1、第三章综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1下列说法中不正确的是( )A平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果 a、b 与平面 共面且 n a，n b，那么 n 就是平面 的一个法向量答案 D解析 只有当 a、b 不共线且 a，b 时，D 才正确2已知 a(cos，1，sin )、b(sin，1，cos) ，且 a b 则向量 ab 与 ab 的夹角是( )A90 B60C30
2、D0答案 A解析 |a| 22，|b| 22，(ab)(ab)|a| 2|b| 20，(ab)( ab)3已知 A、B 、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3)、B (2，5,1)、C(3,7，)，若 ，AB AC 则 等于( )A28 B28C14 D14答案 D解析 (2，6，2)， (1,6，3)，AB AC ， 21662(3)0，AB AC AB AC 解得 14，故选 D.4若向量a，b，c是空间的一个基底，则一定可以与向量 p2ab，q2ab 构成空间的另一个基底的向量是( )Aa BbCc Dab答案 C解析 因为 a p q，所以 a、p、q 共面，故 a、p、 q不能构成空
3、间的一个基底，14 14排除 A；因为 b p q，所以 b、p、q 共面，故 b、p、 q不能构成空间的一个基底，排12 12除 B；因为 ab p q，所以 ab、p、q 共面，故 ab、p、q 不能构成空间的一个基34 14底，排除 D；故选 C.5(2015山东烟台高二期末测试) 在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D(1,1， )，若 S1、 S2、S 3 分别表示三棱锥 D ABC 在 xOy、yOz、zOx 坐标平面2上的正投影图形的面积，则( )AS 1S 2S 3 BS 2S 3S 1CS 1S 3S 2 DS 1S 2
4、S 3答案 B解析 由题意可得 S1 222，S 2 2 ，S 3 2 ，故12 12 2 2 12 2 2S2S 3S 1.6已知 a、b 是两异面直线，A、Ba，C 、Db，ACb，BDb 且AB 2，CD1，则直线 a、b 所成的角为( )A30 B60C90 D45答案 B解析 由于 ，AB AC CD DB ( ) 21.AB CD AC CD DB CD CD cos ， ， 60，故选 B.AB CD AB CD |AB |CD | 12 AB CD 7(2015福建八县一中高二期末测试) 如图所示，在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 为上底面对角线 A1C1
5、的中点，若 x y ，则( )BE AA1 AB AD Ax ，y Bx ，y12 12 12 12Cx ，y Dx ，y12 12 12 12答案 A解析 ( ) BE BA AA1 A1E AB AA1 12A1B1 A1D1 AB AA1 12AB 12 ， x ，y .AD 12AB AA1 12AD 12 128已知 A(1,1,2)、B(1,0，1)，设 D 在直线 AB 上，且 2 ，设AD DB C(， ，1 )，若 CD AB，则 的值为( )13A. B116 116C. D.12 13答案 B解析 设 D(x，y，z )，则 (x1，y1，z2)， (2，1，3)，AD
6、AB (1x，y ，1z)，DB 2 ，Error! ， Error!.AD DB D( ，0) ， ( ，1)，1313 CD 13 ， 2( ) 3( 1 )0， .CD AB CD AB 13 1169如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC2，AA 1 ，E、F 分别是面2A1B1C1D1、面 BCC1B1 的中心，则 E、F 两点间的距离为( )A1 B.52C. D.62 32答案 C解析 以点 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E(1,1， )、F(2,1， )，222所以| EF| ，故选 C.1 22 1 12 2 222 6210.如图，在空间直
7、角坐标系中有长方体ABCD A1B1C1D1，AB 1， BC2，AA 13，则点 B 到直线 A1C 的距离为( )A. B.27 2357C. D1357答案 B解析 过点 B 作 BE 垂直 A1C，垂足为 E，设点 E 的坐标为 (x，y，z)，则 A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C (1,2,0)， (1,2，3)， ( x，y，z3)， (x1，y，z) A1C A1E BE 因为Error! ，所以Error! ，解得Error! ，所以 ( ， ， )，BE 27107 67所以点 B 到直线 A1C 的距离| | ，故选 B.BE 235711如图所示，在长方体 ABC
8、DA 1B1C1D1 中，ADAA 11，AB 2，点 E 是棱 AB的中点，则点 E 到平面 ACD1 的距离为( )A. B.12 22C. D.13 16答案 C解析 如图，以 D 为坐标原点，直线 DA、DC、DD 1分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,1)、E(1,1,0)、A(1,0,0)、C(0,2,0)从而 (1,1，1) 、 (1,2,0)、 (1,0,1) ，D1E AC AD1 设平面 ACD1的法向量为 n( a，b，c )，则Error! ，即Error!，得Error! .令 a2，则 n(2,1,2)所以点 E 到平面 ACD1的距离为h
9、.|D1E n|n| 2 1 23 1312如图所示，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别是正方形 ADD1A1 和 ABCD 的中心，G 是 CC1 的中点，设 GF、C 1E 与 AB 所成的角分别为 ，则 等于( )A120 B60C75 D90答案 D解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为 2，则 B(2,0,0)、A(2,2,0)、G (0,0,1)、F(1,1,0)、C 1(0,0,2)、E(1,2,1)则 (0,2,0)、 (1,1，1)、 (1,2，1) ，BA GF C1E cos ， ，cos ， BA GF |BA GF |BA |GF | 13 BA C
10、1E ，cos ，sin ，cos ，sin ，cos()|BA C1E |BA |C1E | 23 13 23 23 130， 90.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13已知 A(1,2,0)、B(0,1，1) ，P 是 x 轴上的动点，当 取最小值时，点 P 的坐AP BP 标为_答案 ( ，0,0)12解析 设 P(x,0,0)，则 (x1，2,0) ， ( x，1,1)，AP BP x(x1)2( x )2 ，AP BP 12 74当 x 时， 取最小值 ，此时点 P 的坐标为( ，0,0)12 AP BP 74 1214已知正
11、四棱台 ABCDA 1B1C1D1 中，上底面 A1B1C1D1 边长为 1，下底面 ABCD 边长为 2，侧棱与底面所成的角为 60，则异面直线 AD1 与 B1C 所成角的余弦值为_答案 14解析 设上、下底面中心分别为 O1、O，则 OO1平面 ABCD，以 O 为原点，直线BD、AC 、OO 1分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系AB2，A 1B11，ACBD2 ，A 1C1B 1D1 ，2 2平面 BDD1B1平面 ABCD，B 1BO 为侧棱与底面所成的角，B 1BO60 ，设棱台高为 h，则 tan60 ，h ，h2 22 62A(0， ，0) ，D 1( ，0，
12、)，B 1( ，0， )，C(0， ，0)，222 62 22 62 2 ( ， ， )， ( ， ， )，AD1 22 2 62 B1C 22 2 62cos ， ，AD1 B1C AD1 B1C |AD1 |B1C | 14故异面直线 AD1与 B1C 所成角的余弦值为 .1415三棱锥 PABC 中，PAPBPCABAC 1，BAC 90 ，则直线 PA 与底面 ABC 所成角的大小为_答案 45解析 由条件知，AB AC1，BAC90，BC ，2PBPC1，BPC90，取 BC 边中点 E，则PE ，AE ，22 22又 PA1，PEA 90，故PAE45，E 为 BC 中点， PEB
13、C， AEBC ，BC平面 PAE，平面 PAE平面 ABC，PAE 为直线 PA 与平面 ABC 所成角16已知矩形 ABCD 中，AB1，BC ，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使平面3ABC 与平面 ACD 垂直，则 B 与 D 之间的距离为_答案 102解析 如图，过 B、D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为 M、N.则可求得AM 、BM 、CN 、DN 、MN1.12 32 12 32由于 ，BD BM MN ND | |2 ( )2| |2| |2| |22(BD BM MN ND BM MN ND BM )( )21 2( )22(0 00) ，| | .MN MN ND
14、 BM ND 32 32 52 BD 102三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与 BD 交于O，G 为 BD 上一点， BG2GD， a， b， c，试用基底a，b，c表示向量PA PB PC .PG 解析 BG2GD， .BG 23BD 又 ac 2b，BD BA BC PA PB PC PB b (ac 2b)PG PB BG 23 a b c.23 13 2318(本小题满分 12 分)(2015黑龙江哈师大附中高二期中测试)如图，在直三棱柱ABCA
15、1B1C1 中， ABC ，D 是棱 AC 的中点，且 ABBCBB 12.2(1)求证：AB 1平面 BC1D；(2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角解析 (1)如图，连接 B1C 交 BC1于点 O，连接 OD.O 为 B1C 的中点，D 为 AC 的中点，ODAB 1.AB1平面 BC1D，OD平面 BC1D，AB1平面 BC1D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz.则 B(0,0,0)、A(0,2,0) 、C 1(2,0,2)、B 1(0,0,2) (0 ，2,2)、 (2,0,2)AB1 BC1 cos ， AB1 BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | ，
16、0 0 42222 12设异面直线 AB1与 BC1所成的角为 ，则 cos ，12(0， )， .2 319(本小题满分 12 分)如图所示，在四面体 ABCD 中，AB、BC 、CD 两两互相垂直，且 BCCD 1.(1)求证：平面 ACD平面 ABC；(2)求二面角 CAB D 的大小；(3)若直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 30，求线段 AB 的长度解析 解法一：(1)CDAB，CDBC ，CD平面 ABC.又 CD平面 ACD，平面 ACD平面 ABC.(2)ABBC，ABCD，AB平面 BCD，ABBD .CBD 是二面角 CAB D 的平面角在 RtBCD 中，BCCD，
17、 CBD45.二面角 CABD 的大小为 45.(3)过点 B 作 BHAC，垂足为 H，连接 DH.平面 ACD平面 ABC，BH平面 ACD，BDH 为 BD 与平面 ACD 所成的角BDH 30.在 RtBHD 中， BD ，2BH .22又 在 RtBHC 中，BC1，BCH45，在 RtABC 中， AB1.解法二：(1)同解法一(2)设 ABa，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则B(0,0,0)、A (0,0，a)、C(0,1,0)、D (1,1,0)， (1,1,0)、BD (0,0，a) BA 平面 ABC 的法向量 (1,0,0)，设平面 ABD 的一个法向量为 n(
18、x ，y，z)，则CD 有 nxy0， naz0，BD BA z0，取 y1，则 x1，n (1,1,0)cos ，n ，由图可知二面角 CABD 为锐角，CD CD n|CD |n| 22二面角 CABD 的大小为 45.(3) (0,1 ，a)、 (1,0,0)、 (1,1,0) AC CD BD 设平面 ACD 的一个法向量是 m(x，y ，z )，则 my az0， mx0，AC CD 令 z1，ya，则 m (0，a,1)直线 BD 与平面 ACD 所成角为 30，cos ，m cos60，BD BD m|BD |m| aa2 1 2解得 a1，AB 1.20(本小题满分 12 分)
19、如图，在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，已知 AB2，AA 15，E、F 分别为D1D、B 1B 上的点，且 DEB 1F1.(1)求证：BE平面 ACF；(2)求点 E 到平面 ACF 的距离解析 (1)证明：以 D 为原点，DA、DC、DD 1所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0) 、D 1(0,0,5)、E(0,0,1) 、F(2,2,4) ( 2,2,0)、 (0,2,4)、 (2，2,1) 、 (2，0,1) AC AF BE AE 0， 0，BE AC BE AF BEAC，BE
20、AF，且 AC AFA.BE平面 ACF.(2)解：由(1)知， 为平面 ACF 的一个法向量，BE 点 E 到平面 ACF 的距离 d .|AE BE |BE | 53故点 E 到平面 ACF 的距离为 .5321(本小题满分 12 分)(2015四川南充高中高二期中测试)如图所示，PD 底面ABCD，四边形 ABCD 是正方形，PDDC，E 是 PC 的中点(1)证明：PA平面 BDE；(2)求二面角 BDEC 的余弦值解析 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.设 PDDCa，则 D(0,0,0)、A( a,0,0)、P(0,0，a) 、B(a，a,0)、E(0， )、C (0，a,0
21、)，a2 a2 (a,0，a)、 (a，a,0) 、 (0， )、 (0，a,0) AP DB DE a2 a2 DC (1)设平面 BDE 的一个法向量为 n1( x1，y 1，z 1)，则有Error!，即 Error!，Error!.n1 (1，1,1)n1a0a0， n 1，AP AP 又 AP平面 BDE，AP 平面 BDE.(2)设平面 CDE 的一个法向量为 n2(1,0,0) cosn 1，n 2 ，131 33二面角 BDEC 的余弦值为 .3322(本小题满分 14 分)(2015天津理，17)如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱A1A底面 ABCD，ABAC
22、，AB1，ACAA 12，AD CD ，且点 M 和 N 分别为5B1C 和 D1D 的中点(1)求证：MN平面 ABCD；(2)求二面角 D1ACB 1 的正弦值；(3)设 E 为棱 A1B1 上的点若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段 A1E13的长解析 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)、B(0,1,0) 、C(2,0,0)、D(1 ， 2,0)、A 1(0,0,2)、B 1(0,1,2)、C 1(2,0,2)、D 1(1，2,2) ，又因为 M、N 分别为 B1C 和 D1D 的中点，得 M 、N(1，2,1) (1，12，1)(
23、1)依题意，可得 n(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，MN ，(0， 52，0)由此可得，MN n 0，又因为直线 MN平面 ABCD，所以 MN平面 ABCD. (2)AD1 (1，2,2)、AC (2,0,0)，设 n1(x 1，y 1，z 1)为平面 ACD1的法向量，则Error!，即 Error!，不妨设 z11，可得 n1(0,1,1)设 n2(x 2，y 2，z 2)为平面 ACB1的一个法向量，则Error! ，又 AB1 (0,1,2)，得Error!，不妨设 z21，可得 n2(0，2,1). 因此有 cosn 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 1010于是 sinn 1，n 2 ，31010所以二面角 D1ACB 1的正弦值为 .31010(3)依题意，可设 A1E A 1B1 ，其中 0,1，则 E(0，2) ，从而NE ( 1， 2,1)，又 n(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得cosNE ，n ，NE n|NE |n| 1 12 22 12 13整理得 2430，又因为 0,1，解得 2，7所以线段 A1E 的长为 2.7
