， ，(03)
26、， 16 ，3tanO ， (30)M，把 代入 得：， ykxb 30kb16. 证明：(1) 四边形 ABCD 是矩形， ABC=BCD=90 PBC 和QCD 是等边三角形， PBC=PCB=QCD=60， PBA=ABCPBC=30，PCD= BCDPCB=30 PCQ=QCDPCD=30 PBA=PCQ=30 (2) AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC， PABPQC， PA=PQ17. 证明：连接 CODAACODB ，又 B， 90OC，即 是 的切线DO18. （1）证明： 和 都是等边三角形，AC DE 60AEBB， ， 又 ， ，ACD ， 法一：由得 ， 60
27、C又 ，BA ，E G又 ，四边形 是平行四边形法二：证出 ，DB 得 ABC由得 E 得 G四边形 是平行四边形 （2）都成立（3）当 （ 或 或 或 或 ）时，四CDB2CD12B30CAD90B30ADC边形 是菱形GE理由：法一：由得 ，AE 又 ， B由得四边形 是平行四边形，C四边形 是菱形 G法二：由得 ，AEBD 又四边形 是菱形， B CD法三：四边形 是平行四边形，G ，EBC ， AGCDBFE 6060FBEACFABC， ， 是等边三角形 又 ，四边形 是菱形，GE ， ，30EAG ，6D C19. 证明： F ，AEB，又 F，C，即 CE 又 D， ABE20.
28、 证明：(1)BAD EACBAC=EAD在ABC 和AED 中 ABECDABCAED(SAS)(2)由(1)知ABC=AEDAB=AE ABE=AEBOBE=OEBOB=OE 21. 证明：（1）连结 OD 由 O、E 分别是 BC、AC 中点得 OEAB1=2，B=3，又 OB=OD2=3而 OD=OC，OE=OEOCEODEOCE=ODE又C=90，故 ODE =90 DE 是O 的切线 （2）在 RtODE 中，由32D，DE=2得5E又 O、E 分别是 CB、CA 的中点AB C F EBADOCE1AB=252OE所求 AB 的长是 5cm 22. 证明：（1）DEAG，BF A
29、G， AED=AFB=90ABCD 是正方形，DEAG， BAF+DAE=90， ADE+DAE=90， BAF =ADE 又在正方形 ABCD 中，AB=AD在ABF 与DAE 中，AFB = DEA=90 ，BAF =ADE ，AB=DA，ABFDAE（2）ABFDAE，AE=BF，DE=AF 又 AF=AE+EF，AF=EF+FB，DE=EF+FB23. 解：（1）CD=BE理由如下: ABC 和ADE 为等边三角形 AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60oBAE =BACEAC =60o EAC，DAC =DAEEAC =60oEAC， BAE=DAC， ABE ACD CD=B
30、E（2）AMN 是等边三角形理由如下：ABE ACD， ABE=ACDM、N 分别是 BE、CD 的中点，BM=12BECDNAB=AC，ABE=ACD， ABM ACNAM=AN， MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60oAMN 是等边三角形设 AD=a，则 AB=2aAD=AE=DE，AB=AC， CE=DEADE 为等边三角形， DEC=120 o， ADE=60o，EDC=ECD=30o ， ADC=90o在 RtADC 中，AD=a，ACD=30 o ， CD= 3aN 为 DC 中点， 32Da， 2237()ANDa ADE，ABC，AMN 为等边三
31、角形，SADESABC SAMN7:164:)2(:2a解法二：AMN 是等边三角形理由如下： 5 分A DEFCGCNDA MCNDA BMABE ACD，M 、N 分别是 BE、CN 的中点，AM=AN，NC=MBAB=AC，ABM ACN，MAB=NAC ，NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60oAMN 是等边三角形 7 分设 AD=a，则 AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a易证 BEAC， BE= aaAEB3)2(22 ，32EMaM722ADE，ABC，AMN 为等边三角形SADESABC SAMN7:164:)27(:2 aa24证明：（1）如图 1，连结 AP， ,ACPFBE AEP=AFP= 90 又 AE=AF，AP=AP ，RtAEPRtAFP， PE=PF（2）RtAEPRtAFP，EAP=FAP， AP 是BAC 的角平分线，故点 P 在BAC 的角平分线上25. 解：(1) 在 RtACE 和 RtBDE 中， AEC 与BED 是对顶角，AEC=BED C=D=90， AC=BD RtACERtBDE， AE=BE (2) AEC=45， C=90，CAE=45 CE=AC=1
