1、1全等三角形的提高拓展训练知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方
2、法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的
3、基础例题精讲板块一、截长补短【例 1】 ( 年北京中考题) 已知 中， ， 、 分别平分 和06ABC60BDCEABC， 、 交于点 ，试判断 、 、 的数量关系，并加以证.ACBDEO明【例 2】 如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点(点 除外)，作MABDB，射线 与 外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的60DNN NDM数量关系?DOECBANEBMAD2【变式拓展训练】如图，点 为正方形 的边 上任意一点， 且与 外角的平分线交MABCDMNDABC于点 ， 与 有怎样的数量关系？N【例 3】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE.【
4、例 4】 以 的 、 为边向三角形外作等边 、 ，连结 、 相ABCABDCEDBE交于点 求证： 平分 OADOE如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为顶ABC1BDC120D点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长60MDNAAMNNCDEBMAFEDCBAF AB CD EOOEDCBANMDCBA3【例 5】 五边形 ABCDE 中， AB=AE，BC +DE=CD，ABC+ AED=180，求证：AD 平分 CDE板块二、全等与角度【例 7】如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ，ABC60ADBCACBD求 的度数.ABC【例 8】在等腰 中，
5、 ，顶角 ，在边 上取点 ，使 ， ABCA20ABDABC求 .D【例 9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在 中， ， ，ABC20C又 在 上， 在 上，且满足 ， ，求 .MACNB50BAN60MNBCDBAD CBA DECBANMCBAD CBACEDBADCBA4全等三角形证明经典 50 题（含答案）1. 已知：AB=4 ，AC=2 ，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 ADADB C延长 AD 到 E,使 DE=AD,则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEBC 时，E 点是射线 AB,DC的交点） 。则：AED
6、是等腰三角形。所以：AE=DE而 AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：BEC 是等腰三角形所以：角 B=角 C.15. P 是BAC 平分线 AD 上一点， ACAB，求证：PC-PB三角形 ADC 全等于三角形 ABC.所以 BC 等于 DC，角 3 等于角 4,EC=EC三角形 DEC 全等于三角形 BEC所以5=634已 知 AB DE， BC EF， D， C 在 AF 上 ， 且 AD CF， 求 证 ： ABC DEF因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF所以 AC=DF又因为 AB 平行 DE，BC 平行 EF所以角 A+角 EDF，角 BCA=角 F
7、（两直线平行，内错角相等）然后 SSA（角角边）三角形全等35已知：如图，AB=AC，BDAC，CE AB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CD证明：因为 AB=AC，所以 EBC= DCB因为 BDAC，CE AB所以 BEC= CDBBC=CB (公共边 )则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB所以 BECD36、如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DE AB 于 E，DF AC 于 F。65 4321 EDCBAACBDEF15求证：DE=DFAAS 证 ADF37.已知：如图, AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A
8、, BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的长？角 C=角 E=90 度角 B=角 EAD=90 度- 角 BACBC=AEABCDAEAD=AB=538如图：AB=AC，MEAB ，MF AC，垂足分别为E、F， ME=MF。求证：MB=MC证明AB=ACABC 是等腰三角形B=C又ME=MF，BEM 和CEM 是直角三角形BEM 全等于CEMMB=MC39.如图，给出五个等量关系： ADBCDCEDC请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结DABC论（只需写出一种情况） ，并加以证明已知：求证：证明：已知 1,2求证 4因为 AD=BC AC=BD，在四边形 ADB
9、C 中，连 AB所以ADB 全等于BCAAEB D CFDCBAEB CMAFEA BC16所以角 D=角 C以 4,5 为条件，1 为结论。即：在四边形 ABCD 中，D=C，A=B，求证：AD=BC因为 A+ B+C+ D=360D= C，A=B，所以 2(A+D)=360 ，A+D=180，所以 AB/DC 40在ABC 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ，90ABCMNCMNAD于 .(1)当直线 绕点 旋转到图 1 的位置时，求证： MNBENC； ；CBED(2)当直线 绕点 旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）证明：A
10、CB=90，ACD+BCE=90，而 ADMN 于 D，BEMN 于 E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE在 Rt ADC 和 RtCEB 中，ADC=CEB ACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS） ，AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：在ADC 和CEB 中， ADC= CEB=90 ACD=CBE AC=CB，ADCCEB（AAS ） ，AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；41如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF（1）证明;因为
11、 AE 垂直 AB所以角 EAB=角 EAC+角 CAB=90 度因为 AF 垂直 AC所以角 CAF=角 CAB+角 BAF=90 度AEBMCF17所以角 EAC=角 BAF因为 AE=AB AF=AC所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等所以 EC=BF角 ECA=角 F（2）(2)延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G因为角 ECA=角 F(已证）所以角 G=角 CAF因为角 CAF=90 度所以 EC 垂直 BF42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB 。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90，ACN+BAC=90
12、ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+ BAN=90BAM+BAN=90即MAN=90AMAN43如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF连接 BF、CE，证明ABF 全等于 DEC（SAS ） ，然后通过四边形 BCEF 对边相等的证得平行四边形 BCEF从而求得 BC 平行于 EF44如图,已知 ACBD，EA 、EB 分别平分CAB 和DBA，CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD 相等吗？请说明理由在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC FB CAMNE1 23418CAE=EAN ,AE 为公共边,所
13、以三角形 CAE 全等三角形 EAN所以ANE=ACE又 AC 平行 BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE 为公共边,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD45、 （10 分） 如图,已知: AD 是 BC 上的中线 ,且 DF=DE求证:BECF证明：AD 是中线BD=CDDF=DE，BDE=CDFBDECDFBED=CFDBECF46、(10 分) 已知：如图，AB CD，DEAC ，BF AC ， E，F 是垂足， DEBF求证： ABCD证明：DEAC，BFAC ，DEC=AFB=9
14、0，在 Rt DEC 和 RtBFA 中，DE=BF，AB=CD ，RtDEC RtBFA ，C=A，ABCD 47、(10 分)如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD 【待定】ADECBF.3 421DCBA1948、 (10 分)如图，已知 ACAB，DBAB，ACBE ， AEBD，试猜想线段 CE 与 DE的大小与位置关系，并证明你的结论.结论：CEDE。当AEB 越小，则 DE 越小。证明：过 D 作 AE 平行线与 AC 交于 F，连接 FB由已知条件知 AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形 ，且DFB 为等腰三角形。RTBAE 中，AEB 为锐角，即 AEB45RTAFB
15、 中，FBA=90-DBF 45ABAFAB=CE AF=DECEDE49、 (10 分) 如图，已知 ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE.先证明ABCBDC 的出角 ABC=角 DCB在证明ABEDCE得出 AE=DEACEDBAB E CD2050如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE证明：作 CG 平分ACB 交 AD 于 GACB=90ACG= DCG=45ACB=90 AC=BCB=BAC=45B=DCG=ACGCF ADACF+DCF=90 ACF+CAF=90CAF=DCF AC=CB ACG=BACGCBECG=BE DCG=B CD=BDCDG BDEADC=BDEA BCDEF图 9
