1、反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数 ， 时的反函数，成为反正弦函数，记作sinyx,2.xyarcsin，不存在反函数.()R含义： 表示一个角 ；角 ； .arcsinx,2sinx反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1） 符号 arcsinx可以理解为 ， 上的一个角(弧度)，也可以理解2为区间 ， 上的一个实数；同样符号 arccosx可以理解为0，上的一2个角(弧度)，也可以理解为区间0，上的一个实数；（2） yarcsin x等价于 siny x, y ， , yarccos x等价于2cosy x, x0, , 这两个等价关系是解反三角函
2、数问题的主要依据；（3） 恒等式 sin(arcsinx) x, x1, 1 , cos(arccosx) x, x1, 1, tan(arctanx)=x,xRarcsin(sinx) x, x ， , arccos(cosx) x, x0, ,2名称 函数式 定义域 值域 奇偶性 单调性反正弦函数 xyarcsin增1,2,奇函数 增函数反余弦函数 ro减,0xxarcos)arcos(非奇非偶 减函数反正切函数 arctnyxR 增 2,奇函数 增函数反余切函数 otR 减 ,0cot()cotarxarx非奇非偶 减函数arctan(tanx)=x, x（ ， ）的运用的条件；2（4）
3、 恒等式 arcsinxarccos x , arctanxarccot x 的应用。222、最简单的三角方程方程 方程的解集axsin1Zkakx,rcsin2|,1|xcos kkxarcos|1aZ,2|tn|arctnxkkcoxa|o,其中：（1） 含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2） 解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3） 要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若 ，则 ；若 ，则 ；sinisin(1)kcos
4、2k若 ，则 ；若 ，则 ；tataktta（4） 会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。二、典型例题：例 1. 函 数 ， ， 的 反 函 数 为 （ ）yxsin23A.arci， ，1 Byx.arcsin， ，1Cyxsn， ， D， ，例 2. 函 数 ， ， 的 图 象 为 （ ）arcos()22 2 - - O O - （ A） （ B） 1 1 -2 -2 O O -1 （ C） （ D） 例 3. 函 数 ， ， 的 值 域 为 （ ）yxarcos(in)()32AB. .65056， ，CD. .3223， ，例 4.使 成立的 x的取值范
5、围是( )arcsinrosxAB. .0221， ，CD. .10， ，例 5. 若 ， 则 （ ）022arcsino()arcosin()ABCD例 6. 求值：(1) (2)3sin2arci51tanrcos23分析：arcsin() arcsi()sin3525表 示 ， 上 的 角 ， 若 设 ， 则 易 得352， 原 题 即 是 求 的 值 ， 这 就 转 化 为 早 已 熟 悉 的 三 角 求 值 问 题 ， 解 决 此 类sin问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。例 7.画出下列函数的图像（1） （2）)arcsin(xy1,),sin(
6、arcoxy例 8.已知 求 （用反三角函)23,(,15sin),20(,572cos 数表示） 分析：可求 的某一三角函数值，再根据 的范围，利用反三角函数表示角。例 9.已知函数 2()arcos()fxx（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式： ()21)fx例 10.写出下列三角方程的解集(1) ; (2) ; (3)2sin()8xcos310xcot3x例 11.求方程 在 上的解集.tan(3)4x0,2例 12.解方程 2sin3cos10x例 13. 解方程 3sin2cos0x 2sinx例 14.解方程：(1) (2)3sin2cos1x5sin312co
7、s6.5x思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程例 15.解方程 2sin3cos0x例 16.解方程： tan()ta()2cot4xxx例 17.已知方程 在区间 上有且只有两个不同的解，sin3cos0xa,2求实数 a的取值范围。说明对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解（1） ，则 或 ；sini2k2,kZ（2） ，则 或 ；co（3） ，则 tat,kZ三、同步练习：反三角函数1. 的值是 ( )3arctn()5A. B. C. D.225352.下列关系式中正确的是 ( )A. B. 5cos4arsinarci3C. D.cos4ar 1
8、t(2)cot()2ar3.函数 的定义域是 ( )()arin(t)fxxA. B. ,4 ,4kkZC. D.,(1)4kkZ2,4.在 上和函数 相同的函数是 ( )3,2yxA. B. C. D.arcos()yarcsin(xsin(arc)yxx5.函数 的反函数是 .arctn2y6.求 在 上的反函数.six3,7.比较 与 的大小.5arcos41cot()2ar8.研究函数 的定义域、值域及单调性.2arcosyx9.计算: 45cosarrcos51310.求下列函数的定义域和值域：(1) yarccos ; (2) yarcsin( x2 x); (3) yarccot
9、(2 x1),x111.求函数 y(arccos x)23arccos x的最值及相应的 x的值。简单的三角方程1.解下列方程.(1) (2)2tan1xsin5i3x2.方程 sin2xsin x在区间(0, 2)内的解的个数是 .3.(1) 方程 tan3xtg x的解集是 . (2) 方程 sinxcos x 在区间0, 4上的所有的解的和是 .24.解方程 2 23sinsicos0x参考答案：典型例题:例 1. 分析与解： 23xx2， ， 需 把 角 转 化 至 主 值 区 间 。xy， 又 sin()si由 反 正 弦 函 数 定 义 ， 得 arcxyyarcsi， 又 由 已
10、 知 得 1所 求 反 函 数 为 ， ，xarcsin例 2. 分析与解：解 析 式 可 化 简 为 ， ， ，yxarcos()02即 ， ， ， 显 然 其 图 象 应 为 （ ）yx A02例 3. 分析与解： 欲 求 函 数 值 域 ， 需 先 求 ， ， 的 值 域 。uxsin()323211x u， ， 即i而 在 ， 上 为 减 函 数yuarcos1()rcsaros21即 ， 故 选 （ ）056yB例 4. 分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求 x的取值范围，故需把 x从反三角函数式中分离出来，为此只需对 arcsinx，arccosx 同
11、时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。若 ， 则 ， ， 而 ，x0202arcsinarcos此 时 不 成 立 ， 故arcsinrosxx0若 ， 则 ， ， ，0022iarcos而 在 区 间 ， 上 为 增 函 数yxsin又 arcirosin(arcs)in(arcos)xx即 ， 解 不 等 式 ， 得x122|又 ， 故 选 （ ）01xB例 5. 分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。arcsino()arcsin()arcsin()2ioioiarcos()(),22原 式 ， 故 选 （ ）A例 6. 解： （ ） 设 ， 则
12、13535arcsin()sin2142， ， oisinsic()35即 iari()23524（ ） 设 ， 则113coscos02， intg21132cosin即 tg1232arcos例 7. (1)函数是以 为周期的周期函数当 时， 2,xx)arcsi(当 时， 其图像是折线，如图所示：3n(2) ,0arcosx )1()(122 xy其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：例 8. 解： )2,0(54cos,32cssin又 3,(1i1co65)3(54)(3snsin)si 253i,20(0又 ),(,1sin13arcsin又 43arc0452从而 6arc
13、sin讲评：由题设 ，得 由计算)23,(),0(),(65)sin( ，但 是确定的角，因而 65arcsin5arcsi或 的值也是唯一确定的。所以必须确定 所在的象限，在以上的解法中，由 的范围，再根据 的值，进一步得到 从而, cos,in )45,(),0(确定 ，故得出正确的答案：)23,(6arcsin例 9. 解：（1）由 得 又12x251xyx1,4)21(2x 的定义域为 ，值域为f 25,41arcos,0又 时， 单调递减， 单调递减，从而21,5xxg)( xyr递增)(f 的单调递增区间是 ，同理 的单调递减区间是xf 21,5)(xf 251,（2） )2(1a
14、rcos)arcos()21() xxxff即即 4arcos22 解不等式组得 不等式的解集为411222xx612x )61,2(例 10. 解集x|x=(k+arctg3) 2，kZ例 11. 说明 如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让 k取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解例 12. 解：方程化为 2cos3s0x说明 可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解例 13. 除以 cos2x化为 2tg2x-3tgx-2=0说明 关于 sinx，cosx 的齐次方程的解法：方程两边都除cosnx(n=1，2，3，)(cosx=0 不是方
15、程的解)，转化为关于 tgx的方程来解例 14. 思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程2x-30=k180+(-1)k30x=k90+(-1)k15+15(kZ)所以解集是x|x=k90+(-1)k15+15，kZ于是 x=k60+(-1)k10+2238，(kZ)原方程的解集为x|x=k60(-1) k10+2238，kZ最简单的三角方程例 15. 解 原方程可化为 ，2(1cos)3s0x即 2cos30x解这个关于 的二次方程，得， sx1由 ，得解集为 ；co2由 ，得解集为 1sx2,3xkZ所以原方程的解集为 ,说明方程中的 可化为 ，这样原方程便可看成以 为未知数2sinx21
16、cosxcosx的一元二次方程，当 时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从0而求得它们的解例 16. 解：tg( x )tg( x )2ctg x 44 ,xtg1tg2去分母整理得 tg2x , tgx , xk , k Z,3136由根据定义知 x k , x k , xk, k Z,4242即 xk , xk , xk, 而中又增加了限制条件 xk, k Z,2即从到有可能丢根， xk , 经验算 xk 是原方程的根，22 原方程的解集是 x| x xk 或 xk , k Z6例 17. 解：由 sinx cosx a0 得 2sin(x ) a, sin(x ) , 3332a
17、2 a2 x0, 2, x , 2 , 又原方程有且只有两个不同的解， a2, a2, 即| a|2 时，原方程只有一解；又当 a 时，sin( x ) ，得 x 或 或 ,332337解得 x0或 x 或 x2,此时原方程有三个解， a(2, )(, 2).3同步练习:CCBB 7. 51arcoscot()42ar10. 解：(1) yarccos , 01, 0 arccot(2x1) , 43x R, y(0, ).4311. 解：函数 y(arccos x)23arccos x, x1, 1, arccos x0, 设 arccosx t, 0 t, y t23 t( t )2 ,3
18、49 当 t 时,即 xcos 时, 函数取得最小值 ，233当 t 时,即 x1 时，函数取得最大值 23.简单的三角方程: 1. 解下列方程.(2)5x=2k+3x 或 5x=2k+-3x或xk218kZ解：作出函数 ysin2 x和 ysin x的图象，由图象知，它们的交点有 3个。3. 解：(1) tan3 xtan x, 3x xk, x , 由于定义域为2k3xk , xk , 22 原方程的解集为 x| xk, k Z.(2) sin xcos x , sin(x ) , x 2k 或42146x 2k ,465 x2k 或 x2k , k Z, 又 x0, 4, 所有的的解为1
19、2127, 2 ,12772 , 4 , 它们的和为 9.124. 解一 因为 （使 的 的值不可能满足原方程） ，所以在方程cos0xcos0x的两边同除以 ，得23tanta1xx 解关于 的二次方程，得tanx， t33由 ，得解集为 ；tanx,3xkZ由 ，得解集为 3t,6所以原方程的解集为 ,3xkxkZ或说明若方程的每一项关于 的次数都是相同的（本题都是二次）,那sinco及么这样的方程叫做关于 的齐次方程它的解法一般是,先化为只含有x及未知数的正切函数的三角方程，然后求解解二 降次得 ，1cos231cos2in0x化简得 sis0x因为 （使 的 的值不可能满足原方程） ，所以在方程co20co2x的两边同除以 ，得 stan3由 ，得 ，即 tan3x,xkZ,26kZ所以原方程的解集为 ,26说明由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当 是偶数 时，k2n变成 ；当 是奇数 时， 变成 ，所以实质上26knkn+1kn3与 是相等的集合,36xxZ或 ,26xZ解三 降次得 ， 化简得 1cos31cos2in0x，3sin2cos0x即 ，得 ，即 sin(2)03x2,3xkZ,26kxZ所以原方程的解集为 ,6k
